【走向高考】2021届高三数学一轮阶段性测试题7 不等式（含解析）新人教A版.doc

阶段性测试题七(不等式)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(文)(2015·湖北教学合作联考)已知集合Ax|y，Bx|0，则AB()A1,1B1,2)C1,2)D2，1答案D解析依题意，集合Ax|x1或x3，Bx|2x<2，利用集合的运算可得，ABx|2x1，故选D(理)(2014·辽宁师大附中期中)若不等式x2ax2>0在区间1,5上有解，则a的取值范围是()A(，) B，1C(1，)D(，答案A解析x1,5，不等式变形为a>x，x1,5时，yx单调递减，y，1，要使不等式在1,5上有解，应有a>，故选A2(2015·洛阳市期中)已知p：2x，q：x2，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由2x得，2x1；由x2，得2x.2，12，p是q的充分不必要条件3(文)(2014·河南省实验中学期中)若f(x)是偶函数，且当x0，)时，f(x)x1，则f(x1)<0的解集是()Ax|1<x<0Bx|x<0或1<x<2Cx|0<x<2Dx|1<x<2答案C解析f(x)为偶函数，且x0，)时，f(x)x1单调递增，且f(1)0，x(，0时，f(x)单调递减，f(1)f(1)0，从而f(x1)<0化为1<x1<1，0<x<2，故选C(理)(2015·湖南师大附中月考)设函数f(x)，若f(4)f(0)，且f(2)0，则关于x的不等式f(x)1的解集为()A(，31，)B3,1C3，1D3，1(0，)答案D解析当x0时，f(x)x2bxc，且f(4)f(0)，故其对称轴为x2，b4；又f(2)0，48c0，c4；因此当x0时，f(x)x24x4；令f(x)1，解得3x1；当x>0时，f(x)2<1，满足条件故不等式f(x)1的解集为3，1(0，)，故选D4(2015·石光中学阶段测试)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是()Aa0B0a<2C0a2Da>2答案B解析表示的平面区域为阴影部分，要使此区域与xa围成一个三角形，应有0a<2.5(文)(2015·合肥市庐江四中、巢湖四中联考)设a，bR，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析若a>b>0，则|a|>|b|，a|a|>b|b|；若a>0>b，显然a|a|>b|b|；若0>a>b，则0<a<b，0<|a|<|b|，a|a|<b|b|，a|a|>b|b|，综上a>ba|a|>b|b|，反之若a|a|>b|b|，亦可得出a>b，故选C(理)(2015·沈阳市东北育才学校一模)已知<<0，则下列结论错误的是()Aa2<b2B>2Cab>b2Dlga2<lg(ab)答案C解析由<<0易得b<a<0，两边都乘以b得，b2>ab，C错误6(2014·哈六中期中)已知实数x、y表示的平面区域C：则z2xy的最大值为()A1 B0C4D5答案D解析作出平面区域C如图，作直线l0：y2x0，平移直线l0得l：z2xy，当l经过可行域内的点A(2，1)时，直线l的纵截距最小，从而z最大，zmax2×2(1)5，故选D7(2015·石家庄五校联合体摸底)若定义在R上的偶函数yf(x)是0，)上的递增函数，则不等式f(log2x)<f(1)的解集是()A(，2)B(，2)(2，)CRD(2,2)答案A解析f(x)为偶函数，不等式f(log2x)<f(1)可化为f(|log2x|)<f(1)，f(x)在0，)上单调递增，|log2x|<1，1<log2x<1，<x<2.8(文)(2015·新乡、许昌、平顶山调研)设x、y满足约束条件若目标函数zaxby(其中a>0，b>0)的最大值为3，则的最小值为()A4B3C2D1答案B解析作出可行域如图，a>0，b>0，目标函数zaxby的最大值为3，在点A(1,2)处z取到最大值，a2b3，()(a2b)(5)(52)3，等号成立时ab1，故选B (理)(2014·西安一中期中)设x、yR，a>1，b>1，若axby3，ab2，则的最大值为()A2BC1D答案C解析x，yR，a>1，b>1，且axby3，ab2，所以，xloga3，ylogb3，log3alog3blog3(ab)，ab()23，等号在ab时成立，log3(ab)log331，的最大值为1，故选C9(2015·河南八校联考)x、y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A或1B2或C2或1D2或1答案D解析作出可行域如图，zyax取得最大值的最优解不唯一，直线l：yaxz应与l1或l3重合，a1或2.10(2015·宝安中学、潮阳一中、桂城中学摸底)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|的取值范围是()A1，B2，C1,2D0，答案A解析(1,0)(x，y)(x1，y)，设z|，则z的几何意义为M到定点E(1,0)的距离，由约束条件作出平面区域如图，由图象可知当M位于D(0,2)时，z取得最大值z，1z，即|的取值范围是1，11(文)(2014·九江市修水一中第四次月考)已知甲、乙两种不同品牌的PVC管材都可截成A、B、C三种规格的成品配件，且每种PVC管同时截得三种规格的成品个数如下表：A规格成品(个)B规格成品(