【走向高考】2021届高三数学一轮基础巩固 第3章 第3节 导数的综合应用与实际应用（含解析）新人教B版.doc

【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第3章 第3节 导数的综合应用与实际应用 新人教B版一、选择题1在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()A.和RB.R和RC.R和RD以上都不对答案B解析设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l2x4(0xR)，l2，令l0，解得xR.当0xR时，l0；当RxR时，l0.所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.2(文)(2014·山西省考前适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件B2百万件C3百万件D4百万件答案C解析由y3x2270得x±3，x>0，x3.当0<x<3时，y>0，当x>3时，y<0，x3是函数的极大值点，由实际问题的实际意义知x3为函数的最大值点，故选C.(理)(2013·日照模拟)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件D7万件答案C解析yx381x234，yx281(x>0)令y0得x9，令y<0得x>9，令y>0得0<x<9，函数在(0,9)上单调递增，在(9，)上单调递减，当x9时，函数取得最大值故选C.点评利用导数求函数最值时，令y0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左右两边的导数的符号才能确定3(文)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为()A.B.C.D3·答案C解析设圆柱底面半径为r，高为h，S2r22rh，h，又Vr2h，则V，令V0，得S6r2，h2r，r.(理)(2014·石家庄模拟)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为()A3B.C2D2答案D解析设正六棱柱底面边长为a，高为2h，则h，V六棱柱a2·23a2，V6a，令V0，解得a.h，六棱柱的高为2.4(文)要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.cmB.cmC.cmDcm答案D解析设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为Vx(400x2)(0x20)，V(4003x2)，令V0，解得x.当0x时，V0；当x20时，V0，所以当x时，V取最大值(理)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为()ARB2RC.RDR答案C解析设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2(hR)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2，令V0得hR.5(文)(2014·湖北宜昌模拟)已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)lnxax(a>)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A.B.C.D1答案D解析x(2,0)时，x(0,2)，f(x)ln(x)ax，f(x)为奇函数，f(x)ln(x)ax，f (x)a，由f (x)0得x.当0>x>时，f (x)>0，f(x)单调递增，当2<x<时，f (x)<0，f(x)单调递减由题设知f()ln11，a1，故选D.(理)(2013·沈阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是()A(2,0)(2，)B(2,0)(0,2)C(，2)(2，)D(，2)(0,2)答案D解析令F(x)，x>0时，F(x)<0，F(x)在(0，)上为减函数，又f(x)为奇函数，F(x)F(x)，F(x)为偶函数，F(x)在(，0)上为增函数，f(2)0，F(2)0，F(2)0，在(，2)和(2，)上F(x)<0，在(2,0)和(0,2)上F(x)>0，从而在(，2)和(0,2)上f(x)>0，不等式x2f(x>0)的解集为(，2)(0,2)6(文)(2014·山西大同诊断)设D是函数yf(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”若函数f(x)ax23xa在区间1,4上存在次不动点，则实数a的取值范围是()A(，0)B(0，)C，)D(，答案D解析设g(x)f(x)x，依题意，存在x1,4，使g(x)f(x)xax22xa0.当x1时，g(1)0；当x1时，由ax22xa0得a.记h(x)(1<x4)，则由h(x)0得x2或x(舍去)当x(1,2)时，h(x)>0；当x(2,4)时，h(x)<0，即函数h(x)在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x2时，h(x)取得最大值，最大值是h(2)，故满足题意的实数a的取值范围是(，选D.(理)(2014·浙江省名校联考)设函数ht(x)3tx2t，若有且仅有一个正实数x0，使得h7(x0)ht(x0)对任意的正数t都成立，则x0()A5B.C3D答案D分析“有且仅有一个正实数x0，使得h7(x0)ht(x0)，对t>0都成立”，即对变量t，ht(x0)的最大值h7(x0)解析h7(x0)ht(x0)对任意的正数t都成立，h7(x0)ht(x0)max.记g(t)ht(x0)3tx02t，则g(t)3x03t，令g(t)0，得tx，易得ht(x0)maxg(x)x，21x014x，将选项代入检验可知选D.二、填空题7若函数f(x)lnxax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_答案(1，)分析函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f (x)<0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，)，所以本题就是求f (x)<0在(0，)上有实数解时a的取值范围解析解法1：f (x)ax2，由题意知f (x)<0有实数解，x>0，ax22x1>0有实数解当a0时，显然满足；当a<0时，只要44a>0，1<a<0，综上知a>1.