2021-2022学年度北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明难点解析练习题(含详解).docx

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若以下列各组数值作为三角形的三边长，则不能围成直角三角形的是（ ）A4、6、8B3、4、5C5、12、13D1、3、2、如图，在ABC中，BAC45°，E是AC中点，连接BE，CDBE于点F，CDBE若AD，则BD的长为（）A2B2C2D33、如图，RtABC中，C90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BEBD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G若CG1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A无法确定BC1D24、下列命题是假命题的是（ ）A对顶角相等B直角三角形两锐角互余C同位角相等D全等三角形对应角相等5、如图，在ABC中，AB=AC，BAC=120°，D是BC的中点，连结AD，AE是BAD的平分线，DFAB交AE的延长线于点F，若EF=3，则AE的长是（ ）A3B6C9D126、如图，在ABC中， ABC和ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作ODAC于D，下列四个结论：EF=BE+CF； ；点O到ABC各边的距离相等；设OD=m， ，则SAEF=mn其中正确的结论个数是（ ）A1个B2个C3个D4个7、如图所示，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接以下四个结论：；是等边三角形其中正确的是（ ）ABCD8、下列说法正确的是（ ）A三角形内部到三边距离相等的点是三边垂直平分线的交点B三条线段a、b、c，如果，则以这三条线段为边能够组成三角形C如果两个三角形有两边和其中一边上高分别相等，那么这两个三角形全等D若两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等9、如图，在ABC中，是的垂直平分线，则的周长为13cm，则ABC的周长是（ ）A16cmB17cmC18cmD19cm10、ABC中，A,B,C所对的边分别是a,b,c下列条件中不能说明ABC是直角三角形的是（ ）Ab2- c2=a2Ba:b:c= 5:12:13CA:B:C = 3:4:5DC =A -B第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，RtABC中，C，AC6，BC8，AB10，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则APC周长的最小值为_2、已知：如图，在ABC中，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，如果，那么_3、小华的作业中有一道数学题：“如图，AC，BD在AB的同侧，BD4，AB4，AC=1，CED=120°，点E是AB的中点，求CD的最大值”哥哥看见了，提示他将ACE和BDE分别沿CE，连接AB最后小华求解正确，得到CD的最大值是 _4、如图，P是OA上一点，P与关于OB对称，作于点M，则_5、如图，ABC中，A68°，点D是BC上一点，BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，则EDF_度三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，ABC中，ABC45°，F是高AD和高BE的交点，AC，BD2求线段DF的长度 2、教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容请根据教材中的分析（1）结合图，写出“线段的垂直平分线质定理”完整的证明过程（2）定理应用：如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M连接MB，若AB=8cm，MBC的周长是14cm求BC的长；点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，由P，B，C构成的PBC的周长是否存在最小值?若存在，标出点P的位置，并求PBC的周长最小值；若不存在，说明理由3、下面是小军设计的“过线段端点作这条线段的垂线”的尺规作图过程已知：线段AB求作：AB的垂线，使它经过点A作法：如图，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交线段BA的延长线于点C； 分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于直线BC上方的点D；作直线AD所以直线AD就是所求作的垂线根据小军设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接CD，BDBD= ，AB= ，ADAB（ ）（填推理的依据）4、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点B，C在x轴上，B-4,0，OA=OB，ACO=30°（1）求线段AC的长；（2）点P从C点出发沿射线CA以每秒2个单位长度的速度运动，过点A作AFAP，点F在y轴的左侧，AF=AP，过点F作FEy轴，垂足为E，设点P的运动时间为t秒，请用含t的式子表示EF的长；（3）在（2）的条件下，直线BP交y轴于点K，C43,0，当BK=AC时，求t的值，并求出点P的坐标5、设两个点A、B的坐标分别为，则线段AB的长度为：举例如下：A、B两点的坐标是，则A、B两点之间的距离请利用上述知识解决下列问题：（1）若，且，求x的值；（2）已知ABC，点A为、点B为、点C为，求ABC的面积；（3）求代数式的最小值-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形如果没有这种关系，这个就不是直角三角形【详解】解：A、42+6282，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；D、12+32=，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意故选：A【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断2、B【分析】过点C作CNAB于点N，连接ED，EN，利用SAS证明DCEBEN，可得EDNB，CEDENB135°，得ADE是等腰直角三角形，可得ADDNBN，进而可得结果【详解】解：如图，过点C作CNAB于点N，连接EN，CNA90°，BAC45°，NCAA45°，ANCN，点E是AC的中点，ANECNE45°，CENAEN90°，CEF+FEN90°，CDBE，CFE90°，CEF+FCE90°，DCEBEN，在DCE和BEN中，DCEBEN（SAS），EDNB，CEDENB135°，AED45°AACN，ADDE，AECE，AE=EN，ADDN，ADDNBN，BD2AD2故选B【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形求解3、C【分析】如图，过点G作GHAB于H根据角平分线的性质定理证明GHGC1，利用垂线段最短即可解决问题【详解】解：如图，过点G作GHAB于H由作图可知，GB平分ABC，GHBA，GCBC，GHGC1，根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，故选：C【点睛】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理，尺规作图作角平分线，掌握角平分线的性质是解题的关键4、C【分析】根据对顶角的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质逐项判断即可得【详解】解：A、对顶角相等，则此项命题是真命题；B、直角三角形两锐角互余，则此项命题是真命题；C、两直线平行，同位角相等，则此项命题是假命题；D、全等三角形对应角相等，则此项命题是真命题；故选：C【点睛】本题考查了对顶角、直角三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质、命题，熟练掌握各性质是解题关键5、B【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据角平分线，求出，然后根据平行线的性质求出，从而得到，最后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半即可解答【详解】解：，AD是的中线，AE是的角平分线， 在中，故选B【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，利用数形结合的思想是解题关键6、C【分析】根据ABC和ACB的平分线相交于点O和三角形的内角和等于180°，可得；再由ABC和ACB的平分线相交于点O和EFBC，可得EOB=OBE，FOC=OCF，从而得到BE=OE，CF=OF，进而得到；过点O作OMAB于M，作ONBC于N，连接OA，根据角平分线的性质定理，可得点到各边的距离相等；又由AE+AF=n，可得SAEF=SAOE+SAOF=mn，即可求解【详解】解：在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，OBC=ABC，OCB=ACB，ABC+ACB=180°-A，OBC+OCB=（ABC+ACB）=90°-ABOC=180°-（OBC+OCB）=90°+A，故正确；在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，OBC=OBE，OCB=OCF，EFBC，OBC=EOB，OCB=FOC，EOB=OBE，FOC=OCF，BE=OE，CF=OF，EF=OE+OF=BE+CF，故正确；过点O作OMAB于M，作ONBC于N，连接OA，又在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，ON=OD=OM=m，即点O到ABC各边的距离相等，故正确；AE+AF=n，SAEF=SAOE+SAOF=AE×OM+AF×OD=OD×（AE+AF）=mn，故错误；综上所述，正确的结论有3个故选：C【点睛】本题主要考查了角平分线性质定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键7、A【分析】由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后运用排除法，对各个结论进行验证从而确定最后的答案【详解】解：和是正三角形，故正确，故正确；，故正确；，是等边三角形，故正确；故选：A【点睛】此题主要考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理8、D【分析】根据角平分线、三角形三边关系的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，全等三角形的判定性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案【详解】三角形内部到三边距离相等的点是三条角平分线的交点，故选项A错误；三条线段a、b、c，如果，同时，则以这三条线段为边能够组成三角形，故选项B错误；如果两个三角形有两边和其中一边上高分别相等，两条边的夹角不一定相等，不能确定两个三角形全等，故选项C错误；若两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，故选项D正确；故选：D【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线、三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形角平分线、三角形三边关系、全等三角形的性质，从而完成求解9、D【分析】根据题意，得AB+BD+AD= AB+BD+DC=AB+BC=13，AC=2AE=6，从而得到AB+AC+BC=19【详解】是的垂直平分线，AE=EC=3，AD=DC，AC=2AE=6，的周长为13cm，AB+BD+AD= AB+BD+DC=AB+BC=13（cm），AB+AC+BC=19（cm）故选D【点睛】本题考查了线段的垂直平分线性质，等量代换，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键10、C【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可【详解】A. b2- c2=a2，根据勾股定理逆定理可以判断，ABC是直角三角形，故不符合题意；B. a:b:c= 5:12:13，设，则，则，根据勾股定理逆定理可以判断，ABC是直角三角形，故不符合题意；C. A:B:C = 3:4:5，设A、B、C分别是，则，则，所以ABC是不直角三角形，故符合题意； D. C =A -B，又A+B+C=180°，则A=90°，是直角三角形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了直角三角形的判定，涉及了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断二、填空题1、14【分析】由图形可得：APC周长，因为AC3，所以求出的最小值即可求出APC周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，的值最小，即可得到结论【详解】解：如图所示，连接AE，BP，直线EF垂直平分AB，A，B关于直线EF对称，在PCB中，当P和E重合时，C、P、B三点共线，此时，的值最小，最小值等于BC的长，周长的最小值，故答案为：14【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置2、32°32度【分析】先根据等腰三角形的性质求出ABCACB，再根据线段垂直平分线的性质求出A与ABE的关系，根据三角形内角和定理列方程解答即可【详解】解：ABC中，ABAC，ABCACB，DE是线段AB的垂直平分线，AABE，设Ax°，则ABCACBx°42°，AABCACB180°，即x°x°42°x°42°180°，解得，x32°故A32°故答案为：32°【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；可得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知识解答3、7【分析】由翻折的性质可证EB'A'是等边三角形，则A'B'A'E2，再根据CDA'C+A'B'+B'D，即可求出CD的最大值【详解】解：AB=4，点E为AB的中点，AE=BE=2，CED=120°，AEC+DEB=60°，将ACE和BDE分别沿CE，DE翻折得到ACE和BDE，A'C=AC=1，AE=A'E=2，AEC=CEA'，DB=DB'=4，BE=B'E=2，DEB=DEB'，A'EB'=60°，A'E=B'E=2，EB'A'是等边三角形，A'B'=A'E=2，当点C，点A'，点B'，点D四点共线时，CD有最大值=A'C+A'B'+B'D=7，故答案为：7【点睛】本题主要考查了翻折的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等性质，证明EB'A'是等边三角形是解题的关键4、2【分析】连接，根据对称的性质可得：，然后在中，利用角所对直角边是斜边的一半即可得【详解】解：连接，如图所示：P与关于OB对称，在中，故答案为：2【点睛】题目主要考查轴对称的性质，直角三角形中的性质等，理解题意，作出辅助线，结合这几个性质是解题关键5、68【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EBED，FDFC，则EDBB，FDCC，从而可以得到EDB+FDCB+C，再由EDF180°（EDB+FDC），A180°（B+C），即可得到EDFA68°【详解】解：BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，EBED，FDFC，EDBB，FDCC，EDB+FDCB+C，EDF180°（EDB+FDC），A180°（B+C），EDFA68°故答案为：68【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键三、解答题1、1【分析】由勾股定理可求CD1，由“AAS”可证BFDACD，可得CDDF1【详解】解：AD和BE是ABC的高，ADBADCBEC90°CDAC90°；CDBF90°DAC DBFABC45°，DAB45°ABCDABDADB 在ADC与BDF中，ADCBDF（ASA） ACBF在RtBDF中，BDF90°， BD2DF2BF2BD2，BF，DF1 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键2、（1）见解析；（2）6cm；存在，图见解析，14cm【分析】（1）根据，可得，从而证得ACPBCP，即可求证；（2）根据线段垂直平分线的性质定理，可得MB=MA，再由MBC的周长是14cm，可得AC+BC=14cm，即可求解；根据线段垂直平分线的性质定理，可得PB=PA，从而得到PB+CP=PA+PCAC，进而得到当点P与点M重合时，的值最小，即可求解【详解】（1）证明：，在ACP与BCP中，ACPBCP，PA=PB；（2）MN垂直平分ABMB=MA，又MBC的周长是14cm，AC+BC=14cm， AC=AB=8cm，BC=6cm如图，当点P与点M重合时，的值最小，MN垂直平分ABPB=PA，PB+CP=PA+PCAC，当点P与点M重合时，的值最小，为AC的长PBC的周长最小值是8+6=14cm【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题的关键3、（1）见解析（2）CD，AC，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合【分析】（1）根据作法补全图形即可；（2）根据圆的半径相等，等腰三角形的性质即可得到结论（1）解：补全的图形如图所示：（2）证明：连接CD，BDBD=CD，AB=AC ，ADAB（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）（填推理的依据）故答案为：CD，AC，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题4、（1）8，（2）见解析，（3）（，）或（，）；【分析】（1）根据30°角所对直角边等于斜边一半，求出OA长，即可求AC长；（2）作PGOA于G，证AFEPAG，得出，用含t的式子表示AG的长即可；（3）作PNOB于N，证RtBOKRtAOC，得出，求出AP的长即可求t的值，求出NP、ON的长即可求坐标【详解】解：（1），；（2）作PGOA于G，当点P在线段CA上时，CP=2t，AP=8-2t，AFEPAG，；当点P在线段CA延长线上时，CP=2t，AP=2t -8，同理可得AFEPAG，（3）作PNOB于N，如图，RtBOKRtAOC， ， ，此时，点P在线段CA延长线上，；，PNOB，点P的坐标为（，）如图，同理可知RtBOKRtAOC，同理可得，点P的坐标为（，）；综上，点P的坐标为（，）或（，）；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，解题关键是恰当作辅助线，通过证明三角形全等，得出线段之间的关系5、（1）或（2）ABC的面积为5（3）13【分析】（1）直接利用两点之间的距离公式计算即可；（2）利用两点之间的距离公式可求得AB、BC、AC的线段长度，利用勾股定理的逆定理可判断出ABC为直角三角形，然后利用直角三角形的面积计算公式计算即可；（3）所求代数式可以看成是点与点的距离和点与点的距离之和，最短为点与点的距离之和，依此求解（1）解：又，且，即或（2）解：，ABC为直角三角形，（3）解：该代数式可看成是点与点的距离和点与点的距离之和，当点在点与点连接的线段上时最短为，故的最小值为13【点睛】本题考查两点之间的距离，勾股定理和逆定理的应用，最短路线问题（1）中理解题意，正确计算是解题关键；（2）中能计算三条线段长度，并判断三角形为直角三角形是解题关键；（3）中需注意因为带着平方，所以点和点不是唯一的，但因为点的纵坐标为0，所以必须保证上述两点的纵坐标一正一负，点才有可能在它们连接后的线段上