2022年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数定向练习试卷(含答案解析).docx

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数定向练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是（ ）ABCD2、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为1：2的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的垂面距离为（）A4mB8mC2mD1m3、如图，建筑工地划出了三角形安全区，一人从点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距（ ）ABCD130m4、如图，中，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点若长为4，则线段长的最小值为（ ）ABCD5、若tanA=2，则A的度数估计在（ ）A在0°和30°之间B在30° 和45°之间C在45°和60°之间D在60°和90°之间6、在RtABC中，C90°，AC4，BC3，则下列选项正确的是（）AsinABcosACcosBDtanB7、如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为8 m，那么这两棵树在坡面上的距离AB为（ ）A8mB mC8sina mD m8、如图，在RtABC中，C90°，BC1，以下正确的是（ ）ABCD9、如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC，水平距离BC1，则斜坡AB的坡度为()ABC30°D60°10、如图，在小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图所示，草坪边上有互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得123，EQ16米，QK24米；从E点沿着小路m往上走，测得EP15米，BPm，则该圆的半径长为_米2、在ABC中，A，C都是锐角，cosA，sinC，则B_3、如图，ABC中点D为AB的中点，将ADC沿CD折叠至A'DC，若4A'CA'B，BC，cosA'BA，则点D到AC的距离是 _4、如图为折叠椅，图是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm，DOB100°，那么椅腿AB的长应设计为 _cm（结果精确到0.1cm，参考数据：sin50°cos40°0.77，sin40°cos50°0.64，tan40°0.84，tan50°1.19）5、_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图所示，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点、均在小正方形的顶点上（1）在方格纸中画出等腰，点在小正方形的顶点上，的面积为；（2）在方格纸中画出以为斜边的，点在小正方形顶点上，连接，并直接写出的长2、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点在第三象限的抛物线上，直线经过点、点，点的横坐标为（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，直线交轴于点，过点作轴，交轴于点，交抛物线于点，过点作，交直线于点，求线段的长；（3）在（2）的条件下，点在上，直线交于点，点在第二象限，连接交于点，连接，点在的延长线上，点在直线上，且点的横坐标为5，连接，求点的纵坐标 3、平面直角坐标系中，过点M的O交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点，交OM的反向延长线于点N（1）求经过A、N、B三点的抛物线的解析式（2）如图，点E为（1）中抛物线的顶点，连接EN，判断直线EN与O的位置关系，并说明理由（3）如图，连接MD、BD，过点D的直线交抛物线于点P，且，直接写出直线DP的解析式4、如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方求红蓝双方最初相距多远（结果不取近似值）5、（1）计算：tan45°+3tan30°cos60°（2）解方程：（x2）（x5）2-参考答案-一、单选题1、B【分析】先构造直角三角形，由求解即可得出答案【详解】A.，故此选项不符合题意；B.，故此选项符合题意；C.，故此选项不符合题意；D.，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握在直角三角形中，是解题的关键2、C【分析】根据坡度的概念求出AC，得到答案【详解】解：如图，AB的坡度为1：2，即，解得，AC=2，故选：C【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键3、B【分析】设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CFAD，CEAD，BEAG，则GACACFEBCBCF53°，在RtACF和RtBCE中，根据正切三角函数的定义得到，结合勾股定理可求得AF40，CFDE30，FDCE80，BE60，在RtABD中，根据勾股定理即可求得AB【详解】解：如图，设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CFAD，CEAD，BEAG，CEB90°，GACACFEBCBCF53°，AC50，BC100，四边形CEDF是矩形，DECF，DFCE，在RtACF中，tanACFtan53°，在RtBCE中，tanEBCtan53°，tan53°，AFCF，CEBE，在RtACF中，AF2+CF2AC2，CF2+（CF）2502，解得CFDE30，AF×3040，在RtBCE中，BE2+CE2BC2，BE2+（BE）21002，解得BE60，CEDF×6080，ADAF+DF120，BDBEDE30，在RtABD中，AD2+BD2AB2，AB30故选：B【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键4、D【分析】如图，连接 由为直径，证明在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接 交于点 则此时最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解，即可得到答案.