2022高中数学 3-2 第2课时一元二次不等式的应用同步导学案 北师大版必修5.doc

第2课时一元二次不等式的应用知能目标解读1.能利用一元二次不等式解简单的分式不等式与高次不等式.2.利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题.3.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.4.解决相关实际应用问题.重点难点点拨重点：1.解简单的分式不等式与高次不等式.2.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.难点：利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题.学习方法指导解不等式的关键问题就是保证转化的等价性.（1）分式不等式一般先移项通分，然后利用>0(或<0)型转化为f(x)·g(x)>0（或<0），再求解.对于0（或0），一定不能忽视去掉g(x)=0的情况.（2）含绝对值号的不等式，可分段去掉绝对值号讨论，也可采用两边平方法，应根据题目条件的特点选取方法.（3）高次不等式一般分解因式后用标根法求解，但要注意x的高次项系数为正.（4）不等式恒成立求字母取值范围问题：在给定区间上不等式恒成立，一般地，有下面常用结论：f(x)<a恒成立，f(x) max<a;f(x)>a恒成立，f(x) min>a.（5）关于二次方程根的分布主要有以下几种常见问题（a0条件下）:方程ax2+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实根.主要考虑判别式和二次项系数a的符号.方程ax2+bx+c=0有两正根方程ax2+bx+c=0有一正一负两实根方程ax2+bx+c=0有零根c=0.方程ax2+bx+c=0有两个大于n的根（解法类似于有两正根）方程ax2+bx+c=0有两个小于k的根（解法类似于有两负根情形）方程ax2+bx+c=0一根大于k,另一根小于k（解法类似于一正一负根的情形）.则需方程ax2+bx+c=0两根都在（m、n）内.则需方程ax2+bx+c=0一根在（m、n）内，另一根在（n、p）内.则需方程ax2+bx+c=0一根在（m,n）内，另一根在（p，q）内.则需思路方法技巧命题方向分式不等式的解法例1不等式<1.分析解分式不等式一般首先要化为>0（或<0）的标准形式，再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用"穿针引线法"，借助于数轴得解.解析解法一：原不等式可化为>0 (2x2-3x+1)(3x2-7x+2)>0解得原不等式的解集为x|x<或<x<1，或x>2.解法二：原不等式移项，并因式分解得>0 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)>0,在数轴上标出(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)0的根，并画出示意图，如图所示.可得原不等式的解集为x|x<或<x<1，或x>2.说明解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再进行求解.变式应用1解不等式：1.解析原不等式-100故原不等式的解集为x|-2x<1.命题方向高次不等式的解法例2解下列不等式:（1）(x+1)(1-x)(x-2)>0;(2)x3-2x2+3<0;(3)x(x-1) 2(x+1) 3(x+2)0.分析通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积的问题，然后再依据相关性质解答.解析（1）原不等式等价于(x-1)(x-2)(x+1)<0,令y=(x-1)(x-2)(x+1),当y=0时，各因式的根分别为1，2，-1，如图所示可得不等式的解集为x|x<-1或1<x<2.（2）原不等式可化为（x+1）(x2-3x+3)<0,而对任意实数x，恒有x2-3x+3>0(=（-3）2-12<0).原不等式等价于x+1<0,原不等式的解集为x|x<-1.(3)方程x(x-1) 2(x+1) 3(x+2)=0的根依次为0，1，-1，-2，其中1为双重根，-1为三重根，（即1为偶次根，-1为奇次根），如图所示，由"穿针引线法"可得不等式的解集为x|-2x-1，或x0.说明解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；是否有多余的点，多余的点应去掉；总结规律，"遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过"，如上图.