【最高考】2021届高考数学二轮专题突破高效精练 第9讲 平面向量及其应用.doc

第9讲平面向量及其应用1. 已知向量a(3，4)，b满足a·b0且|b|1，则b_答案：或2. 设向量a(1，2m)，b(m1，1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_答案：解析：ac(1，2m)(2，m)(3，3m) (ac)b， (ac)·b(3，3m)·(m1，1)6m30， m. a(1，1)， |a|.3. 已知向量a、b满足(a2b)·(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_. 答案：解析： (a2b)·(ab)6， |a|22|b|2a·b6， a·b1， cosa，b.4. 在ABC中，O为ABC的重心，AB2，AC3，A60°，则·_答案：4解析：设BC边中点为D，则，()， ·()·(3×2×cos60°32)4.5. 若平面向量a、b满足|ab|1，ab平行于x轴，b(2，1)，则a_答案：(3，1)或(1，1)解析：设a(x，y)， ab(x2，y1)， 或6. 在ABC中，若··2，则边AB的长为_答案：2解析：由·2，·2，得·()2，24， AB2.7. 已知a、b是单位向量，a·b0，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是_答案：1，1解析： a·b0，且a、b是单位向量， |a|b|1. |cab|2c22c·(ab)2a·ba2b21， 2c·(ab)c21. |a|b|1且a·b0， |ab|， c212|c|cos (是c与ab的夹角)又1cos1， 0<c212|c|， c22|c|10， 1|c|1.8. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动若xy，其中x、yR，则xy的最大值是_答案：2解析：取O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A(1，0)，B，设COA，则，C(cos，sin)， (cos，sin)x(1，0)y，则xysincos2sin， 当时取最大值2.9. 如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC3，BD2，则()·()_答案：5解析：由于，所以.()·()()·()|2|2945.10. 在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，函数yex的图象与y轴的交点为B，P为函数yex图象上的任意一点，则·的最小值为_答案：1解析：P(x，ex)，·exx，对函数yexx求导得函数在(，0)上单调减，在(0，)上单调增，x0时取最小值1.11. 在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.(1) 设向量x(sinB，sinC)，向量y(cosB，cosC)，向量z(cosB，cosC)，若z(xy)，求tanBtanC的值；(2) 已知a2c28b，且sinAcosC3cosAsinC0，求b.解：(1) 由题意：xy(sinBcosB，sinCcosC)， z(xy)， cosB(sinCcosC)cosC(sinBcosB)， cosBsinCcosCsinB2cosBcosC， 2，即tanBtanC2. (2) sinAcosC3cosAsinC0， sinAcosCcosAsinC2cosAsinC. sin(AC)2cosAsinC，即sinB2cosAsinC. b2c·， b2b2c2a2，即a2c22b2.又a2c28b， 2b28b， b0(舍去)或4，故b4.12. 如图，在四边形ABCD中，AD8，CD6，AB13，ADC90°，且·50.(1) 求sinBAD的值；(2) 设ABD的面积为SABD，BCD的面积为SBCD，求的值解：(1) 在RtADC中，AD8，CD6，ADC90°，则AC10，cosCAD，sinCAD. ·50，AB13， cosBAC. 0BAC， sinBAC. sinBADsin(BACCAD).(2) SBADAB·AD·sinBAD，SBACAB·AC·sinBAC60，SACD24，则SBCDSABCSACDSBAD， .13. 已知向量a(cosxsinx，sinx)，b(cosxsinx，2cosx)，设函数f(x)a·b(xR)的图象关于直线x对称，其中、为常数，且.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围解：(1) f(x)sin2xcos2x2sinx·cosxcos2xsin2x2sin.由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin±1，所以2k(kZ)，即(kZ)又，kZ，所以k1，故，所以f(x)的最小正周期是.(2) 由(1)知f(x)2sin.由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin，即，故f(x)2sin.由0x有x，所以sin1，得12sin2，故函数f(x)在上的取值范围为1，2滚动练习(二)1. 已知集合Ax|x23x40，B，则AB_答案：(0，1)2. 如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上单调递增，则实数a的取值范围是_答案：解析：当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得0a.