【五年经典推荐 全程方略】2022届高三数学 专项精析精炼 2022年考点25 数列求和及综合应用.doc

考点25 数列求和及综合应用一、选择题1. （2013·新课标高考理科·12）设AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则（ ）A、Sn为递减数列B、Sn为递增数列C、S2n1为递增数列，S2n为递减数列D、S2n1为递减数列，S2n为递增数列【解析】选B.因为，所以，注意到，所以.于是中，边长为定值，另两边的长度之和为为定值.因为，所以，当时，有，即，于是的边的高随增大而增大，于是其面积为递增数列.二、填空题2.（2013·新课标高考理科·14）若数列的前项和，则的通项公式是_【解题指南】先利用S1=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通项公式an.【解析】由，解得，又，所以，得 ，所以数列是首项为1，公比为的等比数列.故数列的通项公式【答案】3. （2013·湖南高考理科·15）设为数列的前n项和，则（1）_；（2）_.【解题指南】（1） 令，代入 即可得到答案.（2）通过整理可发现当当为偶数时有，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案.【解析】（1）因为，所以， ，即 ， 把代入得.（2）因为当时，整理得，所以，当为偶数时，当为奇数时，所以，所以，所以当为偶数时，所以.【答案】（1） （2）4. （2013·重庆高考理科·12）已知是等差数列，公差，为其前项和，若、成等比数列，则 【解题指南】先根据、成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出.【解析】因为、成等1比数列, 所以,化简得因为,所以,故【答案】三、解答题5.（2013·大纲版全国卷高考理科·22）已知函数（I）若；（II）设数列【解析】（I），令，即，解得或若，则时， ，所以.若，则时，所以.综上的最小值为.（II）令，由（I）知，时，.即.取，则.于是.所以6.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.【解题指南】(1)由a1,2a2+2,5a3成等比数列可以求得a1与d的关系,进而可求得d与an.(2)由d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n项和的性质求解.【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2,d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6.(2)设数列an前n项和为Sn,因为d<0,所以d=-1,an=-n+11,则n11时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-n2+n;n12时,|a1|+|a2|+|a11|+|a12|+|an|=a1+a2+a11-a12-an=S11-(Sn-S11)= -Sn+2S11=n2-n +110.综上所述,|a1|+|a2|+|an|=7. （2013·重庆高考文科·16）设数列满足：，（）求的通项公式及前项和；（）已知是等差数列，为前项和，且，求【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前项和,再利用题目中所给条件求解.【解析】（）由题设知是首项为公比为的等比数列,所以,（）所以公差，故.8.（2013·上海高考理科·T23）给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1,a2,a3,满足an+1=f(an),nN*.(1)若a1=-c-2,求a2及a3.(2)求证:对任意nN*,an+1-anc.(3)是否存在a1,使得a1,a2,an,成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.【解析】(1)a2=2,a3=c+10.(2)f(x)=当an-c时,an+1-an=c+8>c.当-c-4an<-c时,an+1-an=2an+3c+82(-c-4)+3c+8=c;当an<-c-4时,an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c;所以,对任意nN*,an+1-anc.(3)由(2),结合c>0,得an+1>an,即an为无穷递增数列,又an为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an>-c,从而an+1=f(an)=an+c+8,由于an为等差数列,因此其公差d=c+8.若a1<-c-4,则a2=f(a1)=-a1-c-8,又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,即a1=-c-8,从而a2=0,当n2时,由于an为递增数列,故ana2=0>-c,所以an+1=f(an)=an+c+8,而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,an为无穷等差数列,符合要求.若-c-4a1<-c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去.若a1-c,则由ana1得到an+1=f(an)=an+c+8,从而an为无穷等差数列,符合要求.综上a1的取值集合为-c-8-c,+). 9.（2013·上海高考文科·T22）已知函数，无穷数列满足an+1=f(an),nN*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.（3）是否存在a1，使得a1，a2，an成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2.(2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|.当0<a12时,a3=2-(2-a1)=a1,所以=(2-a1)2,得a1=1.当a1>2时,a3=2-(a1-2)=4-a1,所以a1(4-a1)=(2-a1)2,得a1=2-(舍去)或a1=2+.综合得a1=1或a1=2+.(3)假设这样的等差数列存在,那么a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1|.由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*).以下分情况讨论:当a1>2时,由(*)得a1=0,与a1>2矛盾;当0<a12时,由(*)得a1=1,从而an=1(n=1,2,),所以an是一个等差数列;当a10时,则公差d=a2-a1=(a1+2)-a1=2>0,因此存在m2使得am=a1+2(m-1)>2.此时d=am+1-am=2-|am|-am<0,矛盾.综合可知,当且仅当a1=1时,a1,a2,a3,构成等差数列.10. （2013·江苏高考数学科·19）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，其中为实数。