【高考领航】2021届高三数学 立体几何综合题（新体验应用试题） 文.DOC

立体几何综合题（新体验应用试题）1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CAC2，ABBC，ABBC，O为AC中点(1)证明：A1O平面ABC；(2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由2(2014·南昌市模拟)如图是多面体ABCA1B1C1和它的三视图(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE平面A1CC1，若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值3(2014·郑州市质量检测)如图，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，AC2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将ADE折起，得到如图所示的四棱锥ABCDE.(1)在棱AB上找一点F，使EF平面ACD；(2)当四棱锥ABCDE的体积取最大值时，求平面ACD与平面ABE夹角的余弦值1解：(1)AA1A1CAC2，且O为AC中点，A1OAC.又侧面AA1C1C底面ABC，交线为AC，A1O平面A1AC，A1O平面ABC.(4分)(2)连接OB，如图，以O为原点，分别以OB、OC、OA1所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0, )，A(0，1，0)(0，1，)，令平面A1AB的法向量为n(x，y，z)，则n·n·0.而(0，1，)，(1，1，0)，可求得一个法向量n(3，3，)，|cos，n|，故直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值为.(8分)(3)存在点E，且E为线段BC1的中点取B1C的中点M，从而OM是CAB1的一条中位线，OMAB1，又AB1平面A1AB，OM平面A1AB，OM平面A1AB，故BC1的中点M即为所求的E点(12分)2解：(1)由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(1，1，2)，则(1，1，2)，(1，1，0)，(0，2，2)(1分)设E(x，y，z)，则(x，y2，z)，(1x，1y，2z)(3分)设，则则E，.(4分)由，得，解得2，所以线段CC1上存在一点E，2，使BE平面A1CC1.(6分)(2)设平面C1A1C的法向量为m(x，y，z)，则由，得，取x1，则y1，z1.故m(1，1，1)，(8分)而平面A1CA的一个法向量为n(1，0，0)，则cosm，n，(11分)故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为.(12分)3解：(1)点F为棱AB的中点证明如下：取AC的中点G，连接DG，EF，GF，则由中位线定理得DEBC，DEBC，且GFBC，GFBC.(3分)所以DEGF，DEGF，从而四边形DEFG是平行四边形，EFDG.又EF平面ACD，DG平面ACD，故点F为棱AB的中点时，EF平面ACD.(5分)(2)在平面ACD内作AHCD于点H，DE平面ACDDEAH，又DECDD，故AH底面BCDE，即AH就是四棱锥ABCDE的高由AHAD知，点H和D重合时，四棱锥ABCDE的体积取最大值(7分)分别以DC，DE，DA所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，a)，B(a，2a，0)，E(0，a，0)，(a，2a，a)，(0，a，a)(9分)设平面ABE的法向量为m(x，y，z)，由得，即，可取m(1，1，1)同理可以求得平面ACD的一个法向量n(0，1，0)故cosm，n，故平面ACD与平面ABE夹角的余弦值为.(12分)5