2022高考数学一轮复习课时规范练15利用导数研究函数的单调性文含解析北师大版.docx

课时规范练15利用导数研究函数的单调性基础巩固组1.函数f(x)=x3-ax为R上增函数的一个充分不必要条件是()A.a0B.a<0C.a0D.a>02.(2020山东青岛二中月考)已知定义域为R的函数f(x)的导数为f'(x),且满足f'(x)<2x,f(2)=3,则不等式f(x)>x2-1的解集是()A.(-,-1)B.(-1,+)C.(2,+)D.(-,2)3.(2020山东德州二模,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)+1<f'(x),f(0)=2,则不等式f(x)+1>3ex的解集为()A.(1,+)B.(-,1)C.(0,+)D.(-,0)4.已知函数f(x)=lnxx,则()A.f(2)>f(e)>f(3)B.f(3)>f(e)>f(2)C.f(e)>f(2)>f(3)D.f(e)>f(3)>f(2)5.设函数f(x)=12x2-9ln x在区间a-1,a+1上是减少的,则实数a的取值范围是. 6.已知函数f(x)=ax2-4ax-ln x,则f(x)在(1,3)上不具有单调性的一个充分不必要条件是()A.a-,16B.a-12,+C.a-12,16D.a12,+7.已知函数f(x)=aln x-2x,若不等式f(x+1)>ax-2ex在x(0,+)上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,2B.2,+)C.(-,0D.0,28.若函数f(x)=x2-4ex-ax在R上存在递增区间,则实数a的取值范围为. 9.(2020河北唐山一模,文21)已知a>0,函数f(x)=2ax3-3(a2+1)x2+6ax-2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在R上仅有一个零点,求a的取值范围.综合提升组10.(2020湖南郴州二模,文12)已知定义在R上的函数f(x)的导数为f'(x),满足f(x)=f(-x).且对任意x0,2,有f'(x)cos x+f(x)sin x>0,若a=233f-6,b=2f-4,c=2f3,则()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a11.(2020山东泰安一中期中)已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如下表:x-1045f(x)1221f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图所示,关于f(x)的结论正确的是()A.函数f(x)是周期函数B.函数f(x)在0,2上递增C.函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4D.当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点12.(2020安徽皖东名校联盟联考)若函数f(x)=-12x+m,x<e,x-lnx,xe的值域是e-1,+),其中e是自然对数的底数,则实数m的最小值是. 13.(2020山东潍坊临朐模拟一,22)已知函数f(x)=mln x-x+mx(mR),讨论f(x)的单调性.创新应用组14.(2020山东潍坊临朐模拟一,8)已知奇函数f(x)的定义域为-2,2,其导函数为f'(x),当0<x<2时,有f'(x)cos x+f(x)sin x<0成立,则关于x的不等式f(x)<2f4cos x的解集为()A.4,2B.-2,-44,2C.-4,00,4D.-4,04,215.设函数f(x)=aln x+x-1x+1,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.参考答案课时规范练15利用导数研究函数的单调性1.B函数f(x)=x3-ax为R上增函数的充要条件是f'(x)=3x2-a0在R上恒成立,所以a(3x2)min.因为(3x2)min=0,所以a0.而(-,0)(-,0.故选B.2.D令g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x<0,即函数g(x)在R上递减.