四川省泸县第五中学2020届高三数学上学期开学考试试题理.doc
四川省泸县第五中学2020届高三数学上学期开学考试试题 理第I卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A1，2，3，B1，2，4，则AB等于 A. 1，2，4B. 2，3，4C. 1，2D. 1，2，3，42.已知复数z=1+2i2+i（其中为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知log2a>log2b，则下列不等式一定成立的是A. 1a>1bB. ln(ab)>0C. 2ab<1D. (13)a<(12)b4.设an是公比为q的等比数列，且a1>1，则“an>1对任意nN*成立”是“q1”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作ai(i=1,2，3，50)，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率6.等差数列an的前n项和为Sn，已知a4=7，则=A. 13 B. 35C. 49 D. 637.已知sin=35，2<<32，则sin(52-)=( )A. -45B. 45C. -35D. 358.7人乘坐2辆汽车，每辆汽车最多坐4人，则不同的乘车方法有A. 35种B. 50种C. 60种D. 70种9.等比数列an的各项均为正数，已知向量a=(a4,a5)，b=(a7,a6)，且ab=4，则log2a1+log2a2+log2a10=( )A. 12B. 10C. 5D. 2+log2510.(x-1)(2x+1)10的展开式中x10的系数为 A. -512 B. 1024 C. 4096 D. 512011.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E/平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是A. 13 B. 33C. 12D. 2212.已知函数在上的最大值为5，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 第II卷（非选择题90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.过点(0,1)且与曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为_14.设，则的最小值为_.15.三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=23，球O的体积为_16.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2， C的右支上存在一点P，满足cosF1PF2=34，且|PF2|等于双曲线C的虚轴长，则双曲线C的渐近线方程为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（本大题满分12分）的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求sinC18.（本大题满分12分）已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC=BCD=23BAD=600，AB=2CD=2，BF=CE=23BC.（1）求证：DE平面PAF；（2）若PA=12AB，求二面角PCDA的余弦值.19.（本大题满分12分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装。其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元。现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.二级滤芯更换频数分布表二级滤芯更换的个数56频数6040以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；（2）记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；（3）记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若m+n=28，且n5,6，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值.20.（本大题满分12分）设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（）求椭圆的方程；（）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.21.（本大题满分12分）已知函数fx=a2(x-1)2-x+lnx(a>0).（1）讨论f(x)的单调性；（2）若1<a<e，试判断f(x)的零点个数.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为y=tsinx=-2+tcos(t为参数).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2(4+5sin2)=36(1)求l和C的直角坐标方程；(2)设P(-2,0)，l和C相交于A，B两点，若|PA|PB|=4，求sin的值23.已知f(x)=|x+3|+|x-1|，gx=-x2+2mx.（）求不等式f(x)>4的解集；（）若对任意的x1,x2，f(x1)>gx2恒成立，求m的取值范围.2019-2020学年四川省泸县第五中学高三开学考试数学（理）试题答案1.C2.D3.D4.C5.D6.C7.A8.D9.C10.C11.B12.D13.2x-y+1=014.15.3616.y=x17.（1）即：由正弦定理可得： （2），由正弦定理得：又，整理可得： 解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即 由，所以.18.解：（1）证明：过点D在平面ABCD内作DN/BC，交AB于点N，因为AB=2CD，ABC=BCD，所以四边形DNBC为一个底角是60的等腰梯形， 所以BN=AN=CD，所以N为AB中点，由题知BAD=90，在RtNAD中，DN=2AN，又ABC=BCD=60，所以BC=32ND，而BF=CE=23BC，所以E,F为BC的三等分点，连接EN，所以NE/AF/DC，又在DEC中，EC=2DC，BCD=60，所以DEC=30，所以DECD，所以DEAF，又PA平面ABCD，所以PADE，因为PAAF=A，所以DE平面PAF （2）以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，所以平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1)， 又由（）知ABC=AND=60,BAD=90，所以在AND中，AD=3AN=3，所以D(0,3,0)，ADC=150，C(12,332,0)，P(0,0,1)，所以PC=(12,332,1),DC=(12,32,0)，设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，所以PCn=0CDn=0即12x+332y-z=012x+32y=0令x=3，所以n=(3,-1,-3)， 设二面角P-CD-A的平面角为，且为锐角，所以cos=nm|n|m|=21719.