2022高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题六函数与导数第2讲基本初等函数函数的应用含解析.doc

第2讲基本初等函数、函数的应用高考定位1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真 题 感 悟 1.(2020·全国卷)已知55<84，134<85.设alog53，blog85，clog138，则()A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b解析log53log85log53<<0，log53<log85.55<84，134<85，5log85<4log8844log1313<5log138，log85<log138，log53<log85<log138，即a<b<c.故选A.答案A2.(2020·全国卷)若2alog2a4b2log4b，则()A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2解析由指数和对数的运算性质可得2alog2a4b2log4b22blog2b.令f(x)2xlog2x，则f(x)在(0，)上单调递增.又22blog2b<22blog2b122blog2(2b)，2alog2a<22blog2(2b)，即f(a)<f(2b)，a<2b.故选B.答案B3.(2020·全国卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)，其中K为最大确诊病例数.当I(t*)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 193)()A.60 B.63 C.66 D.69解析因为I(t)，所以当I(t*)0.95K时，0.95K0.951e0.23(t*53)e0.23(t*53)1e0.23(t*53)190.23(t*53)ln 19t*535366.故选C.答案C4.(2020·天津卷)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)|kx22x|(kR)恰有4个零点，则k的取值范围是()A.(2，)B.(0，2)C.(，0)(0，2)D.(，0)(2，)解析法一注意到g(0)0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx2|恰有3个实根即可.令h(x)，即y|kx2|与h(x)的图象有3个交点.h(x)当k0时，此时y|kx2|2，如图，y2与h(x)的图象有1个交点，不满足题意；当k0时，如图，此时y|kx2|与h(x)的图象恒有3个交点，满足题意；当k0时，如图，由ykx2与yx2联立，得x2kx20，令0，得k280，解得k2或k2(舍去)，此时y|kx2|与h(x)的图象有3个交点.综上，k的取值范围为(，0)(2，).故选D.法二由法一知y|kx2|与h(x)的图象有3个交点，令k，检验知符合题意，可排除选项A，B；令k1，检验知不符合题意，可排除选项C.故选D.答案D考 点 整 合1.指数式与对数式的七个运算公式(1)am·anamn；(2)(am)namn；(3)loga(MN)logaMlogaN；(4)logalogaMlogaN；(5)logaMnnlogaM；(6)alogaNN；(7)logaN(注：a，b>0且a，b1，M>0，N>0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a>0，a1)与对数函数ylogax(a>0，a1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数.3.函数的零点问题(1)函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零点存在性定理；数形结合，利用两个函数图象的交点求解.4.应用函数模型解决实际问题的一般程序.热点一基本初等函数的图象与性质【例1】 (1)在同一直角坐标系中，函数y，yloga(a>0，且a1)的图象可能是()(2)(2020·百校联盟考试)已知函数f(x)log(x2axa)在上为减函数，则实数a的取值范围是()A.(，1 B.C. D.解析(1)当a>1时，y是减函数，yloga是增函数，且yloga的图象过定点，则选项A，B，C，D均不符合.从而0<a<1，此时y是增函数，yloga是减函数，且yloga的图象过定点，只有选项D适合.(2)f(x)在上为减函数，且ylogt在(0，)上为减函数，tx2axa在上为增函数，且t0.因此，且a0，解得a1且a，则a的取值范围为.答案(1)D(2)B探究提高1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如本例(2)中易只考虑ylogt与tx2axa的单调性，而忽视t0恒成立的限制条件.【训练1】 (1)(2020·天津卷)设a30.7，b，clog0.70.8，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.bacC.bca D.cab(2)(2020·济南模拟)已知函数f(x)(a0且a1)，若函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是()A.(0，1) B.(1，3)C.(0，1)(3，) D.(0，1)(1，3)解析(1)因为a30.7301，b30.830.7，clog0.70.8log0.70.71，所以bac.故选D.(2)ylogax的图象关于y轴对称的图象对应的函数为yloga(x)，函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，等价于yloga(x)与y|x2|，3x0的图象有且仅有一个交点.当0a1时，显然符合题意(图略).当a1时，只需loga31，1a3，综上所述，a的取值范围是(0，1)(1，3).答案(1)D(2)D热点二函数的零点与方程角度1确定函数零点个数或范围【例2】 (1)函数f(x)log2x的零点所在的区间为()A. B.C.