2022版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第3节第1课时两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式学案含解析.doc

三角恒等变换考试要求1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin_cos_±cos_sin_；(2)cos(±)cos_cos_sin_sin_；(3)tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2.提醒：(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中的特殊情况(2)二倍角是相对的，如是的2倍，3是的2倍3辅助角公式asin bcos sin().1公式的常用变式tan ±tan tan(±)(1tan tan )；sin 2；cos 2.2降幂公式sin2；cos2；sin cos sin 2.3升幂公式1cos 2cos2；1cos 2sin2；1sin 2；1sin 2.4半角正切公式tan .一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“×”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(2)公式asin xbcos xsin(x)中的取值与a，b的值无关()(3)cos 2cos2112sin2.()(4)当是第一象限角时，sin .()答案(1)(2)×(3)(4)×二、教材习题衍生1已知cos ，是第三象限角，则cos为()AB CDAcos ，是第三象限角，sin .cos(cos sin ).故选A.2(多选)若tan 2xtan5，则tan x的值可能为()AB CDBD设tan xt，因为tan 2xtan5，所以t2，故tan xt±.故选BD.3计算：sin 108°cos 42°cos 72°sin 42°_.原式sin(180°72°)cos 42°cos 72°sin 42°sin 72°cos 42°cos 72°sin 42°sin(72°42°)sin 30°.4若tan ，tan()，则tan _.tan tan().第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 考点一公式的直接应用 应用公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用典例1(1)(2020·全国卷)已知(0，)，且3cos 28cos 5，则sin ()AB CD(2)已知，为锐角，tan ，cos().求cos 2的值；求tan()的值(1)A由3cos 28cos 5，得3(2cos21)8cos 5，即3cos24cos 40，解得cos 或cos 2(舍去)又(0，)，sin 0，sin ，故选A.(2)解因为tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，因此cos 22cos21.因为，为锐角，所以(0，). 又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2，因此，tan()tan2().1(2020·全国卷)已知2tan tan 7，则tan ()A2B1 C1D2D由已知得2tan 7，得tan 2.2(2019·全国卷)已知，2sin 2cos 21，则sin ()AB CDB由二倍角公式可知4sin cos 2cos2.，cos 0，2sin cos ，tan ，sin .故选B. 考点二公式的逆用和变形 两角和、差及二倍角公式的逆用和变形的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式(2)公式的一些常用变形sin sin cos()cos cos ；cos sin sin()sin cos ；1±sin 2；sin 2；cos 2；tan ±tan tan(±)(1tan tan )公式的逆用典例21(1)(2020·全国卷)已知sin sin1，则sin()AB CD(2)化简_.(1)B(2)(1)由sin sin1，得sin sin cos cos sin 1，整理得sin cos 1，即1，即sin1，sin，故选B.(2).点评：(1)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式(2)tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题公式的变形典例22(1)若0，则_.(2)化简sin2sin2sin2的结果是_(1)cos (2)(1)由(0，)，得0，cos 0，2cos .又(1sin cos )2cos 2cos cos ，故原式cos .(2)原式sin21sin21cos 2·cos sin21.1设acos 50°cos 127°cos 40°cos 37°，b(sin 56°cos 56°)，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBbacCcabDacbD由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得acos 50°cos 127°cos 40°cos 37°cos 50°cos 127°sin 50°sin 127°cos(50°127°)cos(77°)cos 77°sin 13°，b(sin 56°cos 56°)sin 56°cos 56°sin(56°45°)sin 11°，ccos239°sin239°cos 78°sin 12°.因为函数ysin x，x为增函数，所以sin 13°sin 12°sin 11°，所以acb.故选D.2(多选)(2020·徐州期中)在ABC中，C120°，tan Atan B，下列各式正确的是()AAB2CBtan(AB)Ctan Atan BDcos Bsin ACD在ABC中，C120°，所以AB60°，所以tan(AB)，解得tan Atan B.由于tan Atan B，tan Atan B.所以tan A和tan B为方程x2x0的两个根，所以tan Atan B.所以cos Bsin A.故AB错误，CD正确故选CD. 考点三利用“角的变换”求值 三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”典例3(1)已知cos，则cos xcos()AB CD(2)若，且sin，则cos_.(3)已知sin，则cos_.(1)D(2)(3)(1)方法一：cos xcoscoscos2coscos，故选D.方法二：cos xcoscos xcos xcos sin xsin sin xcos xcos，故选D.(2)由于角为锐角，且sin，则cos，则coscoscoscos sinsin ××.(3)coscossin，cos2cos212×21.点评：常见的配角技巧：2()()，()，等1已知sin，则(1)cos _；(2)sin_.(1)(2)(1)由知，cos，cos cos coscos sinsin ××.(2)由和(1)知，得sin .sin 22sin cos 2××，cos 22cos212×21，sinsin 2cos cos 2sin ×.2已知cos(75°)，则cos(30°2)的值为_cos(75°)sin(15°)，所以cos(30°2)12sin2(15°)1.10