【步步高】（江苏专用）2021届高考数学二轮专题突破 专题六 第2讲 统计 文.doc

第2讲统计【高考考情解读】1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表，有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题1 随机抽样(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成2 常用的统计图表(1)频率分布直方图小长方形的面积组距×频率；各小长方形的面积之和等于1；小长方形的高，所有小长方形的高的和为.(2)茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好3 用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数数字特征样本数据频率分布直方图众数出现次数最多的数据取最高的小长方形底边中点的横坐标中位数将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标平均数样本数据的算术平均数每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和(2)方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2标准差：s.考点一抽样方法例1(2012·山东改编)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为_答案10解析由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为30，抽取的号码依次为9,39,69，939.落入区间451,750的有459,489，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729459(n1)×30，解得n10.所以做问卷B的有10人 在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为(N为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值 (1)(2013·江西改编)总体由编号为01,02，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_.7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481(2)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本用系统抽样法，将全体职工随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组(15号，610号，196200号)若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是_若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取_人答案(1)01(2)3720解析(1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.(2)由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，即第n组抽取的号码为5n3，所以第8组抽出的号码为37；40岁以下年龄段的职工数为200×0.5100，则应抽取的人数为×10020人考点二用样本估计总体例2(2012·广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数.分数段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445解(1)由频率分布直方图知(2a0.020.030.04)×101，解得a0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×1065×0.04×1075×0.03×1085×0.02×1095×0.005×1073(分)(3)由频率分布直方图知语文成绩在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×1005，004×10×10040,0.03×10×10030,0.02×10×10020.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×20,30×40,20×25.故数学成绩在50,90)之外的人数为100(5204025)10(人) (1)在频率分布直方图中估计中位数和平均数的方法中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等平均数：在频率分布直方图中，平均数等于图中每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定 (1)(2012·陕西改编)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)设甲、乙两组数据的平均数分别为甲、乙，中位数分别为m甲、m乙，则下列结论正确的是_(填序号)甲<乙，m甲>m乙甲<乙，m甲<m乙甲>乙，m甲>m乙甲>乙，m甲<m乙(2)(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_答案(1)(2)2解析(1)直接利用公式求解甲(41433030382225271010141818568)，乙(42434831323434382022232327101218).甲<乙又m甲20，m乙29，m甲<m乙(2)甲(8791908993)90，乙(8990918892)90，s(8790)2(9190)2(9090)2(8990)2(9390)24，s(8990)2(9090)2(9190)2(8890)2(9290)22.考点三概率与统计的综合问题例3在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图，据此回答以下问题：(1)求参赛总人数和频率分布直方图中80,90)之间的矩形的高，并完成直方图；(2)若要从分数在80,100之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在90,100之间的概率解(1)由茎叶图知，分数在50,60)之间的频数为2.由频率分布直方图知，分数在50,60)之间的频率为0008×100.08.所以参赛总人数为25(人)分数在80,90)之间的人数为25271024(人)，分数在80,90)之间的频率为0.16，得频率分布直方图中80,90)间矩形的高为0.016.完成直方图，如图(2)将80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4；90,100之间的2个分数编号为5和6.则在80,100之间任取两份的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，其中至少有一个在90,100之间的基本事件为(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共9个故至少有一份分数在90,100之间的概率是. 本题以概率和统计知识为结合点，以生活中的热点问题为背景，较全面的考查了学生用概率统计知识解决实际问题的能力在求解(1)时，充分利用了茎叶图和频率分布直方图提供数据的互补性，即切实理解两统计方式提供数据的特征是求解本题的关键 右面茎叶图记录了甲组四名同学、乙组六名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示(1)如果x7，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果x8，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数大于17的概率解(1)平均数为9，方差为3.