又因为不等式f(x)>x2-1可化为f(x)-x2>-1,而g(2)=f(2)-22=3-4=-1,所以不等式可化为g(x)>g(2),故不等式的解集为(-,2).故选D.3.C令g(x)=f(x)+1ex,f(x)+1<f'(x),则g'(x)=f'(x)-f(x)-1ex>0,故g(x)在R上递增,且g(0)=3,由f(x)+1>3ex,可得f(x)+1ex>3,即g(x)>g(0),所以x>0,故选C.4.Df'(x)=1-lnxx2(x>0),当x(0,e)时,f'(x)>0;当x(e,+)时,f'(x)<0.故当x=e时,f(x)max=f(e).f(2)=ln22=ln86,f(3)=ln33=ln96,故f(e)>f(3)>f(2).故选D.5.(1,2f(x)=12x2-9lnx,f'(x)=x-9x(x>0),当x-9x0时,有0<x3,即f(x)在(0,3上是减少的,则a-1,a+1(0,3,a-1>0且a+13,解得1<a2.6.Df'(x)=2ax-4a-1x=2ax2-4ax-1x.若f(x)在(1,3)上不具有单调性,令g(x)=2ax2-4ax-1,则当a=0时,显然不成立,a0时,只需=16a2+8a>0,g(1)g(3)<0,解得a<-12或a>16.而12,+-,-1216,+,故选D.7.Af(ex)=ax-2ex,所以f(x+1)>ax-2ex在(0,+)上恒成立,等价于f(x+1)>f(ex)在(0,+)上恒成立.因为当x(0,+)时,1<x+1<ex恒成立,所以只需f(x)在(1,+)上递减,即当x>1时,f'(x)0恒成立,即当x>1时,ax2恒成立,所以a2.故选A.8.(-,-2-2ln 2)因为f(x)=x2-4ex-ax,所以f'(x)=2x-4ex-a.由题意,f'(x)=2x-4ex-a>0有解,即a<2x-4ex有解.令g(x)=2x-4ex,则g'(x)=2-4ex.令g'(x)=0,解得x=-ln2.函数g(x)=2x-4ex在(-,-ln2)上递增;在(-ln2,+)上递减.所以当x=-ln2时,g(x)=2x-4ex取得最大值-2-2ln2,所以a<-2-2ln2.9.解(1)f'(x)=6ax2-6(a2+1)x+6a=6(x-a)(ax-1),由f'(x)=0,得x=a或x=1a.当0<a<1时,1a>a.所以当x<a或x>1a时,f'(x)>0,从而f(x)在(-,a),1a,+上递增;当a<x<1a时,f'(x)<0,从而f(x)在a,1a上递减.当a=1时,1a=a=1.所以f'(x)0,从而f(x)在R上递增.当a>1时,a>1a.所以当x<1a或x>a时,f'(x)>0,从而f(x)在-,1a,(a,+)上递增;当1a<x<a时,f'(x)<0,从而f(x)在1a,a上递减.综上,当0<a<1时,f(x)在(-,a),1a,+上递增,在a,1a上递减;当a=1时,f(x)在R上递增;当a>1时,f(x)在-,1a,(a,+)上递增,在1a,a上递减.(2)f(a)=-a4+3a2-2=(a2-1)(2-a2),f1a=1-1a2.当0<a<1时,f(a)<0,f1a<0,所以f(x)仅在1a,+上有一个零点,因此0<a<1满足题设.当a=1时,f(1)=0,所以f(x)在R上仅有一个零点1,因此a=1满足题设.当a>1时,f1a>0,所以要满足题设须有f(a)>0,从而2-a2>0,解得1<a<2,因此1<a<2满足题设.综上满足题目条件的a的取值范围是(0,2).10.A构造函数g(x)=f(x)cosx,x0,2,则g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinx(cosx)2>0,g(x)在0,2上递增.由f(x)=f(-x),得f(x)为偶函数,a=233f-6=233f6=f(6)32=f(6)cos6=g6,b=2f-4=2f4=f(4)22=f(4)cos4=g4,c=2f3=f(3)12=f(3)cos3=g3.0<6<4<3<2,且g(x)在0,2上递增,g6<g4<g3,即a<b<c.故选A.11.C由导函数的图像和原函数的关系得,原函数的大致图像可以有以下两种代表形式,如图,由图得,不能断定函数f(x)是周期函数,故A错误;在0,2上导函数值为负,故原函数递减,故B错误;由动直线x=a与函数f(x)的图像交点个数可以为0,1,2,3,4,故函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4,故C正确;对于第二个图,函数y=f(x)-a的零点个数可以为2或3,故D错误.12.3e2-1当xe时,f'(x)=1-1x>0,所以f(x)=x-lnx在e,+)上递增,则f(x)f(e)=e-lne=e-1,值域是e-1,+).