解法2：f (x)ax2，由题意可知f (x)<0在(0，)内有实数解即1ax22x<0在(0，)内有实数解即a>在(0，)内有实数解x(0，)时，(1)211，a>1.8(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，该长方体的最大体积是_答案3m3解析设长方体的宽为x，则长为2x，高为3x(0<x<)，故体积为V2x26x39x2，V18x218x，令V0得，x0或1，0<x<，x1.该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax3m3.(理)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么容器的容积最大时，容器的高为_答案1.2m解析设容器的短边长为xm，则另一边长为(x0.5)m，高为3.22x.由3.22x>0和x>0，得0<x<1.6，设容器的容积为ym3，则有yx(x0.5)(3.22x)(0<x<1.6)，整理得y2x32.2x21.6x，y6x24.4x1.6，令y0，有6x24.4x1.60，即15x211x40，解得x11，x2(不合题意，舍去)，高为3.221.2，容积V1×1.5×1.21.8，高为1.2m时容积最大9(2015·大同市调研)设函数f(x)ax3bx2cx，若1和1是函数f(x)的两个零点，x1和x2是f(x)的两个极值点，则x1·x2_.答案解析1和1是函数f(x)的两个零点，f(x)ax3bx2cxa(x1)x(x1)，x1，x2是f(x)的两个极值点，x1、x2是方程f (x)0的两个根f (x)a(3x21)，x1x2.三、解答题10(文)某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与日产量x(xN*)件之间的关系为P，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元(注：正品率产品中的正品件数÷产品总件数)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)问该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值解析(1)y4000××x2000(1)·x3600xx3.所求的函数关系式是yx33600x(xN*,1x40)(2)由(1)知y36004x2.令y0，解得x30.当1x<30时，y>0；当30<x40时，y<0.函数yx33600x(xN*,1x40)在1,30上是单调递增函数，在30,40上是单调递减函数当x30时，函数yx33600x(xN*,1x40)取得最大值，最大值为×3033600×3072000(元)该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72000元(理)(2015·北师大附中期中)某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60n mile/h，甲地至乙地之间的海上航行距离为600n mile，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其他费用为每小时1250元(1)请把全程运输成本y(元)表示为速度x(n mile/h)的函数，并指明定义域；(2)为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解析(1)由题意得：y(12500.5x2)300x，即：y300x(0<x60)(2)由(1)知，y300，令y0，解得x50，或x50(舍去)当0<x<50时，y<0，当50<x<60时，y>0，因此，函数y300x，在x50处取得极小值，也是最小值故为使全程运输成本最小，轮船应以50n mile/h的速度行驶.一、解答题11(文)(2015·湖北百所重点中学联考)2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x元时，销售量可达到150.1x万套，供货商把该产品的供货价格分为两个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量(单位：万套)成反比，比例系数为k，假设不计其他成本，即每套产品销售利润售价供货价格(1)若售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润；(2)若k10，求销售这套商品总利润的函数f(x)，并求f(x)的最大值解析(1)售价为50元时，销量为150.1×5010万套，此时每套供货价格为30(元)，则获得的总利润为10×(5030)180，解得k20，售价为100元时，销售总利润为：(150.1×100)(10030)320(万元)(2)由题意可知每套商品的定价x满足不等式组即0x150，f(x)x(30)×(150.1x)0.1x218x460，(0x150)，f (x)0.2x18，令f (x)0可得x90，且当0x90时，f (x)0，当90x150时，f (x)0，当x90时，f(x)取得最大值为350(万元)(理)某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a(1a3)元的管理费，预计当每件商品的售价为x(8x9)元时，一年的销售量为(10x)2万件(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x)(销售一件商品获得的利润lx(a4)；(2)当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大？并求出L的最大值M(a)解析(1)由题得该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)(x4a)(10x)2，x8,9(2)L(x)(x4a)(x220x100)(10x)(182a3x)，令L(x)0，得x6a或x10(舍去)1a3，6a8.L(x)在x8,9上单调递减，故L(x)maxL(8)(84a)·(108)2164a，即M(a)164a.答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为164a万元12(2014·希望高中月考)设函数yx22x2的图象为C1，函数yx2axb的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值解析(1)对于C1：yx22x2，有y2x2，对于C2：yx2axb，有y2xa，设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即4x2(a2)x02a10又点(x0，y0)在C1与C2上，故有2x(a2)x02b0由消去x0，可得ab.