届高考数学一轮复习第章立体几何第讲空间角与距离空间向量及应用作业试题含解析新人教版.doc
第八章 立体几何第五讲空间角与距离、空间向量及应用练好题考点自测1.2020安徽省阜阳市模拟在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,zR),若A,B,C,D四点共面,则()A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0C.x-y+z=-4 D.x+y-z=02.广东高考,5分已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是()A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)3.下列说法正确的是()A.直线的方向向量是唯一确定的B.若直线a的方向向量和平面的法向量平行,则aC.若两平面的法向量平行,则两平面平行D.若直线a的方向向量与平面的法向量垂直,则a4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC的一个法向量的是()A.(-1,1,1) B.(1,-1,1)C.(-,-,-) D.(,-)5.2020四川五校联考已知四面体ABCD中,平面ABD平面BCD,ABD是边长为2的等边三角形,BD=DC,BDCD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A. B. C. D.6.2019全国卷,5分已知ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为. 图8-5-17.2020天津,15分如图8-5-1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,ACBC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.()求证:C1MB1D.()求二面角B-B1E-D的正弦值.()求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.拓展变式1.2020山东,12分如图8-5-10,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.图8-5-10 (1)证明:l平面PDC.(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.2.2020全国卷,12分如图8-5-14,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)证明:点C1在平面AEF内.(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.图8-5-143.2021山东新高考模拟如图8-5-23,将长方形OAA1O1(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,其中OA=1,OO1=2,图8-5-23的长为,AB为O的直径.(1)在上是否存在点C(C,B1在平面OAA1O1的同侧),使得BCAB1,若存在,请确定其位置;若不存在,请说明理由.(2)求二面角A1-O1B-B1的余弦值.4.2021河北省六校第一次联考如图8-5-27(1),在RtABC中,B为直角,AB=BC=6,EFBC,AE=2,沿EF将AEF折起,使AEB=,得到如图8-5-27(2)所示的几何体,点D在线段AC上.图8-5-27(1)求证:平面AEF平面ABC.(2)若AE平面BDF,求直线AF与平面BDF所成角的正弦值.答 案第五讲空间角与距离、空间向量及应用1.A由题意可得=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2).A,B,C,D四点共面,存在实数,使得=+,即(x-1,y-1,z+2)=(0,1,-1)+(-2,2,2),解得2x+y+z=1,故选A.2.B设选项中的向量与a的夹角为,对于选项A,由于cos =-,此时夹角为120°,不满足题意;同理可知选项C,D不满足题意;对于选项B,由于cos =,此时夹角为60°,满足题意.故选B.3.CA中,直线的方向向量不是唯一的,有无数多个,故A错误;B中,由条件得a,故B错误;D中,由条件得,a或a,故D错误.易知C正确,选C.4.C由题意,得=(-1,1,0),=(-1,0,1),设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,则即可得x=y=z.故选C.5.A由题意知CD平面ABD.以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DB所在直线为y轴建立如图D 8-5-1所示的空间直角坐标系,则A(0,1,),C(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,0),=(2,-1,-),=(0,-2,0),设异面直线AC与BD所成的角为,则cos =,所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为,故选A.图D 8-5-16.如图D 8-5-2,过点P分别作PEBC交BC于点E,作PFAC交AC于点F.由题意知PE=PF=.过P作PH平面ABC于点H,连接HE,HF,HC,易知HE=HF,则易得点H在ACB的平分线上,又ACB=90°,故CEH为等腰直角三角形.在RtPCE中,PC=2,PE=,则CE=1,故CH=,在RtPCH中,可得PH=,即点P到平面ABC的距离为.图D 8-5-27. 依题意,以C为原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图D 8-5-3), 可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).图D 8-5-3()依题意,=(1,1,0),=(2,-2,-2),从而·=2-2+0=0,所以C1MB1D.()依题意,=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量,=(0,2,1),=(2,0,-1).设n=(x,y,z)为平面DB1E的法向量,则即不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).因此有cos,n=,于是sin,n=.所以二面角B-B1E-D的正弦值为.()依题意,=(-2,2,0).由()知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量,于是cos<,n>=-.所以,直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为.1.(1)因为PD底面ABCD,所以PDAD.又底面ABCD为正方形,所以ADDC.又PDDC=D,因此AD平面PDC.因为ADBC,AD平面PBC,所以AD平面PBC.由已知得lAD.因此l平面PDC.(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图D 8-5-4所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0),=(1,1,-1).图D 8-5-4由(1)可设Q(a,0,1),则=(a,0,1).设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,则即可取n=(-1,0,a).所以cos<n,>= .设PB与平面QCD所成角为,则sin =×=.因为,当且仅当a=1时等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.2.如图D 8-5-5,以C1为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系C1-xyz.图D 8-5-5 (1)设AB=a,AD=b,AA1=c,连接C1F,则C1(0,0,0),A(a,b,c),E(a,0,c),F(0,b,c),=(0,b,c),=(0,b,c),得=,因此EAC1F,即A,E,F,C1四点共面,所以点C1在平面AEF内.(2)由已知得A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A1(2,1,0),=(0,-1,-1),=(-2,0,-2),=(0,-1,2),=(-2,0,1).设n1=(x1,y1,z1)为平面AEF的法向量,则即可取n1=(-1,-1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面A1EF的法向量,则即可取n2=(,2,1).因为cos<n1,n2>=-,所以二面角A-EF-A1的正弦值为.3.(1)存在符合题意的点C,当B1C为圆柱OO1的母线时,BCAB1.下面给予证明:在上取点C,使B1C为圆柱的母线,则B1CBC,如图D 8-5-6,连接BC,AC,因为AB为O的直径,所以BCAC,又B1CAC=C,所以BC平面AB1C.因为AB1平面AB1C,所以BCAB1.图D 8-5-6(2)取的中点D(D,B1在平面OAA1O1的同侧),连接OD,OC,由题意可知,OD,OA,OO1两两垂直,故以O为坐标原点,以OD,OA,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图D 8-5-6所示的空间直角坐标系O-xyz,因为的长为,所以AOC=A1O1B1=,则O1(0,0,2),B(0,-1,0),B1(,2),D(1,0,0),所以=(0,-1,-2),=(,0).设平面O1BB1的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,得n=(2,-2,1).易知=(1,0,0)为平面O1A1B的一个法向量.设二面角A1-O1B-B1的大小为,由图D 8-5-6可知为锐角,则cos =.所以二面角A1-O1B-B1的余弦值为.4.(1)在ABE中,AE=2,BE=4,AEB=,由余弦定理得AB2=AE2+BE2-2AE·BEcosAEB=4+16-2×2×4×=12,AB=2,EB2=EA2+AB2,EAB=,即EAAB.易知EFEB,EFEA,EAEB=E,EF平面ABE,又AB平面ABE,EFAB.又EAEF=E,EA,EF平面AEF,AB平面AEF,又AB平面ABC,平面AEF平面ABC. (2)如图D 8-5-7,以A为原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,过点A垂直于平面ABE的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),E(0,2,0),F(0,2,2),C(2,0,6),=(0,2,2),=(2,-2,-2),=(2,0,6).图D 8-5-7连接EC,与FB交于点G,连接DG,AE平面BDF,DG为平面AEC与平面BDF的交线,AEGD,=,在四边形BCFE中,EFBC,EFGCBG,=3,=3,=.设D(x0,y0,z0),则=(x0,y0,z0),由=,得D(,0,),=(,-2,-).设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则z=,y=0,n=(1,0,)为平面BDF的一个法向量.设直线AF与平面BDF所成的角为,则sin =,即直线AF与平面BDF所成角的正弦值为.
