【五年经典推荐 全程方略】2022届高三数学 专项精析精炼 2022年考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例.doc
考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例一、选择题1.（2013·上海高考理科·T18）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,则满足（ ）. A. B. C. D. 【解析】选D.，只有，其余均有，故选D2.（2013·大纲版全国卷高考文科·3）与（2013·大纲版全国卷高考理科·3）相同已知向量（ ）A. B. C. D.【解题指南】利用得化简求解.【解析】选B.因为，所以，即，解得.3. （2013·湖南高考理科·6）已知是单位向量，=0.若向量满足（ ）A B C D【解题指南】本题首先弄懂向量是一组正交基底，且，构造，当时，利用圆的知识可求得结果。【解析】选A.条件可以理解成如图的情况，而，向量的终点在单位圆上，故|的最大值为最小值是，故选A.4. （2013·重庆高考理科·10）在平面上，若，则的取值范围是A. B. C. D. 【解析】选D.因为,所以·=(-)·(-)=·-·-·+=0,即·-·-·=-,因为=+，所以-=-+-,即=+-.因为|=|=1,所以=1+1+2(·-·-·)=2+2(-)=2-,因为|<,所以0<,所以02-<,所以<2,即|.5.（2013·安徽高考理科·9）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是 （ ）A. B. C. D.【解题指南】根据题设条件作出点集P所在的区域计算其面积即可。 【解析】选D.因为所以，又，故同理可得，满足的点所在的区域如图所示，其中是正三角形，其面积为，故所求区域的面积为。6.（2013·湖南高考文科·8）.已知是单位向量，=0.若向量满足则的最大值为（ ）A. B. C. D.【解题指南】本题首先弄懂向量是一组正交基底，且，构造，当时，利用圆的知识可求得结果。【解析】选C，条件可以理解成如图的情况而，向量的终点在单位圆上动，故|的最大值为7.（2013·福建高考文科·10）与（2013·福建高考理科·7）相同在四边形（ ）A B C D【解题指南】先计算AC与BD的位置关系,再利用面积公式求解.【解析】选C因为,所以是互相垂直的对角线，所以8. （2013·浙江高考理科·7）设ABC，是边上一定点，且对于边上任一点，恒有，则（ ）A. B. C. D. 【解题指南】由于是边上任一点，所以可设，再由数量积和已知不等式求解.【解析】选D. 设 ，因为，所以，所以，即，当时，对恒成立，即，所以；当时，恒成立，所以，综上可得，又所以，即.二、填空题9. （2013·新课标高考文科·13）与（2013·新课标高考理科·13）相同已知两个单位向量，的夹角为60°，若，则 _.【解题指南】由于条件中给出了，所以可以将的两边同时乘以进行求解.【解析】由得，解得，化简得，所以.【答案】.10. （2013·天津高考文科·12）在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .【解题指南】根据向量的加法及平面向量的基本定理由表示,，再求AB的长.【解析】因为,所以所以解得【答案】11. （2013·浙江高考文科·17）与(2013·浙江高考理科·T17)相同设为单位向量，非零向量， .若的夹角为，则的最大值等于_.【解题指南】求的最大值，可以先计算的最大值.【解析】，当时，令，则，所以的最大值为2.【答案】212. （2013·重庆高考文科·14）为边，为对角线的矩形中，则实数 .【解题指南】可根据题意先求出向量的坐标,再利用求解.【解析】,因为所以,即,解得.【答案】 13.（2013·安徽高考文科·13）若非零向量，满足|=3|=|+2|，则与夹角的余弦值为_【解题指南】 利用向量数量积的公式计算。【解析】由|=|+2|，等式两边平方得，所以【答案】14.（2013·上海高考文科·T14）已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，.若i,j,k,l且ij,kl，则·的最小值是 .【解析】 根据对称性得，。【答案】 -515. (2013·山东高考理科·T15)已知向量与的夹角为120°,且|=3,| |=2,若，且,则实数的值为.【解题指南】本题考查了向量的线性运算及数量积运算.【解析】向量与的夹角为120°,且|=3,| |=2,所以由得, 即所以 即4-9-3(-1)=0,解得=【答案】16. （2013·山东高考文科·15）在平面直角坐标系xOy中,已知=(-1,t), =(2,2),若ABO=90°,则实数t的值为.【解题指南】本题考查了向量的线性运算及数量积运算.可先求出,由ABO=90°,则,即可求出t的值.【解析】= (2,2)-(-1,t)=(3,2-t),因为ABO=90°,所以,所以·=0,3×2+2×(2-t)=0,所以t=5.【答案】5. 17. （2013·新课标全国高考文科·14）与(2013·新课标全国高考理科·T13)相同已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则 = .【解题指南】建立坐标系,确定各关键点的坐标,求得数量积.【解析】以点B为原点,直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),所以=(2,-1), =(2,2),所以=2.【答案】218.（2013·江西高考理科·12）设，为单位向量.且、的夹角为，若，则向量在方向上的射影为_.【解题指南】向量在方向上的射影为，进而问题转化为求向量,的数量积与向量的模.【解析】设的夹角为，则向量在方向上的射影为，而，所以所求为.【答案】.三、解答题19.(2013·江苏高考数学科·T15)已知,0<<<.（1）若，求证：；（2）设，若，求的值。【解题指南】（1）利用确定出的值，（2）建立与有关的方程求出的值。【解析】（1）|22，即()2=2-2·+2=2. 又因为2=2=|2=|2=1,所以2-2·=2,即·=0,故.（2）因为 = (cos +cos, sin+sin)= (0, 1), 所以，由此得cos=cos(-), 由0<<,得0<-<,又0<<,故=-.代入sin+sin=1得,sin=sin=,而>,所以，8
