九年级数学上册第一章一元二次方程构造一元二次方程解题的常用方法新版苏科版.doc

构造一元二次方程解题的常用方法 某些非一元二次方程的问题，如果能抓住特征，那么可以通过构造一元二次方程来解决，例说如下 一、利用已知等式构造一元二次方程 例1 若a，b，c为实数，且a2b2c2abbcca0，求证：abc 证明 由已知等式，可构造关于c的一元二次方程c2（ab）c（a2b2ab）0 c为实数， （ab）24（a2b2ab）（ab）20 a，b为实数， （ab)20，3(ab)20， 3（ab）20， ab 同理可证bc， abc 二、利用方程根的定义构造一元二次方程 例2 设a22a10，b4 2b210，且1ab0，求的值 解 由a22a10，知a0， 又 b42b210， (b2)22b210， 由1ab0知b2， 故，b2可视为方程x12x10的两个不相等的实数根根据根与系数的关系，得三、利用求根公式构造一元二次方程例3 若x，则分式的值是_解 x4 x4是方程的一个根，当时，原式 四、利用根与系数的关系构造一元二次方程 例4 已知实数a，b，c满足ab6，c2ab9，求证：ab 证明 ab6，c2ab9， ab6，c2ab9， a、b是方程x26xc290的两根， 36 4(c29)4c20而c为实数，4c20 4c20，即0 此时，方程有两个相等的实数根，所以ab 五、利用根的判别式构造一元二次方程 例5 已知n2(pm)24mp(mn)(np)，求证： 证明，由已知n2(pm)24mp(mn)(np)， 得n2(pm)24mp(mn)(np)0 方程p(mn)x2n(pm)xm(np)0(mn)有两个相等的实数根p(mn)n(pm)m(np)0，方程的两个实数根为x1x21根据根与系数的关系，得化简得mnnp2mp，（mn）当mn时，由已知可得pm，此时亦有成立，综上，成立3