2022高中数学 第3章归纳总结同步导学案 北师大版必修5.doc

第三章归纳总结知识结构知识梳理一、不等关系1.不等关系体现在日常生活中的方方面面，在数学意义上，不等关系可以体现：（1）常量与常量之间的不等关系；（2）变量与变量之间的不等关系；（3）函数与函数之间的不等关系；（4）一组变量之间的不等关系.2.实数比较大小的方法：作差法（1）a-b>0a>b;（2）a-b=0a=b;（3）a-b<0a<b.要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号（仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要）.在具体判断两个实数（或代数式）的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如因式分解、配方法等.对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定.3.不等式的性质（补充内容）（1）a>bb<a;（2）a>b,b>ca>c;（3）a>ba+c>b+c；（4）a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc；（5）a>b,c>da+c>b+d;（6）a>b>0,c>d>0ac>bd;（7）a>b>0an>bn(nN+且n>1);（8）a>b>0> (nN+且n>1).对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用“似乎”、“是”、“很显然”的理由代替不等式的性质.二、一元二次不等式1.一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集.2.解一元二次不等式的步骤：常用数形结合法解一元二次不等式，步骤：（1）当a>0时，解形如ax2+bx+c>0(0)或ax2+bx+c<0(0)的一元二次不等式，一般可分为三步：确定方程ax2+bx+c0的解；画出对应函数y=ax2+bx+c的简图；借助于图像的直观性写出不等式的解集.（2）特别地，若a<0时，还可先运用不等式的性质将其化成正数，再解不等式.3.一元二次不等式的解法技巧：（1）解一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)，当a>0时，若相应一元二次方程的判别式>0，则求两根或分解因式，根据“大于在两边，小于夹中间”写出解；若0或<0，这是特殊情形，利用相应一元二次函数的图像写出不等式的解集.（2）对于含参不等式，在求解过程中，注意不要忽视对其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根的大小进行分类讨论.4.分式不等式与一元二次不等式的关系设a<b, >0等价于(x-a)(x-b)>0,<0等价于(x-a)(x-b)<0, (x-a)(x-b)00等价于x-b0 (x-a)(x-b)00等价于x-b0分式不等式解法的实质是转化，把分式不等式转化为整式不等式来求解，需要注意分式有意义即分母不为零，也可将分式不等式转化为两个不等式组的并集，继而求出其解集.5.简单的一元高次不等式f(x)>0用数轴标根法（或称区间法、穿根法）求解，其步骤是：将f(x)的最高次项的系数化为正数；将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次用曲线把每个根串联起来；根据曲线呈现出f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集；奇次根依次穿过，偶次根穿而不过.三、基本不等式1.几个重要的基本不等式:(1)a2+b22ab(a,bR);(2) （a,bR+）;(3) +2（a与b同号）；(4)a+2（a>0）,a+-2（a<0）;(5)ab（）2(a,bR).2.利用基本不等式求最值.(1)利用基本不等式求最值，利用均值不等式求最值常见的有：已知某些变量（正数）的积为定值，求和的最小值.已知某些变量（正数）的和为定值，求积的最大值.(2)利用基本不等式应注意的问题:各数（或式）均为正；和或积为定值；等号能成立.即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.(3)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”、将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.3.创设应用基本不等式的条件（1）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需构造出“积为定值”或“和为定值”.（2）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.四、简单线性规划1.判断二元一次不等式（组）表示区域的方法以线定界、以点（原点）定域.以Ax+By+C0（A>0,B>0）为例.“以线定界”，即画二元一次方程Ax+By+C0表示的直线定边界，其中，还要注意实线或虚线.“以点定域”，由于对在直线Ax+By+C0同侧的点，实数Ax+By+C的值的符号都相同，故为了确定Ax+By+C的值的符号，可采用取特殊点法，如取坐标原点（0，0）等.2.最优解的确定方法最优解可有两种确定方法：（1）将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解;（2）利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围成可行域的直线l1,l2,ln的斜率分别为k1<k2<<kn，而且目标函数的直线的斜率为k，则当ki<k<ki+1时，直线li与li+1相交的点一般是最优解.(3)若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），此时应当作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目不多，可采用逐个检验的办法确定.3.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤（1）作出可行域.将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的区域，然后求出所有区域的交集.（2）作出目标函数的等值线（等值线是指目标函数过原点的直线）.（3）求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优解，或是无最优解.4.利用线性规划解实际问题的一般步骤（1）认真分析并掌握实际问题的背景，收集有关数据.（2）将影响问题的各项主要因素作为决策量，设为未知数.（3）根据问题特点，写出约束条件.（4）根据问题特点，写出目标函数，并求出最优解或其他要求的解.专题探究专题1不等式与函数、方程的综合问题1.利用不等式的性质、不等式的证明方法、解不等式等知识可以解决函数中的有关问题，主要体现在：利用不等式求函数的定义域、值域、最值、证明单调性等.2.利用函数、方程、不等式之间的关系，可解决一元二次方程根的分布问题.例1已知函数y=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1的定义域为R，求实数a的取值范围.解析由题意，得(a2-1)x2+(a+1)x+1>0对xR恒成立.当a2-1=0时，即a=±1.若a=1时，不等式化为2x+1>0不恒成立，a1.若a=-1时，不等式化为1>0,恒成立，符合题意. a2-1>0当a2-10,即a±1时，则有 ，=(a+1) 2-4(a2-1)<0解得a<-1或a>.综上所述，a的取值范围为(-,-1(,+).