2022年高考数学 黄金易错点专题汇编 专题09 圆锥曲线.doc

专题9 圆锥曲线1设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( ) 2设双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( )A±2 B± C± D±3从集合1，2，3，11中任选两个元素作为椭圆方程=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B=(x，y)x|<11，且|y|<9内的椭圆个数为 ( ) A43 B72 C86 D904设直线l与椭圆=1相交于A、B两点，l又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB，求直线l的方程 ( )5已知双曲线x2-=1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为 ( )6已知双曲线=1(a>0，b>0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，OAF的面积为(O为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( ) A30° B45° C60° D90°7设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线(1)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论；()当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围8如图，过抛物线y2=2px(p>0)上一定点p(x0，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A (x1，y1)，B(x2，y2) (1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离； ()当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数9在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO(如图所示) (1)求AOB的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程； ()AOB的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由OAOB10设双曲线C：(a>0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B， (1)求双曲线C的离心率e的取值范围； ()设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值11给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点 (1)设l的斜率为1，求与夹角的大小； ()设，若4，9，求l在y轴上截距的变化范围12已知椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点为Fl、F2，离心率为e直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点Fl关于直线l的对称点为P，设 (1)证明：=1-e2； ()确定的值，使得PF1F2是等腰三角形13已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是 ( ) A.2 B C18+12 D2114已知点A（-2，0）、B(3，0)，动点P(x，y)满足=x2，则点P的轨迹是 ( ) A. 圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线15如图，直线l1:y=kx(k>0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域 (不含边界)记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2 (1)分别用不等式组表示 W1和W2； ()若区域中的动点p(x,y)到l1，l2的距离之积等于d2，求P点的轨迹C的方程； ()设不过原点O的直线l与()中的曲线C相交于Ml，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点，求证OM1M2的重心与OM3M3的重心重合16如图，直线y= x严与抛物线y=x2-4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于点Q (1)求点Q的坐标 (2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时，求OPQ面积的最大值17设椭圆方程为x2+=1，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B、O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为(，)，当l绕点M旋转时，求： ()动点户的轨迹方程； ()的最小值与最大值3【错误解答】 D 由题意得，m、n都有10种可能，但mn故椭圆的个数10×10-10=90【易错点点睛】没有注意，x、y的取值不同【正确解答】 B 由题意得m有10种可能，n只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81中选取，且mn，故椭圆的个数：10×8-8=72【正确解答】 解法一：首先讨论l不与x轴垂直时的，情况设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1)、B(x2， y2)、C(x3，y3)、D(x4，y4)，依题意有 由得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0(1) 所以x1+x2=- 由得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=06【错误解答】 B【易错点点睛】把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角【正确解答】 D 由题意得A()sOAF=·c·，则两条渐近线为了y=x与y=-x则求两条渐近线的夹角为90°【易错点点睛】没有掌握抛物线的准线方程，计算不够准确【正确解答】 (1)当y=时，x=，又抛物线y2= 2px的准线方程为x=，由抛物线定义得，所求距离为-(-)= ()设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB由y12=2px1，y20=2px0相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，故kPA=(x1x0)同理可得kPB=(x2x0)由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB，即=-，所以yl+y2=-2y0，故=-2. 设直线AB的斜率为kAB由y22=2px2，y21=2pxl相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，所以将yl+y2=-2y0(y0>0)代入得所以kAB是非零常数 ()SAOB=由(1)得SAOB=当且仅当x16=x26即x1=-x2=-1时，等号成立。所以AOB的面积存在最小值，最小值为1。