2022高考数学一轮复习大题专项练二三角函数与解三角形文含解析新人教A版.docx
高考大题专项(二)三角函数与解三角形1.(2020北京海淀一模,16)已知函数f(x)=2cos21x+sin 2x.(1)求f(0)的值;(2)从1=1,2=2;1=1,2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在-2,6上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.2.(2020山东潍坊二模,17)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,A=3.(1)若B=4,求b;(2)求ABC面积的最大值.3.(2020江苏,16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=2,B=45°.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cosADC=-45,求tanDAC的值.4.(2019全国1,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.5.(2020山东潍坊一模,17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(c-a,sin B),n=(b-a,sin A+sin C),且mn.(1)求C;(2)若6c+3b=3a,求sin A.6.已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,S为ABC的面积,sin(B+C)=2Sa2-c2.(1)证明:A=2C;(2)若b=2,且ABC为锐角三角形,求S的取值范围.参考答案高考大题专项(二)三角函数与解三角形1.解(1)f(0)=2cos20+sin0=2.(2)方案一:选条件.f(x)的一个周期为.f(x)=2cos2x+sin2x=(cos2x+1)+sin2x=222sin2x+22cos2x+1=2sin2x+4+1.因为x-2,6,所以2x+4-34,712.所以-1sin2x+41.所以1-2f(x)1+2.当2x+4=-2,即x=-38时,f(x)在-2,6上取得最小值1-2.方案二:选条件.f(x)的一个周期为2.f(x)=2cos2x+sinx=2(1-sin2x)+sinx=-2sinx-142+178.因为x-2,6,所以sinx-1,12.所以-1f(x)178.当sinx=-1,即x=-2时,f(x)在-2,6上取得最小值-1.2.解(1)由正弦定理得b=a·sinBsinA=23·sin4sin3=22.(2)因为ABC的内角和A+B+C=,A=3,所以0<B<23.因为b=asinAsinB=4sinB,所以SABC=12absinC=43sinBsin23-B=43sinB32cosB+12sinB=6sinBcosB+23sin2B=23sin2B-6+3.因为0<B<23,所以-6<2B-6<76.当2B-6=2,即B=3时,ABC面积取得最大值33.3.解(1)在ABC中,因为a=3,c=2,B=45°,由余弦定理,得b2=9+2-2×3×2cos45°=5,所以b=5.在ABC中,由正弦定理,得5sin45°=2sinC,所以sinC=55.(2)在ADC中,因为cosADC=-45,所以ADC为钝角,而ADC+C+CAD=180°,所以C为锐角.故cosC=1-sin2C=255,则tanC=sinCcosC=12.因为cosADC=-45,所以sinADC=1-cos2ADC=35,tanADC=sinADCcosADC=-34.从而tanDAC=tan(180°-ADC-C)=-tan(ADC+C)=-tanADC+tanC1-tanADC×tanC=-34+121-34×12=211.4.解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120°-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-22.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=22,故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=6+24.5.解(1)因为mn,所以(c-a)(sinA+sinC)=(b-a)sinB,由正弦定理得(c-a)(a+c)=(b-a)b,所以a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.因为C(0,),故C=3.(2)由(1)知B=23-A,由题设及正弦定理得6sinC+3sin23-A=3sinA,即22+32cosA+12sinA=sinA,可得sinA-3=22.因为0<A<23,所以-3<A-3<3,所以cosA-3=22,故sinA=sinA-3+3=sinA-3cos3+cosA-3sin3=6+24.6.(1)证明由sin(B+C)=2Sa2-c2,即sinA=2Sa2-c2,得sinA=bc·sinAa2-c2,又sinA0,bc=a2-c2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,则bc=b2-2bccosA,又b0,c=b-2c·cosA,由正弦定理得sinC=sinB-2sinC·cosA,即sinC=sin(A+C)-2sinC·cosA=sin(A-C),又0<A<,0<C<,A=2C.(2)解A=2C,B=-3C,sinB=sin3C,asinA=bsinB,且b=2,a=2sin2Csin3C,S=12ab·sinC=2sin2C·sinCsin(2C+C)=2sin2C·sinCsin2C·cosC+cos2C·sinC=2tan2C·tanCtan2C+tanC=4tanC3-tan2C=43tanC-tanC,ABC为锐角三角形,则A0,2,B0,2,C0,2,即2C0,2,-3C0,2,解得C6,4,tanC33,1,S=43tanC-tanC为增函数,S32,2.
