【考前三个月】（江苏专用）2021高考数学 压轴大题突破练 直线与圆锥曲线（二）.doc

压轴大题突破练直线与圆锥曲线(二)1.如图，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：1(a>b>0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合(1)求椭圆C的方程；(2)ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由(3)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值(1)解由题意，可得e，1，a2b2c2，解得a2，b，c，所以椭圆C的方程1.(2)解设直线BD的方程为yxm，D(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x22mxm240，所以8m264>02<m<2，x1x2m，x1x2.所以BD|x1x2|·.设d为点A到直线BD：yxm的距离，所以d.所以SABDBD·d·，当且仅当8m2m2，即m±2时取等号因为±2(2，2)，所以当m±2时，ABD的面积最大，最大值为.(3)证明设直线AB、AD的斜率分别为kAB、kAD，则kADkAB2m·，(*)将(2)中、式代入(*)式，整理得2m0，即kABkAD0(定值)2在平面直角坐标系xOy中，动点M到两定点F1(0，)，F2(0，)的距离之和为4，设动点M的轨迹为曲线C.已知直线l与曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，向量m(2x1，y1)，n(2x2，y2)，且mn.(1)若直线l过曲线C的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线l的斜率k的值；(2)AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由解(1)由题意知，MF1MF24>F1F22，根据椭圆的定义，知动点M的轨迹是以F1(0，)，F2(0，)为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的标准方程为1(a>b>0)，则a2，c，a24，c23，b2a2c21，曲线C的方程为x21.设l的方程为ykx，由，消去y得，(k24)x22kx10，(2k)24(k24)>0，且x1x2，x1x2.mn，m·n0，4x1x2y1y24x1x2(kx1)(kx2)(4k2)x1x2k(x1x2)3(k24)·k·30，解得k±.即直线l的斜率k的值为±.(2)当直线AB的斜率不存在时，有x1x2，y1y2.由m·n0，得4x21y210，即y214x21.又A(x1，y1)在椭圆上，x1，|x1|，|y1|.SOAB|x1|·|y1y2|x1|·|y1|1(定值)当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为ykxt.由消去y得，(k24)x22ktxt240，4k2t24(k24)(t24)>0，且x1x2，x1x2.m·n0，4x1x2y1y20，4x1x2(kx1t)(kx2t)0，(k24)x1x2kt(x1x2)t20，(k24)·kt·t20，整理得2t2k24.SOAB··AB·|t|·1(定值)综上，AOB的面积为定值3.如图，已知抛物线C：y22px和M：(x4)2y21，圆心M到抛物线C的准线的距离为.过抛物线C上一点H(x0，y0)(y01)作两条直线分别与M相切于A、B两点，与抛物线C交于E、F两点(1)求抛物线C的方程；(2)当AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；(3)若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值解(1)由题意知M的圆心M的坐标为(4,0)，半径为1，抛物线C的准线方程为x，圆心M到抛物线C的准线的距离为，4，解得p，从而抛物线C的方程为y2x.(2)AHB的角平分线垂直x轴，点H(4,2)，AHB60°，可得kHA，kHB，直线HA的方程为yx42，联立方程得y2y420，设E(xE，yE)，F(xF，yF)，则yE2，yE，xE，同理可得yF，xF，kEF.(3)方法一由题意可设点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则kMA，kMB，HA、HB是M的切线，HAMA、HBMB，kHA，kHB，直线HA、HB的方程分别为(4x1)xy1y4x1150，(4x2)xy2y4x2150，又点H在抛物线上，有yx0，点H的坐标为(y，y0)(y01)，分别代入直线HA、HB的方程得(4x1)yy1y04x1150，(4x2)yy2y04x2150，可整理为(4y)x1y0y14y150，(4y)x2y0y24y150，从而可求得直线AB的方程为(4y)xy0y4y150，令x0，得直线AB在y轴上的截距为t4y0(y01)，考虑到函数f(x)4x(x1)为单调递增函数，tmin4×111.方法二由(1)知，设点H(y，y0)(y01)，则HM2y7y16，HA2y7y15.以H为圆心，HA为半径的圆的方程为(xy)2(yy0)2y7y15，又M的方程为(x4)2y21.得：直线AB的方程为(2xy4)(4y)(2yy0)y0y7y14.当x0时，直线AB在y轴上的截距t4y0(y01)，t关于y的函数在1，)上单调递增，tmin11.4如图，已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切A、B是椭圆的左、右顶点，直线l过B点且与x轴垂直(1)求椭圆C的标准方程；(2)设G是椭圆C上异于A、B的任意一点，作GHx轴于点H，延长HG到点Q使得HGGQ，连结AQ并延长交直线l于点M，N为线段MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论解(1)由题意可得e.以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切，b，解得b1.由a2b2c2，可得a2.椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)可知A(2,0)，B(2,0)，直线l的方程为x2.设G(x0，y0)(y00)，于是H(x0,0)，Q(x0,2y0)，且有y1，即4y4x.连结BQ，设直线AQ与直线BQ的斜率分别为kAQ，kBQ，kAQ·kBQ·1，即AQBQ，点Q在以AB为直径的圆上直线AQ的方程为y(x2)由解得即M(2，)，N(2，)直线QN的斜率为kQN，kOQ·kQN·1，于是直线OQ与直线QN垂直，直线QN与以AB为直径的圆O相切- 5 -