2022年人教版九年级数学下册第二十七章-相似重点解析试卷(含答案详解).docx

人教版九年级数学下册第二十七章-相似重点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（）cmA26+26B2626C13+13D13132、如图的两个四边形相似，则a的度数是（ ）A120°B87°C75°D60°3、在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C的坐标为（）A（，1）B（2，4）C（，1）或（，1）D（2，4）或（2，4）4、如图，是的重心，过的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与的顶点重合），分别表示四边形和的面积，则的最大值是（ ）AB1CD5、已知，那么下列等式中正确的是（ ）ABCD6、如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数y（k0）的图象过点A并交AD于点G，连接DF若BE：AE1：2，AG：GD3：2，且FCD的面积为，则k的值是（）AB3CD57、若，相似比为，则与的对应角平分线的比为（ ）A1：2B1：4C1：3D1：98、如图，小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔，旗杆的顶端M，A共线，同时眼睛C与它们的底端N，B也恰好共线此时测得DB50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，则旗杆AB的高度为（ ）A15mBmCmD14m9、如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，EC分别交AD，BD于点F，G，若，则的值为（ ）ABC2D10、如图，在ABC中，AC=3，BC=6，D为BC边上的一点，且BAC=ADC若ADC的面积为a，则ABC的面积为()ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知1=2，若再增加一个条件就能使ABCADE，则这个条件可以是_（填一个即可）2、如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为_3、如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交和于点，求_4、如图，12，请添加一个条件_，使ADEACB5、已知，且3y2z6，则xy=_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，点P是正方形边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求2、小豪为了测量某塔高度，把镜子放在离塔（AB）50m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到塔尖A，再测得DE2.4m，小豪目高CD1.68m，求塔的高度AB3、在等边三角形ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DEBC交AC于点E，点F在BC边上，连接DF，EF（1）如图1，当DF是BDE的平分线时，若AE2，求EF的长；（2）如图2，当DFDE时，设AEa，则EF的长为 （用含a的式子表示）4、如图1，在ABC中，ABAC2，BAC120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE（1）探索发现：图1中，的值为 ，的值为 （2）拓展探究若将CDE绕点C旋转，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明（3）问题解决当CDE旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段BE的长5、定义：点P与图形W上各点连接的所有线段中，若线段PA1最短，则线段PA1的长度称为点P到图形W的距离，记为d（P，图形W）例如，在图1中PA13，则d（P，图形W）3特别地，点P在图形W上，则点P到图形的距离为0，即d（P，图形W）0（1）概念理解：如图2，在直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限，且AOB60°若M（0，2），N（1，0），则d（M，AOB） ，d（N，AOB） 若点P是O内一点，O的半径是5，OP3，则d（P，O） （2）灵活运用：如图3，已知点A（4，4），B（7，8）点P是y轴上的一动点当d（P，射线AB）6时，求点P的坐标；（3）深入思考：如图4，边长为1的正方形ABCD，绕其顶点A（1，0）顺时针旋转，点P（m1，2m6）是平面内一点在正方形旋转过程中，记d（P，正方形ABCD）的最大值、最小值分别为：d1、d2，则d1+d2 -参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据一种数学课本的宽与长之比为黄金比，即可得到宽：长，由此求解即可【详解】解：一种数学课本的宽与长之比为黄金比，宽：长，长是26cm，宽，故选D【点睛】本题主要考查了黄金比，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例2、B【解析】【分析】根据相似多边形的性质，可得 ，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解【详解】解：如图，两个四边形相似， ，两个四边形相似，且四边形的内角和等于360°， 故选：B【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解题的关键3、D【解析】【分析】直接利用位似图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，进而得出答案【详解】解：以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，C（-1，2）， 点C对应点的坐标为（-1×2，2×2）或，即（-2，4）或（2，-4）， 故选D【点睛】本题考查了位似图形的性质，掌握“位似图形对应点坐标变化规律是解本题关键” 4、A【解析】【分析】根据是的重心可得，过O作MNBC交AN于N，交AC于M，过M作MEAB交GH于E，易证OM=ON，设，分别表示出四边形和的面积即可【详解】过O作MNBC交AN于N，交AC于M，过M作MEAB交GH于E是的重心，D是BC中点BD=CD，MNBC,MEAB设x为定值当y越小时值越大当时最大，此时GHBC故选:A【点睛】题是几何综合题，以三角形的重心为背景，考查了重心的概念、性质以及应用，考查了相似三角形的性质知识点解题的关键是表示出5、C【解析】【分析】由题意设 则 再逐一代入各选项进行计算与检验即可得到答案.