（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯。设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事件A.因为一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4，所以P(A)=0.40.40.4=0.064.（2）由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10，11，12的概率分别为0.2，0.4，0.4.由题意，X可能的取值为20，21，22，23，24，并且P(X=20)=0.20.2=0.04，P(X=21)=0.20.42=0.16，P(X=22)=0.40.4+0.20.42=0.32，P(X=23)=0.40.42=0.32，P(X=24)=0.40.4=0.16.所以X的分布列为X2021222324P0.040.160.320.320.16EX=200.04+210.16+220.32+230.32+240.16=22.4.（3）【解法一】因为m+n=28，n5,6，若m=22，n=6，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为2280+2000.32+4000.16+6160=2848；若m=23，n=5，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为2380+2000.16+5160+4000.4=2832.故m，n的值分别为23，5.【解法二】因为m+n=28，n5,6，若m=22，n=6，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Y1（单位：元），则Y1176019602160p0.520.320.16EY1=17600.52+19600.32+21600.16=1888.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Y2（单位：元），则Y2=6160=960，EY2=1960=960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为EY1+EY2=1888+960=2848.若m=23，n=5，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Z1（单位：元），则Z118402040p0.840.16EZ1=18400.84+20400.16=1872.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Z2（单位：元），则Z28001200p0.60.4EZ2=8000.6+12000.4=960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为EZ1+EZ2=1872+960=2832.故m，n的值分别为23，5.20.() 设椭圆的半焦距为，依题意，又，可得，b=2，c=1.所以，椭圆方程为.()由题意，设.设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，整理得，可得，代入得，进而直线的斜率，在中，令，得.由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.所以，直线的斜率为或.21.（1）函数f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=a(x-1)-1+1x=(x-1)(ax-1)x，令f(x)=0，则x1=1，x2=1a，（i）若a=1，则f(x)0恒成立，所以f(x)在(0,+)上是增函数，（ii）若0<a<1，则1a>1，当x(0,1)时，f(x)>0，f(x)是增函数，当x1,1a时，f(x)<0，f(x)是减函数，当x1a,+时，f(x)>0，f(x)是增函数，（iii）若a>1，则0<1a<1，当x0,1a时，f(x)>0，f(x)是增函数，当x1a,1时，f(x)<0，f(x)是减函数，当x(1,+)时，f(x)>0，f(x)是增函数，综上所述：当a=1时，f(x)在(0,+)上是增函数，当0<a<1，f(x)在(0,1)上是增函数，在1,1a上是减函数，在1a,+上是增函数，当a>1时，f(x)在0,1a上是增函数，在1a,1上是减函数，在(1,+)上是增函数；（2）当1<a<e时，f(x)在0,1a上是增函数，在1a,1上是减函数，在(1,+)上是增函数，所以f(x)的极小值为f(1)=-1<0，f(x)的极大值为f1a=a21a-12-1a+ln1a=a2-12a-lna-1,设g(a)=a2-12a-lna-1，其中a(1,e)，g(a)=12+12a2-1a=a2-2a+12a2=(a-1)22a2>0,所以g(a)在(1,e)上是增函数，所以g(a)<g(e)=e2-12e-2<0，因为f(4)=a2(4-1)2-4+ln4>129-4+ln4=ln4+12>0，所以有且仅有1个x0(1,4)，使f(x0)=0.所以当1<a<e时，f(x)有且仅有1个零点.22.解：1当=2+k,kZ时,l：x=-2当2+k,kZ时，由y=tsinx=-2+tcos,得yx+2=tan,l：y=(x+2)tan综上，l的直角坐标方程为x=-2，或y=(x+2)tan由C的极坐标方程2(4+5sin2)=36得4(x2+y2)+5y2=36，C的直角坐标方程为x29+y24=1(2)将y=tsinx=-2+tcos,(t为参数)代入x29+y24=1，得(4+5sin2)t2-16tcos-20=0t1t2=-204+5sin2P(-2，0)在l上，|PA|PB|=|t1|t2|=|-204+5sin2|=4sin=5523.（）法一：不等式f(x)>4，即|x+3|+|x-1|>4.可得x1x+3+x-1>4，或-3<x<1x+3+1-x>4或x-3-3-x+1-x<4 解得x<-3或x>1，所以不等式的解集为x|x<-3或x>1.法二：|x+3|+|x-1|x+3-x-1=4， 当且仅当x+3x-10即-3x1时等号成立. 所以不等式的解集为x|x<-3或x>1. （）依题意可知fxmingxmax 由（）知fxmin=4，gx=-x2+2mx=-x-m2+m2所以gxmax=m2由m2<4的m的取值范围是-2<m<2.
