2022年精品解析北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系必考点解析试题(含答案解析).docx

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系必考点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的正弦值是（ ）A2BCD2、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则（ ）ABCD3、如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点相距30米的点处，测得楼顶点的仰角，则这幢大楼的高度为（ ）A米B米C米D米4、如图，在ABC中，C=90°，ABC=30°，D是AC的中点，则tanDBC的值是（ ）ABCD5、一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（ ）A30°BCD6、在中，那么的值等于（ ）ABCD7、如图，飞机于空中A处测得目标B处的俯角为，此时飞机的高度AC为a，则A，B的距离为（ ）AatanBCDcos8、如果直线 与 轴正半轴的夹角为锐角 , 那么下列各式正确的是（ ）ABCD9、如图，正方形ABCD中，AB6，E为AB的中点，将ADE沿DE翻折得到FDE，延长EF交BC于G，FHBC，垂足为H，连接BF、DG以下结论：BFED；DFGDCG；FHBEAD；tanGEB；其中正确的个数是（ ）A4B3C2D110、学习了三角函数的相关知识后，小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度如图，小丽先在坡角为的斜坡上的点A处，测得树尖E的仰角为，然后沿斜坡走了10米到达坡脚B处，又在水平路面上行走20米到达大树所在的斜坡坡脚C处，大树所在斜坡的坡度，且大树与坡脚的距离为15米，则大树的高度约为（ ）（参考数据：结果精确到0.1）A10.9米B11.0米C6.9米D7.0米第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在RtBAC中，点是边的中点，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，连接，若，则点到边的距离为_2、在中，则_3、_4、如图, 小明沿着坡度 的坡面由 到 直行走了 13 米时, 他上升的高度 _米5、如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值叫做这条边所对角的准对（记作qad）如图1，在ABC中，AHBC于点H，则qadBAC当qadBAC时，则称BAC为这个三角形的“金角”已知在矩形ABCD中，AB3，BC6，ACE的“金角”EAC所对的边CE在BC边上，将ACE绕点C按顺时针方向旋转（0°90°）得到A'CE'，A'C交AD边于点F（1）如图2，当45°时，求证：ACF是“金角”（2）如图3，当点E'落在AD边上时，求qadAFC的值2、（1）解方程： （2）解方程：（用公式法）（3）计算： （4）计算：3、如图，在平面直角坐标系中，直线ykx3k交x轴于点B，交y轴于点A，tanABO2（1）求k的值；（2）点G为线段AB上一点，过点G作CGAB交y轴正半轴于点C，若点G的横坐标为t，线段OC的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，延长GC交x轴于点D，连接BC，在BC上截取BHOC，F为第一象限内一点，且FBx轴，连接FH，点E在第三象限，连接AE、BE、DE，若CBO2FHB，AEB+OBC90°，且BF，DE，求点E坐标4、计算：5、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，与BD交O一点，直线EF过点O分别交直线AB，CD，BC于E，F，H（1）求证：BOEDOF；（2）若OC2HCBC，OC：BH3，求sinBAC；（3）在AOF中，若AF8，AOOF4，求平行四边形ABCD的面积-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据网格的特点，勾股定理求得的长，进而根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，进而根据正弦的定义求解即可【详解】解：是直角三角形，且是斜边故选C【点睛】本题考查了网格中勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，正弦的定义，证明是直角三角形是解题的关键2、D【分析】根据题意和图形，可以得到AC、BC和AB的长，然后根据等面积法可以求得CD的长，从而可以得到的值【详解】解：作CDAB，交AB于点D，由图可得，AC，BC2，AB，解得，CD，sinBAC，故选：D【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答3、C【分析】利用在RtABO中，tanBAO即可解决【详解】：解：如图，在RtABO中，AOB90°，A65°，AO30m，tan65°，BO30tan65°米故选：C【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知正切函数为对边比邻边4、D【分析】根据正切的定义以及，设，则，结合题意求得,进而即可求得【详解】解：在ABC中，C=90°，ABC=30°，设，则， D是AC的中点，故选D【点睛】本题考查了正切的定义，特殊角的三角函数值，掌握正切的定义是解题的关键5、B【分析】画出对应图形，根据题意即勾股定理求出水平距离的长度，利用坡度等于铅直距离与水平距离之比，求出坡度即可【详解】解：如下图所示：由题意即图可知：，在中，由勾股定理可得：，坡度为：故选：B【点睛】本题主要是考查了坡度的定义以及勾股定理，熟练掌握坡度的定义，是求解该类问题的关键6、A【分析】根据三角函数的比值即可得出答案【详解】如图，故选：A【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握三角函数的比值是解题的关键7、C【分析】根据题意可知，根据，即可求得【详解】解：飞机于空中A处测得目标B处的俯角为，AC为a，故选C【点睛】本题考查了正弦的应用，俯角的意义，掌握正弦的概念是解题的关键8、D【分析】在直线y=2x上任取一点P (a，2a)，过点P作x轴的垂线，垂足为点B，则可求得的正余弦、正余切值，从而可得答案【详解】如图，在直线y=2x上任取一点P (a，2a)，过点P作x轴的垂线，垂足为点B则OB=|a|，PB=2|a|由勾股定理得：在直角POB中，故选项D正确故选：D【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，锐角三角函数，关键是画出图形，并在直线任取一点，作x轴的垂线得到直角三角形9、A【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可【详解】解：正方形ABCD中，AB=6，E为AB的中点AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，A=C=ABC=90°ADE沿DE翻折得到FDEAED=FED，AD=FD=6，AE=EF=3，A=DFE=90°，BE=EF=3，DFG=C=90°，EBF=EFB，AED+FED=EBF+EFB，DEF=EFB，BFED，故结论正确；AD=DF=DC=6，DFG=C=90°，DG=DG，RtDFGRtDCG，结论正确；FHBC，ABC=90°ABFH，FHB=A=90°EBF=BFH=AED，FHBEAD，结论正确；RtDFGRtDCG，FG=CG，设FG=CG=x，则BG=6-x，EG=3+x，在RtBEG中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2，解得：x=2，BG=4，tanGEB=，故结论正确故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强10、D【分析】过点A作AGED交ED延长线于点G，过点A作AFCB，交CB的延长线于点F，延长BC交ED的延长线于点H，可知四边形AFHG为矩形，解直角三角形ABF得AF=5，BF=，解直角三角形CDH得DH=9，CH=12，从而得到AG，再通过解直角三角形AGE求得EG的长，进一步得出结论【详解】解：过点A作AGED交ED延长线于点G，过点A作AFCB，交CB的延长线于点F，延长BC交ED的延长线于点H，如图，则四边形AFHG为矩形，AG=FH，GH=AF在RtABF中， 在RtCHD中， 可设， 由勾股定理得， 解得， 在RtAGE中， 故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键二、填空题1、【分析】如图所示，过点E作EHAC于D，由翻折的性质可得，AE=EG，AD=DG，EAD=DGE=45°，ADE=GDE，则AH=EH，设，则，利用勾股定理先求出，根据，即可得到，求出，从而求出，证明DGC=DCG，求出，得到，过点D作DMBC于M，过点G作GNBC于N，则，证明GDE=DGC，得到DEGC，则DEC=GCE，再由，推出，设，则，由，得到，由此求解即可【详解】解：如图所示，过点E作EHAC于D，由翻折的性质可得，AE=EG，AD=DG，EAD=DGE=45°，ADE=GDE，AEH=45°，AH=EH，设，则，在直角ABC中，由勾股定理得，解得，D是AC的中点， ，DGC=DCG，过点D作DMBC于M，过点G作GNBC于N，DGC+DCG+CDG=180°，ADE+GDE+CDG=180°，GDE=DGC，DEGC，DEC=GCE，设，则，解得或，当时，不符合题意，即点G到BC的距离为，故答案为：【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，折叠的性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解2、30°【分析】根据正切定义，先求出，再求出的度数即可【详解】解：在中， ， ，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形两锐角之间、三边之间和边角之间的关系是解题的关键3、【分析】根据特殊角的三角函数值代入计算求解即可【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，以及实数的混合运算法则是解题关键4、【分析】根据坡度的定义求得，即可求得的长【详解】解：设，则根据勾股定理可得故答案为：5【点睛】考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度÷水平宽度是解题的关键。5、【分析】利用网格构造直角三角形，再找到对应的直角边长，最后根据三角函数的意义求解即可【详解】解：如图，过点B作BDAC的延长线于点D，在中，BD=5，AD=6，故答案为：【点睛】此题考查了求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键三、解答题1、（1）见解析（2）【分析】（1）过点作于点，解直角三角形求得，进而证明,根据“金角”的定义即可证明当45°时，ACF是“金角”（2）过点作于点，证明，可得，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得，进而根据定义即可求得答案【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，ACE的“金角”EAC所对的边CE在BC边上， ，BC6，将ACE绕点C按顺时针方向旋转45°得到A'CE'，即如图，过点作于点， 