届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时跟踪训练解三角形应用举例文.doc

课时跟踪训练(二十四) 解三角形应用举例 根底稳固一、选择题1两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，那么灯塔A与灯塔B的距离为()Aa B.aC.a D2a解析如下图，由余弦定理可知，AB2a2a22a·a·cos120°3a2得ABa.应选B.答案B2如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m解析由题意得B180°45°105°30°，由正弦定理得，AB50(m)答案A3两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，那么灯塔A在灯塔B的()A北偏东10° B北偏西10°C南偏东10° D南偏西10°解析灯塔A、B的相对位置如下图，由得ACB80°，CABCBA50°，那么60°50°10°，即北偏西10°.答案B4在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，那么云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m解析依题意画出示意图那么CM×1037.3.答案C5张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，那么电动车在点B时与电视塔S的距离是()A2 km B3 km C3 km D2 km解析画出示意图如图，由条件知AB24×6.在ABS中，BAS30°，AB6，ABS180°75°105°，所以ASB45°.由正弦定理知，所以BS3.答案B6在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，那么塔高为()A. 米 B. 米C. 米 D. 米解析作出示意图如右图，由，在RtOAC中，OA200，OAC30°，那么OCOA·tanOAC200tan30°.在RtABD中，AD，BAD30°，那么BDAD·tanBAD·tan30°，BCCDBD200.答案A二、填空题7一船以每小时15 km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为_km.解析如下图，依题意有：AB15×460，MAB30°，AMB45°，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)答案308(2022·广东广州市高三综合测试)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，那么两条船相距_m.解析如图，由题意知，OA30，OAM45°，OAN30°，MON30°.在RtAOM中，OMOA·tanOAM30·tan45°30.在RtAON中，ONOA·tanOAN30·tan30°10.在MON中，由余弦定理得MN 10(m)答案109(2022·山西大学附中检测)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，那么河流的宽度BC等于_m.解析如图，ACD30°，ABD75°，AD60 m, 在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)(m)，BCCDBD6060(2)120(1)(m)答案120(1)三、解答题10.港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？解在BDC中，BC31，BD20，CD21，由余弦定理知，cosCDB，sinCDB.sinACDsinsinCDBcoscosCDBsin .在ACD中，由正弦定理知AD×21÷15.此时轮船距港口还有15海里能力提升11(2022·山西太原模拟)某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60 °，那么山的高度BC为()A500(1)m B500 mC500(1)m D1000 m解析过点D作DEAC交BC于E，因为DAC30°，故ADE150°.于是ADB360°150°60°150°.又BAD45°30°15°，故ABD15°，由正弦定理，得AB500()(m)所以在RtABC中，BCABsin45°500(1)(m)答案A12某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，那么塔高为()A15米 B5米 C10米 D12米解析如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45°，那么OCOAh.在RtAOD中，ADO30°，那么ODh，在OCD中，OCD120°，CD10，由余弦定理得：OD2OC2CD22OC·CDcosOCD，即(h)2h21022h×10×cos120°，h25h500，解得h10或h5(舍)答案C13甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，假设甲船是乙船速度的倍，那么甲船应取方向_才能追上乙船；追上时甲船行驶了_海里解析如下图，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，那么BCtv，ACtv，B120°，由正弦定理知，sinCAB，CAB30°，ACB30°，BCABa，AC2AB2BC22AB·BCcos120°a2a22a2·3a2，ACa.答案北偏东30°a14. (2022·广东省五校协作体高三一诊)如下图，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45°，根据以上数据可得cos_.解析由DAC15°，DBC45°可得BDA30°，DBA135°，BDC90°(15°)30°45°，由内角和定理可得DCB180°(45°)45°90°，根据正弦定理可得，即DB100sin15°100×sin(45°30°)25(1)，又，即，得到cos1.答案115.海岛B上有一座高为10米的塔，塔顶有一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处(假设游船匀速行驶)(1)求该船行驶的速度(单位：米/分钟)；(2)又经过一段时间后，游船到达海岛B的正西方向E处，问此时游船距离海岛B多远？解(1)在RtABC中，BAC60°，AB10，那么BC10米；在RtABD中，BAD45°，AB10，那么BD10米；在BCD中，DBC75°15°90°，那么CD 20米所以速度v20米/分钟(2)在RtBCD中，BCD30°，又因为DBE15°，所以CBE105°，所以CEB45°.在BCE中，由正弦定理可知，所以EB5米延伸拓展(2022·江西宜春段考)某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲撤除高为AB的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得BCD75°，BDC60°，CD40米，并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°，且CE1米，那么烟囱高AB_米解析CBD180°BCDBDC45°，在CBD中，根据正弦定理得BC20，AB1tan30°·CB120(米)答案120