变式应用2解不等式(x-3)(x+2)(x-1) 2(x-4)>0.解析令(x-3)(x+2)(x-1) 2(x-4)=0，得各因式的根分别为-2,1,3,4.将各因式的根从小到大依次标在数轴上，如图原不等式的解集是x|-2<x<1或1<x<3或x>4.命题方向不等式恒成立问题例3函数f(x)=mx2-mx-6+m.(1)若对于m-2,2，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若对于x1，3，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.分析在（1）中，由已知m的取值范围，要求x的取值范围，因此需要把f(x)转化为m的函数，即以m为主元，把x视为参数，在（2）中则恰好相反.解析（1）设f(x)=m(x2-x+1)-6=g(m),则g(m)是关于m的一次函数，且一次项系数为x2-x+1.x2-x+1=(x-)2+>0， g(m)在-2，2上递增，g(m)<0等价于g(2)=2（x2-x+1）-6<0，即-1<x<2，所求的x的取值范围为-1<x<2.（2）f(x)=m(x-)2+m-6<0在x1，3上恒成立，解()得0<m<.解()得m=0.解()得m<0.综上可得m的范围是m<.说明在给定区间上，不等式恒成立，常有如下结论：a>f(x)恒成立a>f(x) maxa<f(x)恒成立a<f(x) min.变式应用3当x(1,2)时，不等式x2+mx+4>0恒成立，求m的取值范围.解析设f(x)=x2+mx+4,当x(1,2)时，不等式x2+mx+4>0恒成立，等价于f(x) min>0恒成立.(1)当1,即m-2时，f(x)在区间（1，2）上单调递增，f(x) min=f(1)=m+50,m-5,即m-2.(2)当1<-<2,即-4<m<-2时，f(x) min=f（-)=-+4>0,解得-4<m<4,即-4<m<-2.(3)当-2,即m4时，f(x)在区间（1，2）上单调递减，f(x) min=f(2)=2m+80,m-4,即m=-4.综上所述,m的取值范围为m-4.命题方向实际应用问题例4某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0<x<1），则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润（出厂价-投入成本）×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？分析首先根据题意建立y与x的函数关系式，然后解不等式.解析(1)由题意得y=1.2×（1+0.75x）-1×（1+x）×1000（1+0.6x）(0<x<1),整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有解得0<x<.即投入成本增加的比例应在（0，）的范围内. 说明应用问题中需把实际问题转换成数学语言，其中建模是关键，把题中的不等关系用不等式表示，通过不等式的解法解决范围问题.变式应用4(2012·如皋高二检测)国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实际征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率R），则每年的销售量减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？分析由题目可获取以下主要信息：每瓶酒的价格：70元；不加收附加税，每年产销约100万瓶；征收附加税，每年销量减少10R，且税率为R%.按"附加税金额销售收入×税率"建立R的不等式求解.解析设产销量每年为x万瓶，则销售收入为每年70x万元.从中征收的附加税为70x·R%其中x=100-10R由题意得70(100-10R)·R%112,即R2-10R+160.解此不等式得：2R8.故当2R8时，每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元.探索延拓创新命题方向用一元二次不等式讨论一元二次方程的根例5关于x的方程x2-(m-1)x+2-m=0的两根为正数，求m的取值范围.分析利用根与系数的关系或者相应二次函数的图像等价转化为不等式组求解.解析方法一：利用判别式及根与系数的关系求解.所以m的取值范围是-1+2m<2.方法二：利用相应的二次函数图像及一元二次方程根的分布求解.