学年高中数学第章指数函数和对数函数指数函数第课时指数函数的图像和性质学案北师大版必修.doc

第1课时指数函数的图像和性质学 习 目 标核 心 素 养1.理解指数函数的概念2通过具体指数函数的图像，体会指数函数图像与底数a的关系(重点、易混点)3掌握指数函数的图像与性质及其简单应用(难点)1.通过具体指数函数的图像，体会指数函数与底数a的关系，培养直观想象素养2通过研究指数函数的图像与性质，培养数学抽象素养.1指数函数的定义阅读教材P70有关内容，完成以下问题函数yax叫作指数函数，自变量x出现在指数的位置上，底数a是一个大于0且不等于1的常量，函数的定义域是实数集R.思考1：指数函数定义中，为什么规定a>0且a1?提示(1)假设a0，那么x>0时，ax0；当x0时，ax无意义(2)假设a<0，那么其定义域不是R.(3)假设a1，那么y1，对它没有研究的必要为了防止上述情况，所以，规定a>0，且a1.2指数函数的图像和性质阅读教材P70P73“练习1之间的内容，完成以下问题思考2：指数函数的图像一定过点(0,1)，为什么？提示当a>0，且a1时，a01.1y的图像可能是()答案C2函数y3x与y3x的图像关于()对称Ax轴 By轴C原点 D直线yx答案B3指数函数yf(x)的图像过点(2,4)那么f(2)_.设f(x)ax，由f(2)4，得a24，又a>0，且a1，那么a2，f(x)2x，f(2)22.4函数y的定义域是_(，0由13x0，得3x1，所以x0，所以，该函数的定义域是(，0指数函数的概念【例1】指出以下函数哪些是指数函数(1)y3x；(2)yx2；(3)y3x；(4)y(3)x；(5)yx；(6)y(2x)2；(7)y2(8)y2x思路探究根据指数函数的定义判断解(6)y(2x)24x；(8)y2x故指数函数是(1)，(5)，(6)，(8)判断一个函数是否为指数函数：(1)底数要大于零且不等于1；(2)幂指数是自变量x；(3)系数为1，只能是yax(a>0，a1，xR)这样的形式.1(1)假设函数ya2(2a)x是指数函数，那么()Aa1或1 Ba1Ca1 Da>0且a1(2)指数函数f(x)过点，那么f(1)_.(1)C(2)(1)依题意，解得a1.(2)设f(x)ax(a>0，且a1)，那么a3解得a3，f(x)3x，f(1)31.指数函数的图像【例2】(1)函数y3x的图像是()(2)如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图像，那么a，b，c，d与1的大小关系是()Aa<b<1<c<d Bb<a<1<d<cC1<a<b<c<d Da<b<1<d<c(1)B(2)B(1)y3x，应选B.(2)作直线x1，如下图，由图，得b<a<1<d<c.应选B.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数yax(a>0，a1)的图像与直线x1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大.2如图，假设0<a<1，那么函数yax与y(a1)x2的图像可能是()D由0<a<1，知yax是减函数，y(a1)x2的图像开口向下应选D.指数函数的性质探究问题1函数y2与y的定义域有什么关系？单调性有什么关系？提示：定义域相同，单调性相同2函数y与y的定义域有什么关系？单调性有什么关系？提示：定义域相同，单调性相反【例3】f(x)2|x1|.(1)求f(x)的最小值；(2)求f(x)的单调区间思路探究借助函数y2x及y|x1|的性质求解解(1)令u|x1|，那么u0，又y2u是增函数，那么y的最小值为201.故f(x)的最小值是1.(2)u的递增区间是1，)，递减区间是(，1)又y2u是增函数，那么f(x)的递增区间是1，)，递减区间是(，1)(变条件)将本例题中的“f(x)2|x1|变为“f(x)2x22x，试求f(x)的最大值及单调区间解(1)令ux22x，那么u(x1)211，因为y2u是增函数，那么y的最大值是212.故f(x)的最大值是2.(2)u的递增区间是(，1，递减区间是(1，)又y2u是增函数，那么f(x)的递增区间是(，1，递减区间是(1，)一般地，有形如yaf(x)(a>0，且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x)有相同的定义域.(2)当a>1时，函数yaf(x)与yf(x)具有相同的单调性；0<a<1时，函数yaf(x)与函数yf(x)的单调性相反.1指数函数的定义域为(，)，值域为(0，)，且f(0)1.2当a>1时，a的值越大，y轴右侧的图像越靠近y轴当0<a<1时，a的值越小，y轴右侧的图像越靠近x轴.1思考辨析(1)y2x1是指数函数()(2)y2x在R上是减函数()(3)指数函数yax过定点(0,1)()答案(1)×(2)(3)2指数函数yax与ybx的图像如下图，那么()Aa<0，b>0B0<a<1,0<b<1C0<a<1，b>1Da>1,0<b<1Cyax是减函数，那么0<a<1，ybx是增函数，那么b>1.应选C.3函数ya2x11的图像恒过定点_由2x10，得x，当x时，ya012，故其图像恒过定点.4假设函数f(x)ax1(a>0，且a1)的定义域和值域都是0,2，求实数a的值解当0<a<1时，f(x)是减函数，那么，无解；当a>1时，f(x)是增函数，那么，解得a.综上，得a.