（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：。【解题指南】利用条件，且成等比数列，求出，再代入证明（2）利用条件是等差数列建立与c有关方程。【证明】由题设知,Sn=na+d.（1）若，得.又因为b1,b2,b4成等比数列,所以,即：，化简得d2-2ad=0.因为d0,所以d=2a.因此,对于所有的mN*,有Sm=m2a.从而对于所有的k,nN*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.(2)设数列bn的公差是d1,则bn=b1+(n-1)d1, nN*,代入Sn的表达式,整理得,对于所有的nN*,有+(b1-d1-a+d)n2+cd1n=c(d1-b1).令A=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),则对于所有的nN*,有An3+Bn2+cd1n=D.(*)在(*)式中分别取n=1,2,3,4,得A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,从而有由（2）（3）得A=0,cd1=-5B,代入方程（1）,得B=0,从而cd1=0.即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0.若d1=0,则由d1-d=0,得d=0,与题设矛盾,所以d10.又因为cd1=0,所以c=0. 11.（2013·湖南高考文科·19）设为数列的前项和，已知，2，N（）求，并求数列的通项公式；() 求数列的前项和。【解题指南】（）本题是利用递推关系 求数列的通项公式 ；（）根据第()问可知应利用错位相减法求数列前n项和.【解析】（）令，得，因为，所以，令，得，解得。当时，由，两式相减，整理得，于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，。()由(I )知，记其前项和为，于是 -得 从而12.（2013·江西高考理科·17）正项数列an的前n项和Sn满足：(1)求数列an的通项公式an. (2)令，数列bn的前n项和为Tn证明：对于任意，都有. 【解题指南】(1)由题目中的等式求出，然后由求an；（2）化简，观察结构特征，选取求和的方法求Tn.【解析】（1）由得由于是正项数列，所以.于是，当时，=,又因为符合上式.综上，数列的通项公式为.(2)因为，所以.则.13.（2013·江西高考文科·16）正项数列an满足.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn=，求数列bn的前n项和Tn.【解题指南】借助二次三项式的因式分解来求，分析bn通项公式的特点选择正确的求和方法.【解析】(1)由，得.由于an是正项数列，所以.(2)由，bn=，则所以.14.(2013·福建高考文科·T17)已知等差数列的公差d=1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1.(2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.【解题指南】按等比中项列式,a3用通项表示,求出首项,第(2)问,直接按基本量列式求解.【解析】(1)因为数列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以=1×(a1+2),即-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.(2)因为数列an的公差d=1,且S5>a1a9,所以5a1+10>+8a1,即+3a1-10<0,解得-5<a1<2. 15.（2013·广东高考理科·19）设数列的前n项和为，已知，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有.【解题指南】本题以递推数列为背景，考查通项公式与前n项和的关系及不等式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中，放缩的尺度要拿捏准确.【解析】（1）因为，在中令，可得；（2）由已知可得，即，则当时，可得，也就是，同除以可得，数列是公差为1的等差数列，且，所以，显然也满足，即所求通项公式为.（3）当时，结论成立；当时，结论成立；当时，则，即对一切，成立.16.（2013·广东高考文科·19）设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列(1) 证明：；(2) 求数列的通项公式；(3) 证明：对一切正整数，有【解题指南】本题以递推数列为背景，考查通项公式与前n项和的关系及不等式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中，放缩的尺度要拿捏准确.【解析】（1）当时，因为，所以； （2）当时，因为，所以，当时，是公差的等差数列.因为构成等比数列，解得,由（1）可知，又因为，则是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为.（3）17. （2013·山东高考理科·20）设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1 （） 求数列an的通项公式； （） 设数列bn的前n项和Tn，且Tn+ = （为常数），令cn=b2n，（n）.求数列cn的前n项和Rn. 【解题指南】（）先设出等差数列的首项和公差，然后根据可列方程组求得数列的通项公式；（）先根据前n 项和与通项的关系求出的通项公式，由cn=b2n求出的通项，再利用错位相减法求出Rn.【解析】（）设等差数列的首项为，公差为d，由得解得，因此（）由题意知，所以时，=故所以，则，两式相减得 整理得，所以 数列的前n项和.18. （2013·山东高考文科·20）设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1 （） 求数列an的通项公式； （）设数列满足 ，求的前项和.【解题指南】（）先设出等差数列的首项和公差，然后根据可列方程组求得数列的通项公式；（）先根据求出bn的通项公式,再利用错位相减法求出Tn.【解析】（）设等差数列的首项为，公差为d，由得解得，因此（）由已知,当时，当时，所以，由（）知，所以，又，两式相减得， ，所以.19. （2013·陕西高考文科·17）设Sn表示数列的前n项和. () 若是等差数列, 推导Sn的计算公式; () 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列，并证明你的结论. 【解题指南】倒序相加法推导等差数列的前n项和；利用推导的通项公式判断是否为等比数列.【解析】() 设公差为d,则，.() 是等比数列.证明如下：因为，又因为，所以当n1时，有因此,是首项1,公比的等比数列. 20. （2013·新课标高考文科·17）已知等差数列的前项和满足，.（）求的通项公式；（）求数列的前项和.【解题指南】（）利用，求出等差数列的首项及公差，利用求出的通项公式；（）将（）中的通项公式，代入到中，利用裂项相消法求前项和.【解析】（）设数列的公差为，则.由已知可得解得故的通项公式为.（）由（）知，从而数列的前项和为15