又当x<e时,f(x)=-x2+m递减,则f(x)>-e2+m,值域是-e2+m,+.由题设f(x)的值域为e-1,+),所以-e2+m,+e-1,+).于是-e2+me-1,解得m3e2-1.故实数m的最小值为3e2-1.13.解由题意得x(0,+),f'(x)=mx-1-mx2=-x2-mx+mx2.令g(x)=x2-mx+m,=m2-4m=m(m-4).当0m4时,0,g(x)0恒成立,则f'(x)0,f(x)在(0,+)上递减.当m<0时,>0,函数g(x)与x轴有两个不同的交点x1,x2(x1<x2),x1+x2=m<0,x1x2=m<0,则x1<0,x2>0.所以当x0,m+m2-4m2时,g(x)<0,f'(x)>0,则f(x)在0,m+m2-4m2上递增;当xm+m2-4m2,+时,g(x)>0,f'(x)<0,则f(x)在m+m2-4m2,+上递减.当m>4时,>0,函数g(x)与x轴有两个不同的交点x1,x2(x1<x2),x1+x2=m>0,x1x2=m>0,则x1>0,x2>0.所以f(x)在0,m-m2-4m2,m+m2-4m2,+上递减;在m-m2-4m2,m+m2-4m2上递增.综上所述,当0m4时,f(x)在(0,+)上递减;当m<0时,f(x)在0,m+m2-4m2上递增,在m+m2-4m2,+上递减;当m>4时,f(x)在0,m-m2-4m2上递减,在m-m2-4m2,m+m2-4m2,m+m2-4m2,+上递减.14.A根据题意,设g(x)=f(x)cosx,其导数为g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x.因为当0<x<2时,f'(x)cosx+f(x)sinx<0,所以当0<x<2时,g'(x)<0,则函数g(x)在0,2上递减.又因为f(x)为定义域为-2,2的奇函数,则g(-x)=f(-x)cos(-x)=-f(x)cosx=-g(x),则函数g(x)为奇函数,所以函数g(x)在-2,2上是减少的.f(x)<2f4cosx,即f(x)cosx<2f4,即f(x)cosx<f(4)cos4,即g(x)<g4.所以4<x<2,即不等式的解集为4,2.故选A.15.解(1)当a=0时,f(x)=x-1x+1,x(0,+).此时f'(x)=2(x+1)2,于是f'(1)=12,f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-0=12(x-1),即x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=ax+2(x+1)2=ax2+2(a+1)x+ax(x+1)2.当a0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+)上递增.当a<0时,令g(x)=ax2+2(a+1)x+a,则=4(a+1)2-4a2=4(2a+1).()当a-12时,0,所以g(x)0,于是f'(x)0,所以函数f(x)在(0,+)上递减.()当-12<a<0时,>0,此时g(x)=0有两个不相等的实数根,分别是x1=-(a+1)+2a+1a,x2=-(a+1)-2a+1a,x1<x2.下面判断x1,x2是否在定义域(0,+)上.由根与系数的关系得x1+x2=-2(a+1)a>0,x1x2=1>0,可得0<x1<x2.当0<x<x1或x>x2时,有g(x)<0,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,x1),(x2,+)上递减;当x1<x<x2时,有g(x)>0,f'(x)>0,所以函数f(x)在(x1,x2)上递增.综上所述,当a0时,函数f(x)在(0,+)上递增;当a-12时,函数f(x)在(0,+)上递减;当-12<a<0时,函数f(x)在0,-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a,+上递减,在-(a+1)+2a+1a,-(a+1)-2a+1a上递增.