【详解】解： ，设 则 故A不符合题意；故B不符合题意；故C符合题意；则故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“设参数的方法解决比例问题”是解本题的关键.6、B【解析】【分析】过点A作AMx轴于点M，GNx轴于点N，设点 ，则AM=b，OM=a，可得DGNDAM， ，再由BE：AE1：2，AG：GD3：2，可得到， ，从而得到 ，进而得到 ，继而，再由平行四边形的性质，可得BOFDNG，从而得到 ，再由，即可求解【详解】解：如图，过点A作AMx轴于点M，GNx轴于点N，设点 ，则AM=b，OM=a，AMNG，AMy轴，DGNDAM， ， ，BE：AE1：2，AG：GD3：2， ， ， ， ，点A、G在反比例函数y（k0）的图象上， ， ， ， ， ，四边形ABCD是平行四边形，OBF=GDN，BOF=GND=90°，BOFDNG， ，即， ， ， ，解得： ， 故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键7、C【解析】【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答【详解】两个三角形的相似比为，这两个三角形对应角平分线的比为故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，比较简单8、C【解析】【分析】利用相似三角形对应边的比等于对应高的比，过作于,交于，先证四边形是矩形，再明，得出，从而求出【详解】解：过作于,交于，根据题意 ，四边形是矩形，又，CMN=A，CNM=CBA，故选择C【点睛】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，三角形相似判定与性质，掌握相似三角形的应用于测量的方法，矩形的判定与性质，三角形相似判定与性质是解题关键9、B【解析】【分析】由矩形可证得，则，设AB=AF=CD=x ，AE=AD=y，即可求得的值【详解】四边形ABCD是矩形DCE=AEC，CDA=EAD设AB=AF=CD=x ，AE=AD=y，则有给方程两边同时除以，令为t则有解得，（舍去）则t=则=故答案选：B【点睛】本题考查了相似三角形性质及判定，将表示为是解题的关键10、A【解析】【分析】证得ABCDAC后由面积比为相似比的平方即可求得ABC的面积【详解】BAC=ADC，C=CABCDAC又AC=3，BC=6AC：BC=1：2ABCDAC相似比为2：1则ABCDAC面积比为4：1DAC的面积为aABC的面积为4a故选：A【点睛】本题考查了相似三角形判断及性质，相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方二、填空题1、B=D 或C=AED或 =（答其中一个即可）【解析】【分析】要使ABCADE，在这两三角形中，由1=2可知BAC=DAE，还需的条件可以是B=D或C=AED或 =【详解】解：这个条件为：B=D1=2，BAC=DAEB=D，ABCADE（或C=AED或 =也可）【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键2、15cm【解析】【分析】根据相似多边形的性质求解即可【详解】解：四边形ABCD与另一个四边形相似，设另一个四边形的最短边的长度为x，解得：这个四边形的最短边的长度为15cm故答案为：15cm【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质相似多边形的对应边成比例，对应角相等3、【解析】【分析】由题意根据ABCD、ACDE，可得出PCQPAB，PCQRDQ，PABRDQ，进而根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系【详解】解：四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，BC=AD=CE，ACDE，BC：CE=BP：PR，BP=PR，PC是BER的中位线，BP=PR，又PCDR，PCQRDQ又点R是DE中点，DR=RE, ，QR=2PQ又BP=PR=PQ+QR=3PQ，BP：PQ：QR=3：1：2故答案为：3：1：2【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，注意掌握如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似4、D=C（答案不唯一）【解析】【分析】先根据12求出BACDAE，再根据相似三角形的判定方法解答【详解】解：12，1BAE2BAE，即DAECAB，ADEACB所以，添加的条件为D=C故答案为：D=C（答案不唯一）【点睛】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角DAECAB是确定其他条件的关键5、60【解析】【分析】由题意，把比例化简得到，然后结合3y2z6，先求出，然后求出x、y，即可得到答案【详解】解：，；故答案为：60【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质进行化简是解题的关键三、解答题1、（1）32°；（2）；（3）APAB=12【解析】【分析】（1）根据ADP与EPB都是APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