【考前三个月】（江苏专用）2021高考数学 高考必会题型 专题三 函数与导数 第14练 导数与单调性.doc

第14练导数与单调性题型一利用导数求函数的单调区间例1函数yx2ln x的单调递减区间为_破题切入点求出函数的导函数f(x)，根据定义解不等式f(x)<0即可，求解时注意函数的定义域答案(0,1解析由题意知，函数的定义域为(0，)，又由yx0，解得0<x1，所以函数的单调递减区间为(0,1题型二已知函数在某区间上的单调性求参数的值或范围例2已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值为_破题切入点函数f(x)在(0,1)上为减函数，g(x)在(1,2)上为增函数，利用导函数f(x)0在0,1上恒成立，g(x)0在1,2上恒成立解出两个a的取值范围，求出交集即可答案2解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.题型三与函数导数、单调性有关的图象问题例3设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极值情况为_破题切入点根据函数y(1x)f(x)的图象找到f(x)的导函数的符号，再由极值点的定义得出结论答案有极大值f(2)和极小值f(2)解析利用极值的存在条件判定当x<2时，y(1x)f(x)>0，得f(x)>0；当2<x<1时，y(1x)f(x)<0，得f(x)<0；当1<x<2时，y(1x)f(x)>0，得f(x)<0；当x>2时，y(1x)f(x)<0，得f(x)>0，f(x)在(，2)上是增函数，在(2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，)上是增函数，函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)总结提高(1)利用导数判断函数单调性的一般步骤：确定函数的定义域求导函数f(x)若求单调区间或证明单调性，只需在函数f(x)的定义域内解或证明不等式f(x)>0或f(x)<0；若已知函数f(x)的单调性则转化为f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解，一般是利用函数与方程思想，将字母分离出来(2)利用导数解决函数单调性应注意的问题：单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，首先要求函数的定义域，因为函数求导之后，自变量的取值范围可能会发生变化求可导函数的单调区间即为解不等式，若已知函数单调性求参数范围，转化为恒成立问题，注意验证所得参数范围的端点值1若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是_答案2，)解析由条件得h(x)20在(1，)上恒成立，即k2x2在(1，)上恒成立，所以k2，)2已知函数f(x)x2mxln x是单调递增函数，则m的取值范围是_答案2，)解析依题意知，x>0，f(x)，令g(x)2x2mx1，x(0，)，当0时，g(0)1>0恒成立，m0成立，当>0时，则m280，2m<0，综上，m的取值范围是m2.3若函数yf(x)在R上可导，且满足不等式xf(x)>f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是_af(b)>bf(a); af(a)>bf(b)；af(a)<bf(b); af(b)<bf(a)答案解析令F(x)xf(x)，则F(x)xf(x)f(x)，由xf(x)>f(x)，得xf(x)f(x)>0，即F(x)>0，所以F(x)在R上为递增函数因为a>b，所以af(a)>bf(b)4(2014·课标全国改编)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是_答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而0<<1，所以k1.即k的取值范围为1，)5设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是_答案(，2)(0,2)解析x>0时<0，(x)为减函数，又(2)0，当且仅当0<x<2时，(x)>0，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)>0的解集为(0,2)(，2)6函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)是它的导函数，且f(x)<f(x)tan x恒成立，则下列结论正确的是_f()>f(); f(1)<2f()sin 1；f()>f(); f()<f()答案解析f(x)<f(x)tan xf(x)cos x<f(x)sin x，构造函数g(x)，则g(x)，根据已知f(x)cos x<f(x)sin x，得g(x)>0，所以g(x)在(0，)上单调递增，所以g()<g()，即<，所以f()<f()7.已知a>0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调递增函数，则a的取值范围是_答案(0,3解析f(x)3x2a，f(x)在1，)上是单调递增函数，f(x)0，a3x2，a3.又a>0，可知0<a3.8已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_答案1，)解析f(x)mx20对一切x>0恒成立，m2，令g(x)2，则当1时，函数g(x)取最大值1，故m1.9设f(x)x3x22ax.若f(x)在(，)上存在单调递增区间，则a的取值范围为_答案(，)解析由已知得f(x)x2x2a(x)22a.当x，)时，f(x)的最大值为f()2a.令2a>0，得a>.所以当a>时，f(x)在(，)上存在单调递增区间10已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由解(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)>0，即(x22)ex>0.ex>0，x22>0，解得<x<.函数f(x)的单调递增区间是(，)(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立ex>0，x2(a2)xa0对xR都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可能在R上单调递减若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立，ex>0，x2(a2)xa0对xR都成立而(a2)24aa24>0，故函数f(x)不可能在R上单调递增综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数11已知函数f(x)(aR)，g(x).(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上有公共点，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x).令f(x)0，得xe1a，当x(0，e1a)时，f(x)>0，f(x)是增函数；当x(e1a，)时，f(x)<0，f(x)是减函数所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e1a，单调递减区间为e1a，)，极大值为f(x)极大值f(e1a)ea1，无极小值(2)令F(x)f(x)g(x)，则F(x).令F(x)0，得xe2a；令F(x)>0，得x<e2a；令F(x)<0，得x>e2a，故函数F(x)在区间(0，e2a上是增函数，在区间e2a，)上是减函数当e2a<e2，即a>0时，函数F(x)在区间(0，e2a上是增函数，在区间e2a，e2上是减函数，F(x)maxF(e2a)ea2.又F(e1a)0，F(e2)>0，由图象，易知当0<x<e1a时，F(x)<0；当e1a<xe2时，F(x)>0，此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上有1个公共点当e2ae2，即a0时，F(x)在区间(0，e2上是增函数，F(x)maxF(e2).若F(x)maxF(e2)0，即1a0时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上只有1个公共点；若F(x)maxF(e2)<0，即a<1时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上没有公共点综上，满足条件的实数a的取值范围是1，)12(2014·大纲全国)函数f(x)ax33x23x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围解(1)f(x)3ax26x3，f(x)0的判别式36(1a)若a1，则f(x)0，且f(x)0当且仅当a1，x1，故此时f(x)在R上是增函数由于a0，故当a<1时，f(x)0有两个根x1，x2.若0<a<1，则当x(，x2)或x(x1，)时，f(x)>0，故f(x)分别在(，x2)，(x1，)是增函数；当x(x2，x1)时，f(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是减函数；若a<0，则当x(，x1)或x(x2，)时，f(x)<0，故f(x)分别在(，x1)，(x2，)是减函数；当x(x1，x2)时，f(x)>0，故f(x)在(x1，x2)是增函数(2)当a>0，x>0时，f(x)3ax26x3>0，故当a>0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当a<0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f(1)0且f(2)0，解得a<0.综上，a的取值范围是，0)(0，)- 6 -