【考前三个月】（江苏专用）2021高考数学穿插滚动练(六).doc

穿插滚动练(六)1已知集合Ax|x22 015x2 014<0，Bx|log2x<m，若AB，则整数m的最小值是_答案11解析由x22 015x2 014<0，解得1<x<2 014，故Ax|1<x<2 014由log2x<m，解得0<x<2m，故Bx|0<x<2m由AB，可得2m2 014，因为2101 024,2112 048，所以整数m的最小值为11.2在复平面内，复数z对应的点位于第_象限答案四解析zi，因此复数z对应的点在第四象限3(2014·辽宁改编) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是_答案解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A).4已知数列an是公差不为0的等差数列，bn是等比数列，其中a13，b11，a2b2,3a5b3，若存在常数u，v对任意正整数n都有an3logubnv，则uv_.答案6解析设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则且d0，解得d6，q9，所以an6n3，bn9n1，6n33nlogu9v3logu9对任意正整数n恒成立，所以解得uv3，故uv6.5若平面向量a(2,3)和b(x2，2)垂直，则|ab|_.答案解析由ab，可得a·b2×(x2)3×(2)0，解得x1.故b(3，2)，所以ab(1,5)所以|ab|.6(2014·大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_答案解析如图，设球心为O，半径为r，则RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r，该球的表面积为4r24×()2.7(2014·江西改编)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为_答案解析AOB90°，点O在圆C上设直线2xy40与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离，点C在以O为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为OD.又OD，圆C的最小半径为，圆C面积的最小值为()2.8已知动点P(x，y)满足约束条件则z|2x3y6|的最小值是_答案3解析z|2x3y6|的几何意义为可行域内的点到直线2x3y60的距离的倍，其可行域如图中阴影部分所示，由图知点C到直线2x3y60的距离最短由得点C(0，1)，则zmin×3.9(2014·天津改编)已知双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为_答案1解析双曲线的渐近线方程为y±x，因为一条渐近线与直线y2x10平行，所以2.又因为双曲线的一个焦点在直线y2x10上，所以2c100，所以c5.由得故双曲线的方程为1.10.(2014·课标全国)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_答案解析两本不同的数学书用a1，a2表示，语文书用b表示，则(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)于是两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为.11某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过60 km/h的汽车数量为_答案38解析由直方图可得时速超过60 km/h的汽车所占频率为10×(0.0280.010)0.38，又样本容量为100，故时速超过60 km/h的汽车共有100×0.3838(辆)12.如图，在一个塔底的水平面上的点A处测得该塔顶P的仰角为，由点A向塔底D沿直线行走了30 m到达点B，测得塔顶P的仰角为2，再向塔底D前进10 m到达点C，又测得塔顶的仰角为4，则塔PD的高度为_答案15 m解析依题意有PDAD，BA30 m，BC10 m，PAD，PBD2，PCD4，所以APBPBDPADPAD.所以PBBA30 m.同理可得PCBC10m.在BPC中，由余弦定理，得cos 2，所以230°，460°.在PCD中，PDPC×sin 410×15(m)13已知集合Mx|y，xR，Nx|x23x20，在集合M中任取一个元素x，则“xMN”的概率是_答案解析因为Mx|y，xR(2,3)，Nx|x23x201,2，所以MN1,2所以“xMN”的概率P.14(2014·辽宁)对于c>0，当非零实数a，b满足4a22ab4b2c0且使|2ab|最大时，的最小值为_答案2解析设2abx，则2axb，(xb)2b(xb)4b2c0，x23bx6b2c0，即6b23xbx2c0，9x24×6×(x2c)0，3x28x28c0，x2c.当|2ab|x|取最大值时，有(2ab)2c，4a24abb2c，又4a22ab4b2c，ba，代入得4a22a·aa2·4c，a，b，或a，b.当a，b时，有5()222，当，即c时等号成立此时a，b.当a，b时，>0，综上可知c，a，b时，()min2.15(2014·浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A，求ABC的面积解(1)由题意得sin 2Asin 2B，即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，sinsin.由ab，得AB.又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C.(2)由c，sin A，得a.