10 【错误解答】 (1)由C点与l相交于两个不同的点，故知方程组 有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0故4a4+8a2(1-a2) >0解得：0<a<双曲线的离心率e=0<a< 即离心率e的取值范围( ) ()设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1) (x1,y1-1)=(x2,y2-1)由此得x1=x2，由于x1，x2都是方程的根，且1-a20，所以x2=-，消x2，得-，由a>0，所以a=11 【错误解答】 (1)设与夹角为；由题意l的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0设A(x1，y1)B(x2，y2)则有x1+x2=6，x1x2=1易得·=x1x2+y1y2=-3，cos=-arccos【正确解答】 (1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为了y=x-1将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有xl+x2=6，x1x2=1 =(x1，y1)·(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3 所以与夹角的大小为-arc cos ()由题设得 (x2-1，y2)=(1-x1，-y1)，即 由得y22=2y21y21=4x1，y22=4x2，x2=2x1 联立、解得x2=，依题意有>0，B(，2 )或B (，-2 )，又9(1，0)，得直线l方程为(-1)y= (x-1)或(-1)y=2(x-1)当4，9时，l在 y轴上的截距为或-由=，可知：在4，9上是递减的， ，-直线l在y轴上截距的变化范围为-，- ， 【易错点点睛】(1)没有注意到因为PF1l，所以PF1F2=90°+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围【正确解答】 (1)证法一：因为A、B分别是直线l：y= ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(-)(0,a). 由所以点M的坐标是(-c,)，由得(-c+)=(，a) 即解法二：因为PF1l，所以，PF1F2=90°+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,设点P的坐标是(x0，y0)，则 解得由|PF1|=|FlF2|得=4c2，两边同时除以4a2，化简得=e2从而e2=于是=l-e2=即当=时，PF1F2为等腰三角形 15 【错误解答】 (1)W1=(x,y)|y±kx x<0|W2=(x，y)y=±kx,x>0| ()直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0由题意得 ·=d2即=d2 k2x2-y2±(k2+1)d2=0故动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2±(k2+1)d2=0 ()略【易错点点睛】没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成【正确解答】 解：(I)W1=(x，y)|kx<y-kx，z< 0|，W2=(x,y)|kx<y<bc，x>0，()直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0，由题意得·=d2，即=d2，由P(x，y)W，知k2x2-y2>0，所以=d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0； 16 【错误解答】 (1)略()由(1)得Q(5，-5) 直线OQ的方程为x+y=0设P(x, -4)点P到直线OQ的距离d=-4x8 SOPQ最大值=|(-4+4)2-48|=15【易错点点睛】要注意二次函数最大值的求法 【正确解答】 (1)解方程组，得即A(-4，-2)，B(8，4)，从而AB的中点为M(2，1)，由，得线段AB的垂直平分线方程y-1=-2(x-2)令y=-5，得x=5，Q(5，-5)【易错点点睛】思路不清晰【正确解答】 (1)解法一：直线l过点M(0，1)，设其斜率为A，则J的方程为y=kx+1记A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题设可得A、B的坐标(x1，y1)、(x2,y2)是方程组的解将代入并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0所以 于是设点P的坐标为(x，y)，则消去参数k得 4x2+y2-y=0 当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程，所以点P的轨迹方程为 4x2+y2-y=0解法二：设点P的坐标为(x，y)，因A(x1，y1)、B(x2，y2)在椭圆上，所以-得所以（x1-x2）(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0当x1x2时，有并且将代入并整理得4x2+y2-y=0当x1=x2时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，-2)，这时点p的坐标为(0，0)也满足，所以点P的轨迹方程为 ()解法：由点P的轨迹方程知x2。 即-x所以故当x=时，取得最小值，最小值为，当x=时，取得最大值，最大值为 易错起源1、 对椭圆相关知识的考查 例1设A、B是椭圆3x2+y2=上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点 (1)确定A的取值范围，并求直线AB的方程； ()试判断是否存在这样的A，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由(此题不要求在答题卡上画图)【易错点点睛】用“差比法”求斜率时kAB=这地方很容易出错N(1，3)在椭圆内，>3×12+32=12应用结论时也易混淆【正确解答】 (1)解法1：依题意，可设直线AB的方程为y=A(x-1)+3，代入3x2+y2=，整理得 (注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) 1重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形3注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等易错起源2、对双曲线相关知识的考查 例2双曲线=1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0,b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(-1，0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围1注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性 2由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏 3掌握参数a、b、c、e的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用易错起源3、对抛物线相关知识的考查 例3过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( )A.有且仅只有一条 B有且仅有两条C.有无穷多条 D不存在1.用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。2.凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。