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新课标下的一类中考数学探究题 新课标新中考浙江中考数学答案 培养学生的探究能力是新课程标准中积极倡导的一项重要内容。在此背景下，各地的中考试卷中出现了许多新颖的几何探究题。笔者通过几例，对其中的一类略作说明。一、相同思路证明同一结论 例1（2007年天津）如图1，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F。 （1）求证：AEAB=AFAC； （2）如果将图1中的直线BC向上平移与圆O相交得图2，或向下平移得图3，此时，AEAB=AFAC是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由。 分析（1）通过证明ADEABD以及ADFACD两次相似得到结论；对于直线与相交或相离，可利用同（1）的方法进行证明。 证明（1）如图1，连接DE AD是圆O的直径AED=90° 又BC切圆O于点D ADBC，ADB=90° 在RtAED和RtADB中，EAD=DAB RtAEDRtADB 同理连接DF，可证RtAFDRtADC，AFAC=AD2 AEAB=AFAC （2）AEAB=AFAC仍然成立 如图2，连接DE，因为BC在上下平移时始终与AD垂直，设垂足为D 则AD"B=90° AD是圆O的直径 AED=90° 又D"AB=EAD RtAD"BRtAED 同理AFAC=AD"AD AEAB=AFAC 同理可证，当直线BC向下平移与圆O相离如图3时，AEAB=AFAC仍然成立 例2（2007年北京）我们知道：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。 （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； 分析（1）由定义易写出许多这样的特殊四边形；（2）易得BOD（或COE）与A相等，猜想四边形DBCE是等对边四边形。可通过在OE上截取或分别作BE、CD边垂线，也可以C为顶点作一个角等于DBC进行证明；（3）方法同（2）。 解（1）平行四边形。 （2）答：与A相等的角是BOD（或COE），四边形DBCE是等对边四边形； （3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。 证明如图2，以C为顶点作FCB=DBC，CF交BE于F点。 BDCCFB BD=CF，BDC=CFB ADC=CFE ADC=DCB+EBC+ ABE，FEC=A+ABE ADC=FEC FEC=CFE CF=CE BD=CE 四边形DBCE是等边四边形 特别地，当AB=AC时，BD=CE仍成立。 二、相同思路求线段长 例3（2006年山东淄博）半径为2.5的O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P。已知BCCA=43，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O （1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长； （2）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长； （3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长。 分析（1）由已知条件，易求出AC、BC的长，利用面积公式或三角形相似可求出CD的长。即求出了CP的长，所以求CQ的长时可利用PCQACB进行。（2）由（1）可知CQ=PC，在（2）中仍然成立。这样可过点B作PC垂线，利用相似或三角函数先求出PC长。（3）欲求CQ最大值，此时PC要最大。故当PC过圆心O时，CQ取到最大值。 解（1）当点P与点C关于AB对称时，CPAB，设垂足为D。 AB为O的直径， ACB=90°。 AB=5，ACCA=43， BC=4，AC=3。 又ACBC=ABCD 在RtACB和RtPCQ中， ACB=PCQ=90°，CAB=CPQ， RtACBRtPCQ （2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BEPC，于点E（如图）。 P是弧AB的中点， PCB=45°， 又CPB=CAB 故PC最大时，CQ取到最大值。 三、相同思路证明并求解 例4（2007年江苏盐城）操作：如图1，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图1画出一对以点O为对称中心的全等三角形。 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动： 探究一如图2，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论； 探究二如图3，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BEEC=12，BAE=EDF，CFAB。若AB=5，CF=1，求DF的长度。 分析由对称可知，只需在直线PQ上，在点O的两边截取相等的两部分即可。在探究一、探究二的活动中，分别延长AE和CF，利用全等可得AB=AF+CF，利用相似可求DF的长。 解（1）画图略 （2）结论：AB=AF+CF 证明分别延长AE、DF交于点M。 E为BC中点BE=CE ABCDBAE=M 又AEB=MECABEMCE AB=MC 又BAE=EAFM=EAF MF=AF 又MC=MF+CF AB=AF+CF （3）分别延长DE、CF交于点G。 ABCF B=C， BAE=G ABEGCE AB=5GC=10 FC=1GF=9 ABCFBAE=G 又BAE=EDF G=EDF GF=DFDF=9 综上所述，这类几何探究题的解题思路往往是相同的，结论也往往是不变或相近的。只要仔细探究，一定会找到解决的途径。 （责任编辑钱家庆） 注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。” 第 7 页 共 7页