(2)由(1)知：ba，aba(a)(a)2.当a时，(ab)最大值.13(文)已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？解析如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，由于x2x2h2d2，x2(d2h2)球内接正四棱柱的体积为Vx2·h(d2hh3)，0<h<d.V(d23h2)0，hd.在(0，d)上，函数变化情况如下表：hdV0V极大值由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为d.(理)(2014·江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设BOC，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)(1)求V关于的函数表达式(2)求的值，使体积V最大(3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由解析(1)梯形ABCD的面积SABCD·sinsincossin，(0，)体积V()10(sincossin)，(0，)(2)V()10(2cos2cos1)10(2cos1)(cos1)令V()0，得cos或cos1(舍)(0，)，.当(0，)时，<cos<1，V()>0，V()为增函数；当(，)时，0<cos<，V()<0，V()为减函数当时，体积V最大(3)木梁的侧面积S侧(AB2BCCD)·1020(cos2sin1)，(0，)S2SABCDS侧2(sincossin)20(cos2sin1)，(0，)设g()cos2sin1，(0，)g()2sin22sin2，当sin，即时，g()最大又由(2)知时，sincossin取得最大值，时，木梁的表面积S最大综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大14(文)(2014·河北唐山二模)已知函数f(x)x2lnxax，aR.(1)当a1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)>x，求a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)x2lnxx，f(x).当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)的最小值为f(1)0.(2)f(x)x，即f(x)xx2lnx(a1)x0.由于x0，所以f(x)x等价于xa1.令g(x)x，则g(x).当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.g(x)有最小值g(1)1.故a11，a的取值范围是(，0)(理)(2014·黑龙江大庆实验中学期中)已知函数f(x)xlnx(x>0)(1)试求函数f(x)的单调区间和最值；(2)若g(x)f (x)，直线ykxb与曲线g(x)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)不同的两点，若x0，试证明k>g(x0)解析(1)f (x)lnx1，由f (x)>0得x>，函数f(x)的减区间是(0，增区间是，)，f(x)minf().(2)证明：g(x)f (x)lnx1，令x1>x2>0，k，g(x0)，构造函数F(x)g(x1)g(x2)lnx1lnx2ln，令t，则h(t)lnt(t>1)，h(t)>0，所以h(t)>h(1)0，所以F(x)>0，即k>g(x0)15(文)(2014·邯郸市一模)已知函数f(x)x2(a1)xalnx1.(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的极大值；(2)求a的范围，使得f(x)1恒成立解析(1)f(x)x(a1)(x>0)，x3是f(x)的极值点，f(3)3(a1)0，解得a3.当a3时，f(x).当x变化时，x(0,1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增f(x)的极大值为f(1).(2)要使得f(x)1恒成立，即x>0时，x2(a1)xalnx0恒成立设g(x)x2(a1)xalnx，则g(x)x(a1)()当a0时，由g(x)<0得单减区间为(0,1)，由g(x)>0得单增区间为(1，)g(x)ming(1)a0，得a()当0<a<1时，由g(x)<0得单减区间为(a,1)，由g(x)>0得单增区间为(0，a)，(1，)，此时g(1)a<0，不合题意()当a1时，f(x)在(0，)上单增，此时g(1)a<0，不合题意()当a>1时，由g(x)<0得单减区间为(1，a)，由g(x)>0得单增区间为(0,1)，(a，)，此时g(1)a<0不合题意综上所述：a时，f(x)1恒成立(理)(2014·郑州市质检)已知函数f(x).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)过点P(0，)作直线l与曲线yf(x)相切，求证：这样的直线l至少有两条，且这些直线的斜率之和m(，)解析(1)由题知f(x)(xR)，令f(x)>0，x<1，令f(x)<0，x>1，所以函数f(x)的增区间为(，1)，减区间为(1，)，其极大值为f(1)，无极小值(2)设切点为(x0，f(x0)，则所作切线的斜率kf(x0)，所以直线l的方程为：y(xx0)，注意到点P(0，)在切线l上，所以(x0)，整理得：0，故此方程解的个数，即为可以做出的切线条数，令g(x)，则g(x)，令g(x)>0则0<x<2，令g(x)<0则x<0或x>2，所以，函数g(x)在(，0)，(2，)上单调递减，在(0,2)上单调递增，注意到g(0)<0，g(2)0，g(1)e>0，所以方程g(x)0的解为x2，或xt(1<t<0)，即过点P(0，)恰好可以作两条与曲线yf(x)相切的直线当x2时，对应的切线斜率k1f(2)，当xt时，对应的切线斜率k2，令h(t)(1<t<0)，则h(t)<0，所以h(t)在(1,0)上为减函数，即1h(0)<h(t)<h(1)2e,1<k2<2e，所以mk1k2(，)- 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