【志鸿优化设计】2021届高考数学一轮复习 考点规范练14.doc
考点规范练14导数与函数的单调性、极值、最值一、非标准1.下面为函数y=xsin x+cos x的递增区间的是()A.B.(,2)C.D.(2,3)2.函数f(x)=x3-3x2+3x的极值点的个数是()A.0B.1C.2D.33.设函数f(x)=x2-9ln x在区间a-1,a+1上单调递减,则实数a的取值范围是()A.1<a2B.a4C.a2D.0<a34.函数f(x)=x3-3x2+2在区间-1,1上的最大值是()A.-2B.0C.2D.45.设aR,若函数y=ex+ax,xR有大于零的极值点,则()A.a<-1B.a>-1C.a>-D.a<-6.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf'(x)<0的解集为()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-2,-1)(1,2)D.(-,-2)(2,+)7.函数f(x)=x+的单调减区间为. 8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则f(2)=. 9.已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(xR)有极大值32.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求实数a的值.10.已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,bR),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式;(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值.11.(2014课标全国,文11)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)12.(2014辽宁,文12)当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是()A.-5,-3B.C.-6,-2D.-4,-313.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在t,t+1上不单调,则t的取值范围是. 14.(2014湖北,文21)为圆周率,e=2.71828为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=的单调区间;(2)求e3,3e,e,e,3,3这6个数中的最大数与最小数.15.已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在0,1上单调递减,且满足f(0)=1,f(1)=0.(1)求a的取值范围;(2)设g(x)=f(x)-f'(x),求g(x)在0,1上的最大值和最小值.#一、非标准1.C解析:y'=(xsin x+cos x)'=sin x+xcos x-sin x=xcos x,当x时,恒有xcos x>0.故选C.2.A解析:由题知f(x)的导函数值恒大于或等于零,所以函数f(x)在定义域上单调递增.3.A解析:f(x)=x2-9ln x,f'(x)=x-(x>0),当x-0,即0<x3时,函数f(x)是减函数,a-1>0,且a+13,解得1<a2.4.C解析:f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.f(x)在-1,0)上是增函数,f(x)在(0,1上是减函数.f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2.5.A解析:y=ex+ax,y'=ex+a.函数y=ex+ax有大于零的极值点,方程y'=ex+a=0有大于零的解.当x>0时,-ex<-1,a=-ex<-1.6.A解析:在(-,-1)和(1,+)上,f(x)递增,所以f'(x)>0,使xf'(x)<0的范围为(-,-1);在(-1,1)上,f(x)递减,所以f'(x)<0,使xf'(x)<0的范围为(0,1).综上,关于x的不等式xf'(x)<0的解集为(-,-1)(0,1).7.(-3,0),(0,3)解析:f'(x)=1-.令f'(x)<0,解得-3<x<0或0<x<3,故f(x)的单调减区间为(-3,0)和(0,3).8.18解析:f'(x)=3x2+2ax+b,由题意得即但当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+30,此时f(x)不存在极值.因此,a=4,b=-11,f(2)=18.9.解:(1)f(x)=ax3-4ax2+4ax,f'(x)=3ax2-8ax+4a.令f'(x)=0,得3ax2-8ax+4a=0.a0,3x2-8x+4=0,x=或x=2.a>0,当x或x(2,+)时,f'(x)>0.函数f(x)的单调递增区间为和(2,+);当x时,f'(x)<0,函数f(x)的单调递减区间为.(2)当x时,f'(x)>0;当x时,f'(x)<0;当x(2,+)时,f'(x)>0f(x)在x=时取得极大值,即a·=32.a=27.10.解:(1)由题意得f'(x)=3ax2+2x+b.因此g(x)=f(x)+f'(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.因为函数g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)·(-x)2+(b+2)(-x)+b=-ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b,从而3a+1=0,b=0,解得a=-,b=0.因此f(x)=-x3+x2.(2)由(1)知g(x)=-x3+2x,所以g'(x)=-x2+2.令g'(0)=0,解得x1=-,x2=,则当x<-或x>时,g'(x)<0,从而g(x)在区间(-,-,+)上是减函数;当-<x<时,g'(x)>0,从而g(x)在-上是增函数.由前面讨论知,g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x=1,2时取得,而g(1)=,g()=,g(2)=,因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()=,最小值为g(2)=.11.D解析:由f'(x)=k-,又f(x)在(1,+)上单调递增,则f'(x)0在x(1,+)上恒成立,即k在x(1,+)上恒成立.又当x(1,+)时,0<<1,故k1.故选D.12.C解析:当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,即当x-2,1时,不等式ax3x2-4x-3(*)恒成立.(1)当x=0时,aR.(2)当0<x1时,由(*)得a恒成立.设f(x)=,则f'(x)=-.当0<x1时,x-9<0,x+1>0,f'(x)>0,f(x)在(0,1上单调递增.当0<x1时,可知af(x)max=f(1)=-6.(3)当-2x<0时,由(*)得a.令f'(x)=0,得x=-1或x=9(舍).当-2x<-1时,f'(x)<0,当-1<x<0时,f'(x)>0,f(x)在-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.x-2,0)时,f(x)min=f(-1)=-1-4+3=-2.可知af(x)min=-2.综上所述,当x-2,1时,实数a的取值范围为-6a-2.故选C.13.(0,1)(2,3)解析:由题意知f'(x)=-x+4-=-.由f'(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间t,t+1上就不单调,由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.14.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+).因为f(x)=,所以f'(x)=.当f'(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增;当f'(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+).(2)因为e<3<,所以eln3<eln,lne<ln3,即ln3e<lne,lne<ln3.于是根据函数y=ln x,y=ex,y=x在定义域上单调递增,可得3e<e<3,e3<e<3.故这6个数的最大数在3与3之中,最小数在3e与e3之中.由e<3<及(1)的结论,得f()<f(3)<f(e),即.由,得ln3<ln3,所以3>3;由,得ln3e<lne3,所以3e<e3.综上,6个数中的最大数是3,最小数是3e.15.解:(1)由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,则f(x)=ax2-(a+1)x+1ex,f'(x)=ax2+(a-1)x-aex.依题意,对于任意x0,1,有f'(x)0.当a>0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而f'(0)=-a<0,所以需f'(1)=(a-1)e0,即0<a1;当a=0时,对于任意x0,1,f'(x)=-xex0,且只在x=0时,f'(x)=0,满足条件.当a<0时,因f'(0)=-a>0,不满足条件.故a的取值范围为0a1.(2)g(x)=(-2ax+1+a)ex,g'(x)=(-2ax+1-a)ex.当a=0时,g'(x)=ex>0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,在x=1处取得最大值g(1)=e.当a=1时,对于任意x0,1,g'(x)=-2xex0,g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2,在x=1处取得最小值g(1)=0.当0<a<1时,由g'(x)=0得x=>0.若1,即0<a时,g(x)在0,1上单调递增,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a,在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e.若<1,即<a<1时,g(x)在x=处取得最大值g=2a,在x=0或x=1处取得最小值,而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0,得a=.则当<a时,g(0)-g(1)0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a;当<a<1时,g(0)-g(1)>0,g(x)在x=1处取得最小值g(1)=(1-a)e.9