个)C规格成品(个)品牌甲(根)211品牌乙(根)112现在至少需要A、B、C三种规格的成品配件分别是6个、5个、6个，若甲、乙两种PVC管材的价格分别是20元/根、15元/根，则完成以上数量的配件所需的最低成本是()A70元B75元C80元D95元答案C解析设需用品牌甲、乙PVC管分别为x根、y根，依题意得，成本z20x15y，作出可行域如图，作直线l0：4x3y0，2<<1，平移l0到经过可行域内的点A时，z取最小值，由得A(1,4)，zmin20×115×480(元)(理)(2014·文登市期中)已知a>0，x、y满足约束条件，若z2xy的最小值为，则a()ABC1D2答案A解析作出不等式组所表示的可行域如下图中阴影部分，联立x1与ya(x3)得点A(1，2a)，作直线l：z2xy，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A(1，2a)时，直线l在y轴上的截距最小，此时，z取最小值，即zmin2×1(2a)22a，解得a，故选A12(文)(2015·湖北武汉调研)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·2(其中O为坐标原点)，则AFO与BFO面积之和的最小值是()ABCD答案B解析由题意，设A(a2，a)，B(b2，b)，(ab<0)，·a2b2ab2ab2，又F为抛物线y2x的焦点，F(，0)，SAFOSBFO××|ba|，|ba|2a2b22ab2ab2ab4ab8，当且仅当ab时，等号成立，|ba|min2.(SAFOSBFO)min.(理)(2015·韶关市十校联考)设M是ABC内一点，且·2，BAC30°.定义f(M)(m，n，p)，其中m，n，p分别是MBC，MCA，MAB的面积若f(p)(，x，y)，则log2xlog2y的最大值是()A5B4C3D2答案B解析·|·|·cosBAC|·|2，|·|4，SABCAB·AC·sinBAC×4×1，f(p)(，x，y)，xy1，xy，x>0，y>0，log2xlog2ylog2(xy)log2()2log2()24，故选B第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(2014·合肥八中联考)设函数f(x)，若f(x0)>1，则x0的取值范围是_答案(，1)(1，)解析当x00时，f(x0)>1化为2x01>1，x0<1；当x0>0时，f(x0)>1化为x0>1，x0>1.不等式f(x0)>1的解集为(，1)(1，)14(文)(2014·九江市修水一中第四次月考)已知x>0，y>0，xyx2y，则xy的最小值是_答案8解析x>0，y>0，x2y2，由xy2得xy8，等号成立时x4，y2.xy的最小值是8.(理)(2015·山东师大附中模拟)已知x>0，y>0，若m22m恒成立，则实数m的取值范围是_答案4m2解析因为x>0，y>0，所以由基本不等式知，28，当且仅当，即y2x时等号成立，问题m22m恒成立转化为()minm22m，即8m22m，解此一元二次不等式得，4m2.15(文)(2014·泉州实验中学期中)已知x、y满足且目标函数z3xy的最小值是5，则z的最大值是_答案10解析先画出不等式组表示的平面区域，再作c0时，直线l：y2xc，然后平移l，由于目标函数z3xy有最小值，c<0，可行域为图中阴影部分，考虑直线l0：y3x，平移l0，只有当l0平移到经过点A时，z3xy取到最小值5，故由得A(2，1)，A在直线l上，c5，由解得B(3,1)，当l0平移到经过点B时zmax3×3110.(理)(2015·东北育才学校一模)实数x，y满足若目标函数zxy的最大值为4，则实数a的值为_答案2解析画出可行域，由目标函数的最大值为4，可知目标函数经过(a，a)点时达到最大值，aa4，a2.16(文)(2015·湖北教学合作联考)已知偶函数f(x)在(，0上满足：当x1，x2(，0且x1x2时，总有<0，则不等式f(x1)<f(x)的解集为_答案xR|x>解析依题意，偶函数f(x)在(，0上单调递减，所以f(x)在0，)上单调递增，f(x)为偶函数，不等式f(x1)<f(x)化为f(|x1|)<f(|x|)，|x1|<|x|，x22x1<x2，x>.(理)(2015·焦作市期中)定义在R上的函数f(x)满足：f(1)1，且对于任意的xR，都有f (x)<，则不等式f(lnx)>的解集为_答案(0，e)解析令tlnx，则不等式f(lnx)>化为f(t)>，令F(t)f(t)，则F(1)f(1)0，F(t)f (t)<0，F(t)为减函数，F(t)>0的解为t<1.lnx<1，0<x<e.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(文)(2015·娄底市名校联考)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：yx2200x80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解析(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：x2002200200，当且仅当x，即x400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元(2)设该单位每月获利为S，则S100xy100x(x2200x80000