(1，2) D.(2，3)(2)(2020·武汉二模)函数f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零点个数为_.解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且函数f(x)在(0，)上为增函数.flog21230，f(1)log21010，f(2)log2210，f(3)log2310，即f(1)·f(2)0，函数f(x)log2x的零点在区间(1，2)内.(2)f(x)4cos2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x·|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，令f(x)0，得sin 2x|ln(x1)|.在同一坐标系中作出两个函数ysin 2x与函数y|ln(x1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.答案(1)C(2)2探究提高判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f(x)0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.【训练2】 (1)(2019·全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x在0，2的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5(2)函数y|log2x|的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析(1)令f(x)0，得2sin xsin 2x0，即2sin x2sin xcos x0，2sin x(1cos x)0，sin x0或cos x1.又x0，2，由sin x0得x0，或2，由cos x1得x0或2.故函数f(x)的零点为0，2，共3个.(2)函数y|log2x|的零点，即方程|log2x|0的根，即函数y|log2x|与y图象的交点，画出y|log2x|与y的图象，易知交点有2个.选C.答案(1)B(2)C角度2根据函数的零点数形结合求参数【例3】 (1)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A.1，0) B.0，)C.1，) D.1，)(2)(2019·天津卷)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)xa(aR)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A. B.C.1 D.1解析(1)函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1.(2)如图，分别画出两函数yf(x)和yxa的图象.当0x1时，直线yxa与y2的图象只有一个交点的情况.当直线yxa过点B(1，2)时，则a.所以0a.当x>1时，直线yxa与y的图象只有一个交点的情况：相切时，由y，得x2，此时切点为，则a1.相交时，由图象可知直线yxa从过点A向右上方移动时与y的图象只有一个交点.过点A(1，1)时，1a，解得a.所以a.结合图象可得，所求实数a的取值范围为1.故选D.答案(1)C(2)D探究提高解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 (1)若函数f(x)|logax|3x(a>0，a1)的两个零点是m，n，则()A.mn1 B.mn>1C.0<mn<1 D.无法判断(2)(多选题)(2020·临沂调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x3)f(x1)，若x0，2，f(x)2x1，则下列结论正确的是()A.当x2，0时，f(x)2x1B.f(2 019)1C.yf(x)的图象关于点(2，0)对称D.函数g(x)f(x)log2x有3个零点解析(1)令f(x)0，得|logax|，则y|logax|与y的图象有2个交点，不妨设a>1，m<n，作出两函数的图象(如图)，>，即logam>logan，loga(mn)<0，则0<mn<1.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x3)f(x1)，则该函数的周期为4.当x0，2时，f(x)2x1，当x2，0时，x0，2，f(x)f(x)2x1，所以A正确.f(2 019)f(4×5051)f(1)f(1)1，所以B正确.若yf(x)的图象关于点(2，0)对称，则f(3)f(1)0，但是f(3)f(1)f(1)1，f(3)f(1)0，与f(3)f(1)0矛盾，所以C错误.作出函数yf(x)，ylog2x的大致图象，如图.由图可得函数g(x)f(x)log2x有3个零点，所以D正确.故选ABD.答案(1)C(2)ABD热点三函数的实际应用【例4】 (2020·新高考山东卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天解析由R01rT，R03.28，T6，得r0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)2I(t1)，即e0.38t22e0.38t1，所以e0.38(t2t1)2，即0.38(t2t1)ln 2，t2t11.8.故选B.答案B探究提高1.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】 (2019·全国卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：(Rr).设.由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为()A.R B.R C.R D.R解析由得rR，代入(Rr)，整理得.又33，即33，所以，故rRR.答案DA级巩固提升一、选择题1.