易错起源4、对直线与圆锥曲线的关系的考查例4抛物线C的方程为y=ax2(a<0)，过抛物线C上一点P(x0，y0)(x00)作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1，y1)B(x2，y2)两点(P、A、B三点互不相同)，且满足k2+k1=0(0且-1) ()求抛物线C的焦点坐标和准线方程； ()设直线AB上一点M满足=，证明线段PM的中点在y轴上 ()当A=1时，若点P的坐标为(1，-1)，求PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围 1判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组，判断方程组解的组数，对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断，而直线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定，不可混淆 2涉及弦长的问题中，应熟练地利用韦达定理，设而不求计算弦长，不要蛮算，以免出现差错3涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化。 易错起源5、对轨迹问题的考查 例5已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c，0)、F2(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足=2a，点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足·=0，|0 (1)设x为点P的横坐标，证明|=a+； ()求点T的轨迹C的方程； ()试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S=b2，若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由【正确解答】 (1)证法一：设点P的坐标为(x，y)由P(x，y)在椭圆上，得2由|x|a，知a+-c+a>0，所以=a+x ()解法一：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是(1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来，实质上是一个翻译过程，故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键，往往和研究曲线几何性质，讨论直线与曲线位置关系等联系在一起(2)求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除易错起源6、考查圆锥曲线中的定值与最值问题 例6如图，P是抛物线C：y=x2上点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q (1)若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点 M的轨迹方程； ()若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围【易错点点睛】(1)没有注意“杂点”的去除；()没有注意利用重要不等式时等号成立的条件【正确解答】 解法：(1)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M (x0，y0)，依题意x10，yl>0，y2>0由y=x2，得y'=x. 过点P的切线的斜率k切=x1, x1=0不合题意， x10 直线l的斜率k1=,直线l的方程为y-x21=(x-x1)方法一：联立消去y，得x2+-x21-2=0 方法二：当b>0时，=|b|+2>2；直线过定点的问题，常用直线系的思想处理定值问题常常用函数的思想处理，即把所求定值通过一些基本变量表示，最终化成常数最值问题往往用几何方法，函数或不等式等方法处理 1双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2 C4 D42设双曲线1(a>0)的渐近线方程为3x±2y0，则a的值为()A4 B3C2 D13已知双曲线1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y22px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()A2 B2C4 D44方程为1(a>b>0)的椭圆左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个顶点，若32，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.5如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是()A.1 B.1C. D.6设F为抛物线y22px(p>0)的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，当0，且|3时，此抛物线的方程为()Ay22x By24xCy26x Dy28x7已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()A. B. C D8已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1C. D.9.已知椭圆C1：1(a>b>0)与双曲线C2：x21 有公共的焦点，C1的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1 恰好将线段AB三等分，则()Aa2 Ba213C. b2 Db2 210已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_11已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为_12已知双曲线1(a>0，b>0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_13.若椭圆1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_14若双曲线1的离心率e2，则m_.15.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)则该椭圆的离心率的取值范围是_16已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆C两个焦点的距离之和为6.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：ykx2与椭圆C交于A，B两点，点P(0,1)，且|PA|PB|，求直线l的方程17设椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|PF2|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且|MN|AB|，求椭圆的方程18.在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1，F2分别为椭圆1的左、右焦点，已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·2，求点M的轨迹方程19已知椭圆G：y21，过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆G于A、B两点(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值5【答案】A【解析】设正六边形的边长为1，则AE，ED1，AD2，2aAEED1,2cAD2，e1.|PN|(|AK|BM|)点P到y轴的距离为.13.【答案】116 【解析】(1)由已知2a6，e，解得a3，c，所以b2a2c23，所以椭圆C的方程为1.由y(xc)，得cxy.于是，(x，x)由·2，即·x·x2，化简得18x216xy150，将y代入cxy，得c>0.所以x>0.因此，点M的轨迹方程是18x216xy150(x>0)所以|AB|的最大值为240