)x2300x80000(x300)235000，因为400x600，所以当x400时，S有最大值40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损(理)(2015·黄冈中学月考)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估该商品原来每件售价为25元，年销售8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价解析(1)设每件定价为t元，依题意得80000(t25)×2000t25×80000，整理得t265t10000，解得25t40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意知，当x>25时，不等式ax25×850(x2600)x有解，等价于x>25时，ax有解由于x210，当且仅当，即x30时等号成立，所以a10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元18(本小题满分12分)(文)(2014·吉林延边州质检)已知函数f(x)x22xaex.(1)若a1，求f(x)在x1处的切线方程；(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围解析(1)由a1，得f(x)x22xex，f(1)e，所以f (x)x2ex，f (1)1e，所以所求切线方程为y(e)(1e)(x1)，即2(1e)x2y10.(2)由已知f(x)x22xaex，得f (x)x2aex，因为函数f(x)在R上是增函数，所以f (x)0恒成立，即不等式x2aex0恒成立，整理得a，令g(x)，g(x).当x(，3)时，g(x)<0，所以g(x)是递减函数，当x(3，)时，g(x)>0，所以g(x)是递增函数，由此得g(x)ming(3)e3，即a的取值范围是(，e3(理)(2014·合肥八中联考)已知函数f(x)axa1xlnx.(1)求f(x)的单调区间；(2)已知函数有极小值e2.若kZ，且f(x)k(x1)>0对任意x(1，)恒成立，求k的最大值解析(1)f (x)a1lnx，令f (x)>0x>ea1，令f (x)<00<x<ea1，(0，ea1)是f(x)的单调减区间，(ea1，)是f(x)的单调增区间(2)由(1)知f(x)的极小值为f(ea1)a1ea1e2，令t(a)a1ea1，则t(a)1ea1>0，所以t(a)是(，)上的增函数，注意到t(1)e2，a1.当x>1时，令g(x)，g(x)，令h(x)x2lnx，h(x)1>0，故yh(x)在(1，)上是增函数，由于h(3)1ln3<0，h(4)2ln4>0，存在x0(3,4)，使得h(x0)0.则x(1，x0)时，h(x)<0，g(x)<0，知g(x)在(1，x0)上为减函数；x(x0，)时，h(x)>0，g(x)>0，知g(x)在(x0，)上为增函数g(x)ming(x0)，注意到lnx0x02，g(x)minx0，k<x0，又x0(3,4)，kZ，所以kmax3.19(本小题满分12分)(2015·唐山市海港高级中学月考)已知定义在(0，)上的函数f(x)对任意正数m，n都有f(mn)f(m)f(n)，当x>4时，f(x)>，且f()0.(1)求f(2)的值；(2)解关于x的不等式f(x)f(x3)>2.解析(1)令mn1得，f(1)f(1)f(1)，所以f(1)，令m2，n得，f(2×)f(2)f()，解得f(2)1.(2)任取x1，x2(0，)，且x1<x2，则f(x2)f(x1)f()f(·)f()f()1.因为f()f()f()，且由>4得f()>.所以f(x2)f(x1)>10，所以f(x)在(0，)上是增函数因为f(4)f(2)f(2)，所以f(x)f(x3)f(x23x)>2.即f(x23x)>f(4)所以解得x(1，)20(本小题满分12分)(文)(2014·江西临川十中期中)已知f(x).(1)若关于x的方程f(x)0有小于0的两个实根，求a的取值范围；(2)解关于x的不等式f(x)>2(其中a>1)解析(1)方程f(x)0有小于0的两个实根，等价于方程x(xa1)a40有小于0的两个实根，即方程x2(a1)xa40有小于0的两个实根，a.(2)由f(x)>2得，>0，>0，(xa)(x1)(x2)>0，由于a>1，于是有：当1<a<2时，不等式的解集为x|1<x<a或x>2；当a>2时，不等式的解集为x|1<x<2或x>a；当a2时，不等式的解集为x|x>1或x2(理)(2015·湖北教学合作联考)据气象中心观察和预测：已知发生于沿海M地的台风向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内台风所经过的路程s(km)(1)当t4时，求s的值，并将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(2)若N城位于M地正南方向，且距N地650km，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由解析(1)由图象可知，直线OA的方程是：v3t，直线BC的方程是：v2t70，当t4时，v12，所以s×4×1224.当0t10时，s×t×3tt2；当10<t20时，s×10×30(t10)×3030t150；当20<t35时，s150300×(t20)×(2t7030)t270t550.