变式应用1m为何值时，方程x2+(m-2)x+(5-m)=0的两个根都大于2？解析解法一：设方程的两个根为x1,x2,则有0 0x1>2 ，即 (x1-2)+(x2-2)>0，x2>2 (x1-2)(x2-2)>0 m2-160 -m-2>0 ，m+5>0解得-5<m-4.解法二：设f(x)=x2+(m-2)x+5-m.由方程的两根都大于2可知，函数f(x)的图像如图所示， 0因此有 f(2)>0 ，->2 m2-160即 m+5>0 .m<-2解得-5<m-4.专题2不等式的恒成立问题对于不等式恒成立，求参数取值范围问题常见类型及解法有以下几种.1.变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.2.分离参数法：若 a<g(x)恒成立，则a<g(x) min.若a>g(x)恒成立，则a>g(x) max.3.数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化.例2若不等式x2+ax+10对于一切 x(0,都成立，则a的最小值为（）A.0B.-2C.-D.-3答案C解析解法一：（数形结合法）令f(x)=x2+ax+1,要使不等式x2+ax+10，对于一切x(0,都成立，只须f(x)0对于一切x(0,都成立.又f(x)的图像过定点（0，1）.（1）当=a2-40，即-2a2时，f(x)0对于一切x(0,都成立；（2）当=a2-4>0，即a<-2或a>2时，如图所示，对称轴x=-<0,即a>0.又a<-2或a>2,a>2.如图所示，对称轴x=->且f()0， ->即 ，a+10解得-a<-1.又a<-2或a>2,-a<-2.综上所述，a的取值范围为a-，故a的最小值为-.解法二：（分离变量）由已知可得不等式a-对于一切x(0, 成立，又由函数f(x)=-( +x)在x(0,上为增函数，可得f(x)的最大值为f()=-,从而得a的最小值为-.例3已知a>0且a1,f(x)=x2-ax,当x (-1,1)时均有f(x)< ,则实数a的取值范围是（）A.(0, )2,+)B.,1)(1,4C.,1)(1,2D.(0, )4,+)答案C解析由x2-ax<得ax>x2-,设函数y1=ax,y2=x2-,分别作出它们的图象，如图，由图易知，当0<a<1时，若x(-1,1)时均有ax>x2-,则x=1时，a112-，反之亦成立，同理，a>1时，可得1<a2.变式应用2f(x)=ax2+ax-1在R上满足f(x)<0,求a的取值范围.分析对a的值进行讨论.f(x)=ax2+ax-1在R上满足f(x)<0a=0或a<0 a的取值范围.<0解析(1)当a=0时，f(x)<0恒成立，故a=0符合题意；（2）当a0时，由题意得：a<0 a<0 -4<a<0,=a2+4a<0 -4<a<0综上所述：4<a0.专题3利用均值不等式求最值均值不等式通常用来求最值问题：一般用 a+b2 (a>0,b>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab（）2求“定和求积，积最大”问题.一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，以及对等号能否成立的验证.若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用均值不等式解决实际问题.例4设函数f(x)=x+,x0,+).(1)当a=2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的最小值.解析（1）把a=2代入f(x)=x+,得f(x)=x+=(x+1)+ -1x0,+),x+1>0, >0,x+1+2.当且仅当x+1=,即x=-1时，f(x)取最小值.此时，f(x) min2-1.（2）当0<a<1时，f(x)x+1+-1，若x+1+2,则当且仅当x+1=时取等号，此时x=-1<0(不合题意)，因此，上式等号取不到.设x1>x20，则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)1-,x1>x20，x1-x2>0,x1+1>1,x2+11，（x1+1）(x2+1)>1,而0<a<1,<1,f(x1)-f(x2)>0,f(x)在0,+)上单调递增，f(x) min=f(0)=a.变式应用3某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元.每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用（即有400公斤不需要保管）.(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最小值.解析（1）每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管费用，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，第x天（也就是下次购买原材料的前一天）用掉最后的400公斤原材料需保管x-1天.每次购买的原材料在x天内总的保管费用：y1=400×0.031+2+3+(x-1)=6x2-6x(元).（2）由（1）可知，购买一次原材料的总费用为6x2-6x+600+1.5×400x(元)，购买一次原材料平均每天支付的总费用y= (6x2-6x+600)+1.5×400+6x+594.y2+594714.当且仅当6x，即x=10时，y最小为714.该厂10天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，最少为714元.专题4二元线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解.特别注意目标函数z=ax+by+c在直线ax+by=0平移过程中的变化规律和图中直线斜率的关系，简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛的应用也是高考的热点. 7x-5y-230例4 已知x、y满足条件 x+7y-110 .4x+y+100求z=4x-3y的最大值和最小值.解析作可行域，如图中的阴影部分（含边界）.作直线l:4x-3y=0,由图形可知当直线l平移至顶点C、B时z分别取最小值、最大值. 4x+y+10=0由 ,得C(-3,2).x+7y-11=0 4x+y+10=0由 ,得B(-1,-6).7x-5y-23=0故zmin=4×（-3）-3×218,zmax=4×（-1）-3×（-6）14.变式应用4已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5 元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/吨和1.6 元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？解析设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(260-y)(万元)，即z=716-0.5x-0.8y.x0y0x、y应满足 200-x0 ，260-y0 x+y280（200-x）+(260-y)360 0x200即 0y260 x+y280x+y100作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图.设直线x+y=280与y=260的交点为M，则M（20，260）.把直线l0：0.5x+0.8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小.点M的坐标为（20，260），甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少.11