2022高中数学 2.3数学归纳法练习 新人教A版选修2-2 .doc

2015高中数学 2.3数学归纳法练习 新人教A版选修2-2 一、选择题1用数学归纳法证明1<n(nN*，n>1)时，第一步应验证不等式()A1<2B12C13 D13答案B解析nN*，n1，n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为，故选B.2(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1aa2an1(nN*，a1)，在验证n1时，左边所得的项为()A1 B1aa2C1a D1aa2a3答案B解析因为当n1时，an1a2，所以此时式子左边1aa2.故应选B.3设f(n)(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A BC D答案D解析f(n1)f(n).4某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时，该命题成立，那么可推得nk1时该命题也成立现在已知当n5时，该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立答案C解析原命题正确，则逆否命题正确故应选C.5用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A假设nk(kN*)时命题成立，证明nk1时命题也成立B假设nk(k是正奇数)时命题成立，证明nk1时命题也成立C假设nk(k是正奇数)时命题成立，证明nk2时命题也成立D假设n2k1(kN)时命题成立，证明nk1时命题也成立答案C解析n为正奇数，当nk时，k下面第一个正奇数应为k2，而非k1.故应选C.6凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2答案C解析增加一个顶点，就增加n13条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n1)f(n)1n13f(n)n1.故应选C.二、填空题7(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n·1·3(2n1)(nN*)时，从“nk到nk1”左边需增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C D答案B解析nk时，等式为(k1)(k2)(kk)2k·1·3··(2k1)，nk1时，等式左边为(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(2k)·(2k1)·(2k2)，右边为2k1·1·3··(2k1)(2k1)左边需增乘2(2k1)，故选B.8已知数列，通过计算得S1，S2，S3，由此可猜测Sn_.答案解析解法1：通过计算易得答案解法2：Sn1.9用数学归纳法证明：1，第一步应验证的等式是_答案1解析当n1时，等式的左边为1，右边，左边右边三、解答题10(2013·大庆实验中学高二期中)数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想证明(1)当n1时，a1S12a1，a11；当n2时，a1a2S22×2a2，a2；当n3时，a1a2a3S32×3a3，a3.由此猜想an(nN*)(2)证明：当n1时，a11结论成立，假设nk(k1，且kN*)时结论成立，即ak，当nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12akak1，当nk1时结论成立，于是对于一切的自然数nN*，an成立一、选择题11用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2CD(k21)(k22)(k23)(k1)2答案D解析nk时，左边123k2，nk1时，左边123k2(k21)(k22)(k1)2，故选D.12设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.()A2 BC D答案B解析将k1边形A1A2AkAk1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2Ak与三角形A1AkAk1，其内角和f(k1)是k边形的内角和f(k)与A1AkAk1的内角和的和，故选B.13(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3答案A解析因为从nk到nk1的过渡，增加了(k1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k3)3展开，证明余下的项9k227k27能被9整除14(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则归纳猜测a7b7()A26 B27C28 D29答案D解析观察发现，134,347,4711,71118,111829，a7b729.二、填空题15用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN*)”时，第一步的验证为_答案当n1时，左边4，右边4，左右，不等式成立解析当n1时，左右，不等式成立，nN*，第一步的验证为n1的情形16对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a_.答案5解析当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5，当a3时且n3时，31035不能被14整除，故a5.三、解答题17在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域证明(1)n2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立(2)假设当nk(k2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立当nk1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k1块从而k1条直线将平面分成k1块区域所以nk1时命题也成立由(1)(2)可知，原命题成立18试比较2n2与n2的大小(nN*)，并用数学归纳法证明你的结论分析由题目可获取以下主要信息：此题选用特殊值来找到2n2与n2的大小关系；利用数学归纳法证明猜想的结论解答本题的关键是先利用特殊值猜想解析当n1时，2124>n21，当n2时，2226>n24，当n3时，23210>n29，当n4时，24218>n216，由此可以猜想，2n2>n2(nN*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，左边2124，右边1，所以左边>右边，所以原不等式成立当n2时，左边2226，右边224，所以左边>右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边>右边(2)假设nk时(k3且kN*)时，不等式成立，即2k2>k2.那么当nk1时，2k122·2k22(2k2)2>2·k22.又因：2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，即2k22(k1)2，故2k12>(k1)2成立根据(1)和(2)，原不等式对于任何nN*都成立6