综上可知s随t变化的规律是s(2)当t0,10时，smax×102150<650，当t(10,20时，smax30×20150450<650，当t(20,35时，令t270t550650，解得t30，(t40舍去)即在台风发生后30小时后将侵袭到N城21(本小题满分12分)(文)(2015·庐江四中、巢湖四中联考)已知函数f(x)2lnxaxa(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)试确定a的值，使不等式f(x)0恒成立解析(1)f (x)，x>0.若a0，f (x)>0，f(x)在(0，)上递增；若a>0，当x(0，)时，f (x)>0，f(x)单调递增；当x(，)时，f (x)<0，f(x)单调递减(2)由(1)知，若a0，f(x)在(0，)上递增，又f(1)0，故f(x)0不恒成立若a>2，当x(，1)时，f(x)递减，f(x)>f(1)0，不合题意若0<a<2，当x(1，)时，f(x)递增，f(x)>f(1)0，不合题意若a2，f(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，f(x)f(1)0符合题意，综上a2.(理)(2015·洛阳市期中)已知函数f(x)x2ex3ex(x1)(其中e为自然对数的底数)，记f(x)的导函数为f (x)(1)求函数yf(x)的单调区间；(2)求证：当x>0时，不等式f (x)1lnx恒成立解析(1)由f(x)x2ex3ex(x1)得f (x)x(exex1)，令h(x)exex1，则h(x)exe，当x(，1)时，h(x)<0，h(x)是减函数；当x(1，)时，h(x)>0，h(x)是增函数；所以，h(x)h(1)1>0.故当x(0，)时，f (x)>0，当x(，0)时，f (x)<0，即f(x)的增区间是(0，)，减区间是(，0)(2)当x>0时，不等式f (x)1lnx恒成立等价于exex1，由(1)知，exex11，令(x)，则(x)，在区间(0,1)上，(x)>0，(x)是增函数；在区间(1，)上，(x)<0，(x)是减函数；(x)(1)1，从而exex1，即f (x)1lnx恒成立22(本小题满分14分)(文)(2015·东北育才学校一模)已知函数f(x)ax2(a1)2xa(a1)2ex(其中aR)(1)若x0为f(x)的极值点，求a的值；(2)在(1)的条件下，解不等式f(x)>(x1)(x2x1)解析(1)f(x)ax2(a1)2xa(a1)2ex，f (x)2ax(a1)2exax2(a1)2xa(a1)2exax2(a21)xaex，x0为f(x)的极值点，由f (0)ae00，解得a0.检验，当a0时，f (x)xex，当x<0时，f (x)<0，当x>0时，f (x)>0.所以x0为f(x)的极值点，故a0.(2)当a0时，不等式f(x)>(x1)(x2x1)(x1)ex>(x1)(x2x1)，整理得(x1)ex(x2x1)>0，即或令g(x)ex(x2x1)，h(x)g(x)ex(x1)，h(x)ex1，当x>0时，h(x)ex1>0；当x<0时，h(x)ex1<0，所以h(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，所以h(x)>h(0)0，即g(x)>0，所以g(x)在R上单调递增，而g(0)0；故ex(x2x1)>0x>0；ex(x2x1)<0x<0，所以原不等式的解集为x|x<0或x>1(理)(2015·滕州一中月考)已知函数f(x)a(x1)2lnx1.(1)当a时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间2,4上是减函数，求实数a的取值范围；(3)当x1，)时，函数yf(x)图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围解析(1)当a时，f(x)(x1)2lnx1x2xlnx(x>0)，f (x)x(x>0)，由f (x)>0解得，0<x<2；由f (x)<0解得x>2，故当0<x<2时，f(x)单调递增；当x>2时，f(x)单调递减，当x2时，函数f(x)取得极大值f(2)ln2无极小值(2)f (x)2a(x1)，函数f(x)在区间2,4上单调递减，f (x)2a(x1)0在区间2,4上恒成立，即2a在2,4上恒成立，只需2a不大于在2,4上的最小值即可而(2x4)，则当2x4时，2a，即a，故实数a的取值范围是(，(3)因f(x)图象上的点在所表示的平面区域内，即当x1，)时，不等式f(x)x恒成立，即a(x1)2lnxx10恒成立，设g(x)a(x1)2lnxx1(x1)，只需g(x)max0即可由g(x)2a(x1)1，()当a0时，g(x)，当x>1时，g(x)<0，函数g(x)在(1，)上单调递减，故g(x)g(1)0成立()当a>0时，由g(x)，令g(x)0，得x11或x2，若<1，即a>时，在区间(1，)上，g(x)>0，函数g(x)在(1，)上单调递增，函数g(x)在1，)上无最大值，不满足条件；若1，即0<a时，函数g(x)在(1，)上单调递减，在区间(，)上单调递增，同样g(x)在1，)无最大值，不满足条件()当a<0时，由g(x)，因x(1，)，故g(x)<0，则函数g(x)在(1，)上单调递减，故g(x)g(1)0成立综上所述，实数a的取值范围是(，0- 15 -