记f(x)=x2-(m-1)x+2-m,则由题意得f(x)的图像为：下同方法一.下同方法一.说明1.当0时，方程才有实根，故在用根与系数的关系时不要忽略.3.此题为一元二次方程根的分布问题，数形结合法是解决此类问题的好方法.变式应用5已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两根一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围.解析关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个不同实根，k0.又一个根小于1，一个根大于1，令f(x) =2kx2-2x-3k-2,当k>0时，有f(1)<0，即2k-2-2-3k<0,解得k>-4,k>0.当k<0时，有f(1)>0，即2k-2-3k-2>0,解得k<-4,k<-4.综上所述,k的取值范围为k<-4或k>0.名师辨误做答例6解不等式>1(a1).误解原不等式可化为a(x-1)>x-2,即(a-1)x>a-2.当a-1>0，即a>1时，x>当a-1<0，即a<1时，x<.综上所述，当a>1时，原不等式的解集为xx>,当a<1时，原不等式的解集为x|x<.辨析在将分式不等式化整式不等式时，因没有考虑x-2的符号而直接乘到不等号右端，得到与原分式不等式不等价的整式不等式.事实上，当x-2>0时，在分式不等式两端同时乘以x-2得到的不等式与原不等式等价，而当x-2<0时，不等式两端同乘以一个负数x-2,不等号的方向要改变.这种因忽略代数式的符号（是正还是负）而直接乘到不等式右端的现象，是很容易犯的错误.正解原不等式可化为-1>0,即(a-1) (x-) (x-2)>0 当a>1时，式即为 (x-) (x-2)>0.-2=-1<0,<2,此时x>2或x<.当a<1时，式即为 (x-) (x-2)<0.2-=.若0<a<1，则>2,此时2<x<若a=0，则(x-2) 2<0,此时无解；若a<0，则<2，此时<x<2.综上所述，当a>1时，解集为x|x<或x>2;当0<a<1时，解集为x|2<x<当a=0时，解集为;当a<0时，解集为x|<x<2.课堂巩固训练一、选择题1.不等式<0的解集为（）A.x|-2<x<3 B.xx<-2C.xx<-2,或x>3 D.xx>3答案A解析不等式<0可化为(x+2)(x-3)<0,-2<x<3,故选A.2.不等式2的解集为（）A.-1,0) B.-1,+)C.(-,-1D.(-,-1(0,+)答案A解析解法一：原不等式化为0，即x(x+1)0且x0,-1x<0，故选A.解法二：排除法：x=0时，不等式无意义，排除B；x=-2时，原不等式化为2，不成立，排除C、D，故选A.3.下列不等式的解集是R的为（）A.x2+2x+1>0B. >0C.（)x+1>0D. -<答案C解析A中不等式的解集为x|x-1,B的解集为x|x0,D的解集为x|x0,只有C满足.A.-1,2B.0,2C.1,+) D.0,+)答案D解析本小题考查内容为分段函数中不等式的解法.当x1时，21-x2=21,1-x1,0x1,当x>1时，1-log2x2,log2x-1=log2.x,x>1,综合知，x0.二、填空题5.（2010·大纲全国卷）不等式0的解集是答案x|-2<x<-1或x>2解析由>0得>0,即(x+1)(x+2)(x-2)>0.如图，用数轴穿根法得原不等式的解集为x|-2<x<-1或x>2.6.若函数f(x)=的定义域为R，则a的取值范围为.答案-1,0解析已知函数的定义域为R,即2x2-2ax-a-10在R上恒成立,也即x2-2ax-a0恒成立,所以有=(-2a) 2-4(-a)0,解得-1a0.三、解答题7.解不等式：2.解析原不等式等价变形为-20,即0，即为0，画出示意图如下：可得原不等式的解集为x|x<-3或-1x或x>1.课后强化作业一、选择题1.若集合A=x|2x-1|<3,B=x|<0，则AB等于（）A.x|-1<x<-或2<x<3B.x|2<x<3C.x|-<x<2D.x|-1<x<-答案D解析|2x-1|<3,-3<2x-1<3,-1<x<2.又<0,(2x-1)(x-3)>0,x>3或x<-.A=x|-1<x<2,B=x|x>3或x<-,AB=x|-1<x<-,故选D.2.（2012·洛阳高二期末）不等式>0的解集为（）A.x|x<-2，或x>3B.x|x<-2,或1<x<3C.x|-2<x<1,或x>3D.x|-2<x<1,或1<x<3答案C解析不等式>0可化为>0,即（x-3） (x-1)(x+2)>0,如图，由数轴穿根法可得不等式的解集为x|-2<x<1或x>3.3.