由a<c，得A<C，从而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以，ABC的面积为Sacsin B.16如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD.(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积方法一(1)证明AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.又CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，CD平面ABD.(2)解由AB平面BCD，得ABBD，ABBD1，SABD.M是AD的中点，SABMSABD.由(1)知，CD平面ABD，三棱锥CABM的高hCD1，因此三棱锥AMBC的体积VAMBCVCABMSABM·h.方法二(1)同方法一(2)解由AB平面BCD知，平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCDBD，如图，过点M作MNBD交BD于点N，则MN平面BCD，且MNAB.又CDBD，BDCD1，SBCD.三棱锥AMBC的体积VAMBCVABCDVMBCDAB·SBCDMN·SBCD.17已知等差数列an，公差d>0，前n项和为Sn，S36，且满足a3a1,2a2，a8成等比数列(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn的值解(1)由S36，得a22.a3a1,2a2，a8成等比数列，(2d)·(26d)42，解得d1或d，d>0，d1.数列an的通项公式为ann.(2)Tn(1)()()()()().18有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手从a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P.19(2014·福建)已知函数f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有x<cex.方法一(1)解由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当x<ln 2时，f(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln 2时，f(x)>0，f(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 4>0，即g(x)>0.所以g(x)在R上单调递增又g(0)1>0，所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.(3)证明对任意给定的正数c，取x0，由(2)知，当x>0时，x2<ex.所以当x>x0时，ex>x2>x，即x<cex.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x<cex.方法二(1)同方法一(2)同方法一(3)证明令k(k>0)，要使不等式x<cex成立，只要ex>kx成立而要使ex>kx成立，则只需要x>ln(kx)，即x>ln xln k成立若0<k1，则ln k0，易知当x>0时，x>ln xln xln k成立即对任意c1，)，取x00，当x(x0，)时，恒有x<cex.若k>1，令h(x)xln xln k，则h(x)1，所以当x>1时，h(x)>0，h(x)在(1，)内单调递增取x04k，h(x0)4kln(4k)ln k2(kln k)2(kln 2)，易知k>ln k，k>ln 2，所以h(x0)>0.因此对任意c(0,1)，取x0，当x(x0，)时，恒有x<cex.综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x<cex.方法三(1)同方法一(2)同方法一(3)证明若c1，取x00，由(2)的证明过程知，ex>2x，所以当x(x0，)时，有cexex>2x>x，即x<cex.若0<c<1，令h(x)cexx，则h(x)cex1.令h(x)0得xln .当x>ln时，h(x)>0，h(x)单调递增取x02ln，h(x0)ce2ln2(ln)，易知ln>0，又h(x)在(x0，)内单调递增，所以当x(x0，)时，恒有h(x)>h(x0)>0，即x<cex.综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x<cex.20(2014·山东)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，直线yx被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明：存在常数使得k1k2，并求出的值；求OMN面积的最大值解(1)由题意知，可得a24b2.椭圆C的方程可简化为x24y2a2.将yx代入可得x±，因此×，可得a2.因此b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)(x1y10)，D(x2，y2)，则B(x1，y1)因为直线AB的斜率kAB，又ABAD，所以直线AD的斜率k.设直线AD的方程为ykxm，由题意知k0，m0.由可得(14k2)x28mkx4m240.所以x1x2，因此y1y2k(x1x2)2m.由题意知x1x2，所以k1.所以直线BD的方程为yy1(xx1)令y0，得x3x1，即M(3x1,0)，可得k2.所以k1k2，即.因此存在常数使得结论成立直线BD的方程yy1(xx1)，令x0，得yy1，即N.由知M(3x1,0)，可得OMN的面积S×3|x1|×|y1|x1|y1|.因为|x1|y1|y1，当且仅当|y1|时等号成立，此时S取得最大值.所以OMN面积的最大值为.- 10 -