届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第讲第课时导数与函数的综合应用配套练习文北师大版.doc

第3课时导数与函数的综合应用一、选择题1某公司生产某种产品，固定本钱为20 000元，每生产一单位产品，本钱增加100元，总营业收入R与年产量x的年关系是RR(x)那么总利润最大时，年产量是()A100 B150C200 D300解析由题意得，总本钱函数为CC(x)20 000100 x，总利润P(x)又P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大答案D2设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)0，当x>0时，有<0恒成立，那么不等式x2f(x)>0的解集是()A(2,0)(2，) B(2,0)(0,2)C(，2)(2，) D(，2)(0,2)解析x>0时<0，(x)在(0，)为减函数，又(2)0，当且仅当0<x<2时，(x)>0，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)>0的解集为(，2)(0,2)答案D3假设关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，那么m的取值范围是()A(，7 B(，20C(，0 D12,7解析令f(x)x33x29x2，那么f(x)3x26x9，令f(x)0得x1或x3(舍去)f(1)7，f(2)0，f(2)20，f(x)的最小值为f(2)20，故m20.答案B4(2022·景德镇联考)函数f(x)的定义域为1,4，局部对应值如下表：x10234f(x)12020f(x)的导函数yf(x)的图像如下图当1<a<2时，函数yf(x)a的零点的个数为()A1 B2C3 D4解析根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数yf(x)的大致图像如下图由于f(0)f(3)2,1<a<2，所以yf(x)a的零点个数为4.答案D5(2022·全国卷)函数f(x)ax33x21，假设f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，那么a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)解析a0时，不符合题意，a0时，f(x)3ax26x.令f(x)0，得x0或x.假设a>0，那么由图像知f(x)有负数零点，不符合题意那么a<0，由图像结合f(0)1>0知，此时必有f>0，即a×3×1>0，化简得a2>4.又a<0，所以a<2.答案C二、填空题6某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x>0)，为使耗电量最小，那么速度应定为_解析由yx239x400，得x1或x40，由于0<x<40时，y<0；x>40时，y>0.所以当x40时，y有最小值答案407函数yx33xc的图像与x轴恰有两个公共点，那么c_.解析设f(x)x33xc，对f(x)求导可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x±1，易知f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减假设f(1)13c0，可知c2；假设f(1)13c0，可得c2.答案2或28(2022·长沙调研)定义域为R的可导函数yf(x)的导函数为f(x)，满足f(x)>f(x)，且f(0)1，那么不等式<1的解集为_解析构造函数g(x)，那么g(x).由题意得g(x)<0恒成立，所以函数g(x)在R上单调递减又g(0)1，所以<1，即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集为(0，)答案(0，)三、解答题9据环保部门侧定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)现相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)假设a1，且x6时，y取得最小值，试求b的值解(1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y.(2)因为a1，所以，y，yk，令y0，得x，又此时x6，解得b8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8.10(2022·榆林月考)函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x>1时，f(x)<x1.(1)解f(x)x1，x(0，)由f(x)>0得解得0<x<.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明令F(x)f(x)(x1)，x(0，)那么有F(x).当x(1，)时，F(x)<0，所以F(x)在(1，)上单调递减，故当x>1时，F(x)<F(1)0，即当x>1时，f(x)<x1.故当x>1时，f(x)<x1.11函数f(x)3x2ln x2x的极值点的个数是()A0 B1C2 D无数个解析函数定义域为(0，)，且f(x)6x2，由于x>0，g(x)6x22x1的20<0，所以g(x)>0恒成立，故f(x)>0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点答案A12(2022·山东省实验中学诊断)假设函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf(x)>0，那么()A3f(1)<f(3) B3f(1)>f(3)C3f(1)f(3) Df(1)f(3)解析由于f(x)>xf(x)，那么<0恒成立，因此在R上是单调递减函数，<，即3f(1)>f(3)答案B13(2022·安徽江南名校联考)x(0,2)，假设关于x的不等式<恒成立，那么实数k的取值范围为_解析依题意，知k2xx2>0.即k>x22x对任意x(0,2)恒成立，从而k0，因此由原不等式，得k<x22x恒成立令f(x)x22x，那么f(x)(x1).令f(x)0，得x1，当x(1,2)时，f(x)>0，函数f(x)在(1,2)上单调递增，当x(0,1)时，f(x)<0，函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以k<f(x)minf(1)e1，故实数k的取值范围是0，e1)答案0，e1)14(2022·北京卷)设函数f(x)kln x，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：假设f(x)存在零点，那么f(x)在区间(1，上仅有一个零点(1)解由f(x)kln x(k>0)，得x>0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当k>e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)>0，f()<0，所以f(x)在区间(1，上仅有一个零点综上可知，假设f(x)存在零点，那么f(x)在区间(1，上仅有一个零点.