(2)由题知所有基本事件为(6,7)，(6,8)，(6,8)，(6,10)，(6,11)，(6,11)，(7,7)，(7,8)，(7,8)，(7,10)，(7,11)，(7,11)，(8,7)，(8,8)，(8,8)，(8,10)，(8,11)，(8,11)，(10,7)，(10,8)，(10,8)，(10,10)，(10,11)，(10,11)，共24个这两名同学的植树总棵数大于17的基本事件为(7,11)，(7,11)，(8,10)，(8,11)，(8,11)，(10,8)，(10,8)，(10,10)，(10,11)，(10,11)，共10个所以这两名同学的植树总棵数大于17的概率为.1 三种抽样方法的异同点2 用样本估计总体(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.(2)众数、中位数及平均数的异同众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量(3)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布总体期望的估计，计算样本平均值xi.总体方差(标准差)的估计：s2 (xi)2，标准差s，方差(标准差)较小者较稳定.1 经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的学生比持“不喜欢”的学生多12人，按分层抽样的方法(抽样过程中不需要剔除个体)从全班选出部分学生进行关于摄影的座谈若抽样得出的9位同学中有5位持“喜欢”态度的同学，1位持“不喜欢”态度的同学和3位持“一般”态度的同学，则全班持“喜欢”态度的同学人数为_答案30解析由题意设全班学生为x人，持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”态度的学生分别占全班人数的、，所以x()12，解得x54，所以全班持“喜欢”态度的人数为54×30.2 某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如图的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为_答案71解析由频率分布直方图得每一组的频率依次为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05，又由频率分布直方图，得每一组数据的中点值依次为45,55,65,75,85,95.所以本次考试数学成绩的平均分为45×0.155×0.1565×0.1575×0.385×0.2595×0.0571.故填71.3 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率解(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm179 cm之间，而乙班身高集中于170 cm180 cm之间，因此乙班平均身高高于甲班，其中甲170，乙171.1.(2)甲班的样本方差为(158170)2(162170)2(163170)2(168170)2(168170)2(170170)2(171170)2(179170)2(179170)2(182170)257.2.(3)设身高为176 cm的同学被抽中的事件为A.从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：(181,173)、(181,176)、(181,178)、(181,179)、(179,173)、(179,176)、(179,178)、(178,173)、(178,176)、(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件，P(A).(推荐时间：45分钟)一、填空题1 要完成下列两项调查：从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取1 000根火腿肠进行“瘦肉精”检测；从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况适合采用的抽样方法依次为_，_.答案系统抽样简单随机抽样解析中总体容量较大，且火腿肠之间没有明显差异，故适合采用系统抽样；中总体容量偏小，故适合采用简单随机抽样2 (2012·四川改编)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为_答案808解析由题意知抽样比为，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12212543101，故有，解得N808.3 一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列an，若a38，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是_答案13,13解析设等差数列an的公差为d(d0)，a38，a1a7a64，(82d)(84d)64，(4d)(2d)8,2dd20，又d0，故d2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为13，中位数为13.4 将某班的60名学生编号为：01,02，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是_答案16,28,40,52解析依据系统抽样方法的定义知，将这60名学生依次按编号每12人作为一组，即0112、1324、4960，当第一组抽得的号码是04时，剩下的四个号码依次是16,28,40,52(即其余每一小组所抽出来的号码都是相应的组中的第四个号码)5 某校高三考生参加某高校自主招生面试时，五位评委给分如下：909.18.99.28.8则五位评委给分的方差为_答案0.02解析评委给分的平均数为×(9.09.18.99.28.8)9.0，方差为×(9.09.0)2(9.19.0)2(8.99.0)2(9.29.0)2(8.89.0)20.02.6 (2012·广东)由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_(从小到大排列)答案1,1,3,3解析假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，则又s1，(x12)2(x22)22.同理可求得(x32)2(x42)22.由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为圆(x2)2(y2)22上的点，分析知x1，x2，x3，x4应为1,1,3,3.7 某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是_答案1解析当x4时，91，x<4，91，x1.二、解答题8 (2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3位评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手从a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P.9 某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？(3)已知y245，z245，求初三年级中女生比男生多的概率解(1)0.19，x380.(2)初三年级人数为yz2 000(373377380370)500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为×50012(名)(3)设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生、男生数记为(y，z)，由(2)知yz500，且y，zN*，基本事件空间包含的基本事件有：(245,255)、(246,254)、(247,253)、(255,245)共11个，事件A包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5个P(A).12