【志鸿优化设计】2021届高考数学一轮复习 考点规范练23.doc
考点规范练23解三角形应用举例一、非标准1.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测量A,B两点的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50m,ABC=105°,BCA=45°.就可以计算出A,B两点的距离为()A.50mB.50mC.25mD.m2.一艘海轮从A处出发,以40n mile/h的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30min后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()A.10n mileB.10n mileC.20n mileD.20n mile3.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40n mile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20n mile的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos等于()A.B.C.D.4. (2014浙江宁波模拟)某大学的大门蔚为壮观,有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方点A的距离,他站在地面C处,利用皮尺量得BC=9m,利用测角仪测得仰角ACB=45°,测得仰角BCD后通过计算得到sinACD=,则AD的距离为()A.2mB.2.5mC.3mD.4m5.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处,又测得山顶的仰角为60°,则山的高度BC为. 6.(2014广东广州调研)如图所示,长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为,则坡度值tan=. 7.(2014河北石家庄模拟)已知岛A南偏西38°方向,距岛A处3n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5h能截住该走私船?8.如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10n mile的C处的乙船.(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离;(2)设乙船沿直线CB方向前往B处救援,其方向与成角,求f(x)=sin2sin x+cos2cos x(xR)的值域. 9.在某个位置测得某山峰仰角为,对着山峰在水平地面上前进900m后测得仰角为2,继续在水平地面上前进300m后,测得山峰的仰角为4,则该山峰的高度为()A.300mB.450mC.300mD.600m10. (2014山东青岛模拟)如图,在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°,测得湖中之影的俯角为45°,则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()A.2.7mB.17.3mC.37.3mD.373m11.如图,在某灾区的搜救现场,一条搜救犬从点A出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象,然后向右转105°,行进10m到达C处发现另一生命迹象,这时它向右转135°回到出发点,那么x=. 12.如图所示,福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC,此时张角ABC=120°从B处攀登200m到达D处,回头看索道AC,此时张角ADC=150°从D处再攀登300m到达C处.则石竹山这条索道AC长为. 13.如图,在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物,现在需要测量其高度AB.由于雨季河宽水急不能涉水,只能在此岸测量.现有的测量器材只有测角仪和皮尺.现在选定了一条水平基线HG,使得H,G,B三点在同一条直线上.请你设计一种测量方法测出建筑物的高度,并说明理由.(测角仪的高为h)14.某人在汽车站M的北偏西20°的方向上的A处(如图所示),观察到C处有一辆汽车沿公路向M站行驶,公路的走向是M站的北偏东40°.开始时,汽车到A处的距离为31km,汽车前进20km后,到A处的距离缩短了10km.问汽车还需行驶多远,才能到达汽车站M?#一、非标准1.A解析:由正弦定理得,则AB=50(m).2.A解析:如图所示,易知,在ABC中,AB=20n mile,CAB=30°,ACB=45°,根据正弦定理得,解得BC=10(n mile).3.B解析:在ABC中,AB=40n mile,AC=20n mile,BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,则BC=20(n mile).由正弦定理,得sinACB=·sinBAC=.由BAC=120°,知ACB为锐角,则cosACB=.故cos=cos(ACB+30°)=cosACBcos30°-sinACBsin30°=.4.C解析:设AD=x m,则BD=(9-x)m,CD=m.在ACD中应用正弦定理得,即,则292+(9-x)2=26x2,整理,得2x2+3x-27=0,即(2x+9)(x-3)=0,解得x=3(m).5.500(+1)m解析:过点D作DEAC交BC于点E,因为DAC=30°,所以ADE=150°,所以ADB=360°-150°-60°=150°.又BAD=45°-30°=15°,所以ABD=15°.由正弦定理得AB=500().则在RtABC中,BC=ABsin45°=500(+1)(m).6.解析:在ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且+ACB=.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cosACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(-),解得cos=,则sin=,所以tan=.7. 解:如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC=0.5x n mile,AC=5n mile,依题意,BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sinABC=,所以ABC=38°.又BAD=38°,所以BCAD.故缉私艇以14n mile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5h截住该走私船.8.解:(1)连接BC,由余弦定理,得BC2=202+102-2×20×10cos120°=700.则BC=10,即所求距离为10n mile.(2)由正弦定理及题意知,sin=.是锐角,cos=.f(x)=sin2sin x+cos2cos x=sin x+cos x=sin,f(x)的值域为.9.B解析:如图所示,易知,在ADE中,DAE=2,ADE=180°-4,AD=300m,由正弦定理,得,解得cos2=,则sin2=,sin4=,因此在RtABC中山峰的高度h=300sin4=300=450(m)10.C解析:在ACE中,tan30°=.AE=.在AED中,tan45°=,AE=.CM=10(2+)37.3(m).11.解析:由题图知,AB=x,ABC=180°-105°=75°,BCA=180°-135°=45°.BC=10,BAC=180°-75°-45°=60°,x=.12.100m解析:在ABD中,BD=200m,ABD=120°.因为ADB=30°,所以DAB=30°.由正弦定理,得,所以.所以AD=200(m).在ADC中,DC=300m,ADC=150°,所以AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cosADC=(200)2+3002-2×200×300×cos150°=390000,所以AC=100m.故石竹山这条索道AC长为100m.13.解:如图,测出ACE的度数,测出ADE的度数,测量出HG的长度,即可计算出建筑物的高度AB.理由如下:设ACE=,ADE=,HG=m.在ADC中,由正弦定理得,所以AC=.在RtAEC中,AE=ACsin=.所以,建筑物的高AB=EB+AE=h+.14.解:设汽车前进20km后到达B处,在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理,得cos C=,则sin C=.所以sinMAC=sin(120°-C)=sin120°cos C-cos120°sin C=.在MAC中,由正弦定理,得MC=35,从而有MB=MC-BC=15(km).答:汽车还需行驶15km,才能到达汽车站M.11