(2020·全国卷)设alog342，则4a()A. B. C. D.解析法一因为alog342，所以log34a2，所以4a329，所以4a.故选B.法二因为alog342，所以a2log43log432log49，所以4a4log494log49191.故选B.答案B2.已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a解析由对数函数的单调性可得alog20.2<log210，由指数函数的单调性可得b20.2>201，0<c0.20.3<0.201，所以a<c<b.故选B.答案B3.已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.，0 B.2，0 C. D.0解析当x1时，令f(x)2x10，解得x0；当x>1时，令f(x)1log2x0，解得x，又因为x>1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.答案D4.(2019·全国卷)若a>b，则()A.ln(ab)>0 B.3a<3bC.a3b3>0 D.|a|>|b|解析法一不妨设a1，b2，则a>b，可验证A，B，D错误，只有C正确.法二由a>b，得ab>0.但ab>1不一定成立，则ln(ab)>0不一定成立，故A不一定成立.因为y3x在R上是增函数，当a>b时，3a>3b，故B不成立.因为yx3在R上是增函数，当a>b时，a3>b3，即a3b3>0，故C成立.因为当a3，b6时，a>b，但|a|<|b|，D项不正确.答案C5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1，2).已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.1010.1解析设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2.由题意知，m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45(26.7)lg，所以lg10.1，所以1010.1.答案A6.(2020·广州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x1)f(x)，当x0，1时，f(x)cosx，则函数yf(x)|x|的零点个数是()A.2 B.3 C.4 D.5解析由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x)，知周期T2.令f(x)|x|0，得f(x)|x|.作出函数yf(x)与g(x)|x|的图象如图所示.由图象知，函数yf(x)|x|有两个零点.答案A二、填空题7.已知R，函数f(x)若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_.解析令f(x)0，当x时，x4.当x<时，x24x30，则x1或x3.若函数f(x)恰有2个零点，结合图1与图2知，1<3或>4.答案(1，3(4，)8.已知a>b>1，若logablogba，abba，则a_，b_.解析设logbat，则t1，因为t，解得t2，所以ab2，因此ab(b2)bb2bba，a2b，b22b，又b1，解得b2，a4.答案429.(2020·重庆质检)已知a，b，c为正实数，且ln aa1，bln b1，cec1，则a，b，c的大小关系是_.解析ln aa1，ln b，ec.依次作出yex，yln x，yx1，y这四个函数的图象，如下图所示.由图象可知0c1，a1，b1，cab.答案cab三、解答题10.已知偶函数f(x)满足f(x1)，且当x1，0时，f(x)x2，若在区间1，3内，函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点，求实数a的取值范围.解偶函数f(x)满足f(x1)，f(x2)f(x11)f(x)，函数f(x)的周期为2，又x1，0时，f(x)x2，x0，1时，f(x)f(x)x2，从而f(x)x2，x1，1.在区间1，3内函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与yloga(x2)的图象在区间1，3内有3个交点.当0<a<1时，函数图象无交点，数形结合可得a>1且解得3<a<5.故实数a的取值范围为(3，5).B级能力突破11.(2020·贵阳质检)已知函数f(x)其中e为自然对数的底数，则函数g(x)3f(x)210f(x)3的零点个数为()A.4 B.5 C.6 D.3解析当x0时，f(x)4x36x21的导数为f(x)12x212x，当0x1时，f(x)单调递减，x1时，f(x)单调递增，可得f(x)在x1处取得最小值，最小值为1，且f(0)1，作出函数f(x)的图象，g(x)3f(x)210f(x)3，可令g(x)0，tf(x)，可得3t210t30，解得t3或，当t，即f(x)时，g(x)有三个零点；当t3时，可得f(x)3有一个实根，综上，g(x)共有四个零点.答案A12.记f(x)，g(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数.若存在x0R，满足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明：函数f(x)x与g(x)x22x2不存在“S点”；(2)若函数f(x)ax21与g(x)ln x存在“S点”，求实数a的值.(1)证明函数f(x)x，g(x)x22x2，则f(x)1，g(x)2x2.由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得此方程组无解，因此，f(x)与g(x)不存在“S点”.(2)解函数f(x)ax21，g(x)ln x，则f(x)2ax，g(x).设x0为f(x)与g(x)的“S点”，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，得即(*)得ln x0，即x0e，则a.当a时，x0e满足方程组(*)，即x0为f(x)与g(x)的“S点”.因此，a的值为.