在中，,又设，则在中，在中，四边形是平行四边形当45°时，ACF是“金角”（2）如图，过点作于点由（1）可知，则由旋转的性质可得，在中，则在中在等腰直角三角形中，设，则，在中，即解得（舍）则【点睛】本题考查了“准对”，三角形的“金角”的定义，解直角三角形，相似三角形的性质，矩形的性质，旋转的性质，理解新定义是解题的关键2、（1）x11，x23；（2）x1，x2；（3）；（4）【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用公式法解方程即可；（3）求出特殊角三角函数值，再计算即可；（4）先计算负指数、特殊角三角函数值、0指数和绝对值，再计算即可【详解】解：（1）解方程：， ，x11，x23；（2）解方程：（用公式法），方程有两个不相等的实数根，x1，x2；（3）计算： = ，=；（4）计算：，=，=【点睛】本题考查了解一元二次方程和实数的运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值，熟练运用不同方法解一元二次方程3、（1）k=-2；（2）d=6-，（3）点E（）【分析】（1）先求出直线ykx3k交x轴于点B（3，0），OB=3，根据三角函数求出tanABO2=，点A（0，6）利用待定系数法求即可；（2）过G作GLx轴于L，根据点G的横坐标为t，得出OL=t，BL=3-t，利用三角函数求出GL=6-2t，根据勾股定理AB=，GB=，利用线段差求出GA=AB-GB=，再求出cosOAB=，得出AC=即可；（3）作OBC的平分线交y轴于T，过O作OQBT交BC与Q，交BT于V，过B作BSAE于S，过E作EJx轴于点J，根据角平分线可得OBT=CBT=，根据CBO2FHB，得出OBT=CBT=，先证OCQHBF（ASA），得出CQ=BF=，再证OBVQBV（ASA），得出OB=QB=3，可求BC=CQ+BQ=，利用勾股定理在RtCOB中，OC=，求出d=，可证AC=OA-OC=6-=BC，再证CG为AB的垂直平分线，可证ASB为等腰直角三角形，求出SB=ABcos45°，再证EBSCBO，可求，可求OD=2OC=， 设OJ=m，JD=OD-OJ=，BJ=3+m，根据勾股定理JE2=即解得, 即可【详解】解：（1）直线ykx3k交x轴于点B，当y=0时，x=3，点B（3，0），OB=3，tanABO2=，OA=6，点A（0，6），点A在直线ykx3k上，3k=6，k=-2；（2）过G作GLx轴于L，点G的横坐标为t，OL=t，BL=3-t，tanABO2=，GL=6-2t，在RtAOB中AB=，在RtGLB中GB=，GA=AB-GB=，cosOAB=，cosOAB=cosGAC=，AC=，CO=OA-AC=6-，d=6-，d=6-，（）；（3）作OBC的平分线交y轴于T，过O作OQBT交BC与Q，交BT于V，过B作BSAE于S，过E作EJx轴于点J，OBT=CBT=，CBO2FHB，OBT=CBT=，BFx轴，BFy轴，OCQ=FBH，BQBT，COQ+QOB=90°，QOB+EBO=90°，COQ=TBO=FHB，在OCQ和HBF中，OCQHBF（ASA），CQ=BF=，在OBV和QBV中，OBVQBV（ASA），OB=QB=3，BC=CQ+BQ=，在RtCOB中，OC=，d=，AC=OA-OC=6-=BC，CGAB，CG为AB的垂直平分线，点S在CG上，SA=SB，BSAE，ASB为等腰直角三角形，SB=ABcos45°，AEB+OBC90°，OCB+OBC=90°，AEB=OCB，BSAE，ESB=COB=90°，EBSCBO，即，tanDCO=tanABO=，OD=2OC=，DB=OD+OB=，设OJ=m，JD=OD-OJ=，BJ=3+m，根据勾股定理JE2=即，解得，JE2=，解得，点E（）【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，锐角三角函数值，勾股定理，角平分定义，三角形完全判定与性质，三角形相似判定与性质，等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，根据勾股定理列拓展一元一次方程，完全平方公式，本题难度大，涉及知识多，图形复杂，需滤清思路，利用辅助作出准确图形是解题关键4、3【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值化简，再合并，即可求解【详解】解： 【点睛】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值等知识，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值是解题的关键5、（1）证明见解析；（2）；（3）80【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据菱形的判定证出平行四边形是菱形，再根据菱形的性质可得，然后设，从而可得，代入解一元二次方程可得，由此可得，最后在中，利用正弦三角函数的定义即可得；（3）先根据平行四边形的判定证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定证出平行四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理可得，设，从而可得，在中，利用勾股定理可得，最后利用平行四边形的面积公式即可得【详解】证明：（1）四边形是平行四边形，在和中，；（2），平分，平行四边形是菱形，设可得，由得：，解得或（不符题意，舍去），在中，；（3）由（1）已证：，即，又，即，四边形是平行四边形，平行四边形是矩形，设，则，在中，即，解得，即，则平行四边形的面积为【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、一元二次方程的应用、正弦三角函数等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键