综上，得a0.3. 已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为_答案：解析： tan，且sin0，cos0， 在第四象限，由tan，得的最小正值为.4. 设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0，1时，f(x)x1，则f_答案：5. 函数f(x)x33x21在x_处取得极小值答案：2解析：f(x)3x26x3x(x2)，则函数的增区间是(，0)(2，)，减区间是(0，2)，所以函数在x2处取极小值6. 已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b与c共线，则k_答案：1解析：a2b(，3)与c共线，则·3k， k1.7. 定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB设A1，2，B0，2，则集合A*B的所有元素之和为_答案：6解析：A*B0，2，48. “m2”是函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件答案：充要解析：f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称1m2.9. 已知函数f(x)ex2xa有零点，则实数a的取值范围是_答案：(，2ln22解析：f(x)ex2.当x(，ln2)时，f(x)0；当x(ln2，)时，f(x)0；xln2时，f(x)取极小值即为最小值22ln2a0，a2ln22.本题也可转化为aex2x，求函数g(x)ex2x的值域即可判断10. 已知函数f(x)x2cosx，对于上的任意x1、x2，有如下条件：x1>x2；x>x；|x1|>x2；x1>|x2|.其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件是_(填序号)答案：解析：函数为偶函数，在上单调增，画图即可11. 在平面内，已知|1，|，·0，AOC30°，设mn(m、nR)，则_答案：±3解析：因为AOC30°，所以，30°.因为mn，·0，所以|2(mn)2m2|2n2|2m23n2，即|.又··(mn)m2m，则·|·|cos30°m，即1××m，平方得m29n2，即9，所以±3.12. 设x、y是正实数，且xy1，则的最小值是_答案：解析：设x2s，y1t，则st4，所以(st)62.因为(st)，所以.13. 已知奇函数f(x)(1) 求实数m的值；(2) 若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围点拨：本题考查函数的概念和性质，在讨论分段函数的性质时要整体考虑对二次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题解：(1) 函数f(x)为奇函数，f(x)f(x)0对xR恒成立，m2.(2) 由f(x)知f(x)在1，1上单调递增， 解得1a3，即实数a的取值范围是(1，314. 已知函数f(x)sin(x)cosxcos2x(>0)的最小正周期为.(1) 求的值；(2) 将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数yg(x)在区间上的最小值点拨：本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力解：(1) f(x)sin(x)cosxcos2xsinxcosxsin2xcos2xsin(2x)，由0，得， 1.(2) 由(1)知f(x)sin， g(x)f(2x)sin，当0x时，4x， sin1. 1g(x).故x0时，g(x)在此区间内取最小值为1.15. 已知在锐角ABC中，两向量p(22sinA，cosAsinA)，q(sinAcosA，1sinA)，且p与q是共线向量(1) 求A的大小；(2) 求函数y2sin2Bcos取最大值时，B的大小解：(1) pq， (22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(sinAcosA)0， sin2A，sinA. ABC为锐角三角形， A60°.(2) y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B60°)1cos2Bcos(2B60°)1cos2Bcos2Bcos60°sin2Bsin60°1cos2Bsin2B1sin(2B30°)，当2B30°90°，即B60°时，函数取最大值2.16. 已知函数f(x)x33ax23x1.(1) 求a时，讨论f(x)的单调性；(2) 若x2，)时，f(x)0，求a的取值范围解：(1) 当a时，f(x)x33x23x1.f(x)3x26x3.令f(x)0，得x11，x21.当x(，1)时，f(x)>0，f(x)在(，1)上是增函数；当x(1，1)时，f(x)<0，f(x)在(1，1)上是减函数；当x(1，)时，f(x)>0，f(x)在(1，)上是增函数(2) 由f(2)0得，a.当a，x(2，)时，f(x)3(x22ax1)3(x2x1)3(x2)>0，所以f(x)在(2，)上是增函数，于是当x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是.- 8 -