；（2）首先证得PADEQP，可以证得BEQ是等腰直角三角形，可以证得EBQ=45°，即可证得CBE=45°；（3）先由PFDBFP，得出PDBF=PBPF，再判断出DAPPBF，得出PDBF=APPF，进而得出PA=PB，即可得出AB=2PA，即可得出结论【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形A=PBC=90°，AB=AD，ADP+APD=90°，DPE=90°，APD+EPB=90°，ADP=FPB=32°；（2）解：过点E作EQAB交AB的延长线于点Q，则EQP=A=90°，在PAD与EQP中，AEQPADPEPBPDPE，PADEQP（AAS），EQ=AP=3，AD=AB=PQ，AP=EQ=BQ，CBE=EBQ=45°；BE=2EQ=6（3）PFDBFP，PBBF=PDPF，PDBF=PBPF，ADP=EPB，CBP=A=90°，DAPPBFPDPF=PABF，PDBF=APPF，PBPF=APPF，PA=PB，AB=PA+PB=2PA，APAB=12【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出PA=PB是解本题的关键2、35m【解析】【分析】根据题意得：ABE=CDE=90°，BE=50m BE=50m，由光的反射定律得：AEB=CED，从而得到ABECDE，再由相似三角形的性质，即可求解【详解】解：根据题意得：ABE=CDE=90°， BE=50m，由光的反射定律得：AEB=CED，ABECDE，ABCD=BEDE ，AB1.68=502.4 ，解得：AB=35m ，即塔的高度为35m 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，明确题意，准确得到相似三角形是解题的关键3、（1）EF=2（2）【解析】【分析】（1）根据DEBC证明ADE是等边三角形，再根据D是AB中点，可证明BFD是等边三角形，在证明DEF是等边三角形，从而求得EF=2,（2）过点A作AM垂直BC于点M，可证DBFABM,由相似可求出DF=，在利用勾股定理即可求出EF【详解】解：（1）ABC是等边三角形，A=B=C=60°，DEBC，ADE=ABC=60°，A=ADE=60°，ADE是等边三角形，AD=DE=2,D是AB中点，BD=AD=2，DF平分BDE，BDF=EDF=BDE=（180°-60°）=60°，又B=60°，BFD是等边三角形，DF=BD=2,DF=DE=2,EDF=60°，DEF是等边三角形，EF=DE=DF=2;（2）过点A作AM垂直BC于点M，DEBC，DFDE，BFD=FDE=90°，DFB=AMB=90°，又B=B，DBFABM,D为AB中点，,DF=AM，AM是等边三角形BC边上的高，M是BC的中点， BM=BC=a，AM=，DF=AM=，在中，EF=【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，三角形的相似和勾股定理，熟练掌握三角形的相似是解决本题的关键4、（1），；（2）无变化，理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质、勾股定理可得，然后根据线段中点的定义即可得；（2）先求出，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，最后根据相似三角形的性质即可得出结论；（3）分绕点逆时针旋转，绕点逆时针旋转两种情况，分别根据线段的和差即可得【详解】解：（1）如图，连接，点分别是的中点，故答案为：，；（2）无变化，理由如下：由（1）知，由旋转的性质得：，即，在和中，即的大小不变；（3）由题意，分以下两种情况：如图，当绕点逆时针旋转时，三点共线，由（1）知，则；如图，当绕点逆时针旋转时，三点共线，由（1）知，综上，线段的长为或【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确找出两个相似三角形是解题关键5、（1）1，1；2；（2）P（0，42）或（0，）；（3）【解析】【分析】（1）求点M到OB的垂线段的长；根据“点P到图形W的距离”的定义求解即可；（2）圆内一点到圆上最小距离是，这点与圆心的形成的半径减去这点与圆心的距离；（2）作BCAD于C，分为点P在CD的下方时和P在CD上方时两种情形，当点P在CD的下方时，由d（P，射线AB）=PA=6，根据勾股定理求得DP，进而求得点P坐标，当P在CD上方时，作AEAB交y轴于E，先证明ADEBCA，作PHAB，证明PGHEDA，进一步求得P点坐标【详解】解：（1）如图1，作MPOB于P，OPM90°，OM2，POM90°AOB30°，PM，d（M，AOB）1，ON1，d（N，AOB）1，故答案是：1，1；如图2，PQOQOP2，d（P，O）2，故答案是：2；（2）如图3，点A（4，4），B（7，8），AB5，设直线AB的解析式是 把A（4，4），B（7，8）代入，得 直线AB的解析式是：，作BCAD于C，当点P在CD的下方时，d（P，射线AB）PA6，DP2，OPPDOD24，P（0，42），当P在CD上方时，作AEAB交y轴于E，EABADEC90°，EAD+BAC90°，DEA+DAE90°，AEDBAC，BCAD4，ADEBCA（AAS），AEAB5，DEAC3，作PHAB于H，作HGOD于G，PHAE，GPHAED，PGHEDA， ，PG，GH，当x时，y，OG，OPOG+PG，P（0，），综上所述：P（0，42）或（0，）；（3）如图4，令xm1，y2m6，y2x4，记作直线MN，其中M（2，0），N（0，4），MN2，以A为圆心，AC长为半径作圆A，作AHNM于H，直线AH交圆O于E和F，AD1，ACAMHOMN，AHMMON90°，AHMNOM，AH，EHAHAE，FHAF+AH，d1FH，d2EH，d1+d2，故答案是：【点睛】本题在理解的基础上，转化运用了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数及其图象性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理解题意，转化题意，熟练运用有关基本知识