函数y=的定义域是（）A. x|x-4,或x3B.x|-4x3C.x|x-4，或x3D.x|-4x3答案C解析使y=有意义，则x2+x-120.(x+4)(x-3)0，x-4,或x3.4.（2011·湖北理，2）已知U=y|y=log2x,x>1,P=y|y=,x>2，则CUP=（）A.,+) B.(0, )C.(0,+) D.(-,0,+)答案A解析本题考查函数值域求解及补集运算.U=y|y=log2x,x>1=(0,+), P=y|y=,x>2=(0, ),CUP=,+). 5.（2012·宁德高二检测）设函数f(x)x2+bx+1,且f(-1) =f(3),则f(x)>0的解集为（）A.(-,1)(3,+) B. RC.x|x1D.x|x=1答案C解析f(-1)=f(3)1-b+1=9+3b+1,b=-2,f(x)=x2-2x+1=(x-1) 2,f(x)>0的解集为x|x1.6.若f(x)=-x2+mx-1的函数值有正值，则m的取值范围是（）A.m-2或m2B.-2m2C.m±2D.1m3答案A解析f(x)=-x2+mx-1有正值，=m-40，m2或m-2.7.关于x的不等式ax-b>0的解集是（1，+），则关于x的不等式>0的解集是（）A.（-,-1）(2,+)B.（-1，2）C.（1，2）D.（-，1）(2,+)答案A解析由ax-b0的解集为（1，+）得8.如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实根一个小于-1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（）A.（-，）B.（-2，0）C.（-2，1）D.（0，1）答案D解析解法一：验证排除法：当m=0时，原方程可化为x2-x-2=0,方程两根为2和-1，不合题意，排除A、C；当m=-1时，原方程可化为x2-2x-1=0,方程的两根为1+或1-，不合题意，排除B，故选D.二、填空题9.（2011·安徽文，13）函数y=的定义域是答案x|-3<x<2解析该题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法，注意填定义域（集合）.由6-x-x2>0，得x2+x-6<0,即x|-3<x<2.10.不等式>1的解集是.答案x|x<-2解析原不等式可化为-1>0，即>0,x+2<0，x<-2.11.方程2x2+4mx+3m-1=0有两个不相等的负根，则m的取值范围是.答案（,）(1,+)12.已知 <1的解集是x|x<1或x>2，则实数a的值为 .答案解析 <1,<0,即(a-1)x+1(x-1)<0,又不等式<1的解集为x|x<1或x>2,a-1<0,(x+)(x-1)>0.-=2,a=.三、解答题13.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为x|x<1或x>b,（1）求a,b的值；(2)解不等式>0.解析 (1)由已知得：1，b是方程ax2-3x+6=4的两根，a-3+6=4,a=1,方程x2-3x+2=0其两根为x1=1,x2=2,b=2.(2)将a=1,b=2代入不等式>0得，>0,可转化为：（x+1）(x-1)(x-2)>0,把方程（x+1）(x-1)(x-2)=0的根x1=-1、x2=1.x3=2顺次标在数轴上，穿根得：原不等式的解集为x|-1<x<1或x>2.14.在R上定义运算:xy=x(1-y).若不等式（x-a）（x+a）<1对任意实数x恒成立，求a的取值范围.解析因为（x-a） (x+a)=(x-a)(1-x-a),又不等式（x-a） (x+a)<1对任意实数x恒成立，所以（x-a）(1-x-a)<1对任意实数x恒成立，即x2-x-a2+a+1>0对任意实数x恒成立，所以=(-1) 2-4(-a2+a+1)<0,解得<a<即a的取值范围是<a<.15.当a为何值时，不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1<0的解是全体实数？解析当a2-1=0，即a=±1时，若a=1，则原不等式为-1<0，恒成立.若a=1，则原不等式为2x-1<0,即x<，不符合题目要求，舍去.当a2-10,即a±1时，原不等式的解集为R的条件是a2-1<0=(a-1) 2+4(a2-1)<0,解得-<a<1.综上所述，当-<a1时，原不等式的解为全体实数.16.解关于x的不等式-x>0.解析原不等式可化为>0,即x(mx-1)>0.当m>0时，解得x<0或x>当m<0时，解得<x<0;当m=0时，解得x<0.综上，当m>0时，不等式的解集为x|x<0或x>当m<0时，不等式的解集为x|<x<0;当m=0时，不等式的解集为x|x<0.16