【详解】解：如图，连接 由为直径， 在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接 交于点 则此时最小， ， 故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键.5、D【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.【详解】解：，.故选：D.【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握是解题的关键.6、B【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可【详解】解：由勾股定理得：，所以，即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误故选：B【点睛】本题主要是考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握每个锐角三角函数的定义，是求解该类问题的关键7、B【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB【详解】解：坡角为，相邻两树之间的水平距离为8米，两树在坡面上的距离（米）故选：B【点睛】此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力8、C【分析】根据勾股定理求出AB，三角函数的定义求相应锐角三角函数值即可判断【详解】解：在RtABC中，C90°，BC1，根据勾股定理AB=，cosA=，选项A不正确；sinA，选项B不正确；tanA，选项C正确；cosB，选项D不正确故选：C【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数定义是解题的关键9、A【分析】直接利用坡度的定义得出，斜坡AB的坡度为：，进而得出答案【详解】解：由题意可得：ACB90°，则斜坡AB的坡度为：，故选：A【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键10、A【分析】观察题目易知ABC为直角三角形，其中AC3，BC4，求出斜边AB，根据余弦的定义即可求出【详解】解：由题知ABC为直角三角形，其中AC3，BC4，AB=5，故选：A【点睛】本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键二、填空题1、#【解析】【分析】设圆心为，过点作，连接交于点，根据题意可证明四边形是矩形，进而求得,证明，根据求得，设的半径为,在中，勾股定理即可求解【详解】如图，设圆心为，过点作，连接交于点，根据题意在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，且12，23，三点共线四边形是矩形设的半径为,在中，则解得故答案为：【点睛】本题考查了两点确定一条直线，三角函数，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，等边对等角，理清各线段长，并添加辅助线是解题的关键2、60°#60度【解析】【分析】利用特殊角的锐角三角函数值先求解再利用三角形的内角和定理可得答案.【详解】解： A，C都是锐角，cosA，sinC， 故答案为：【点睛】本题考查的是已知锐角三角函数值求解锐角的大小，掌握“特殊角的锐角三角函数值”是解本题的关键.3、57373【解析】【分析】过点D作DFAC交CA的延长线于点F，过点B作BGA'C交CA延长线于点G，连接AA交CD于点E，设A'B=4m，则A'C=73m，将ADC沿CD折叠至ADC，由等边对等角可得A'AD=AA'D，CAE=CA'E，ABA'=BA'D，根据三角形内角和定理可得AA'B=BA'D+A'AD=90°，在直角三角形中利用锐角三角函数可得AB=213m，再由勾股定理可得AE=A'E=12AA'=3m，CD=CE+DE=10m，由相似三角形的判定及性质可得A'G=3273m，BG=1273m，再由勾股定理及求解方程可得：m=16，最后根据三角形等面积法进行求解即可得【详解】解：过点D作DFAC交CA的延长线于点F，过点B作BGA'C交CA延长线于点G，连接AA交CD于点E，4A'C=73A'B，设A'B=4m，则A'C=73m，将ADC沿CD折叠至ADC，AA'CD，AC=A'C=73m，AD=A'D，AE=A'E，A'AD=AA'D，CAE=CA'E，点D为AB中点，AD=BD，BD=A'D，ABA'=BA'D，ABA'+BA'D+AA'D+A'AD=180°，2BA'D+A'AD=180°，AA'B=BA'D+A'AD=90°，cosA'BA=A'BAB=4mAB=21313r，AB=213m，AD=BD=12AB=13m，AA'B=90°，AA'=AB2-A'B2=(213m)2-(4m)2=6m，AE=A'E=12AA'=3m，AA'CD，CE=AC2-AE2=(73m)2-(3m)2=8m，DE=AD2-AE2=(13m)2-(3m)2=2m，CD=CE+DE=10m，BGA'C，A'BG+BA'G=90°，AA'B=90°，CA'E+BA'G=90°，A'BG=CA'E，CA'E=CAE，A'BG=CAE，在A'GB与CEA中，A'BG=CAE，A'GB=CEA=90°，A'GBCEA，A'GCE=BGAE=A'BAC，A'G8m=BG3m=4m73m，A'G=3273m，BG=1273m，CG=A'G+A'C=3273m+73m=10573m，BGA'C，CG2+BG2=BC2，(10573m)2+(1273m)2=(1217)2，解得：m2=136，m=16，AA'CD，DFAC，SACD=12×CD×AE=12×AC×DF，DF=CD×AEAC=10m×3m73m=57373，点D到AC的距离为57373，故答案为：57373【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质、利用锐角三角函数解三角形、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用各个知识点是解题关键4、【解析】【分析】连接BD，过点O作OHBD于点H，从而得到OB=OD，进而得到BOH=50°，在中，可求出OB，即可求解【详解】解：如图，连接BD，过点O作OHBD于点H，AB=CD，点O是AB、CD的中点，OB=OD，DOB100°，BOH=50°， ，在中， ， 故答案为：【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键5、5【解析】【分析】原式分别根据绝对值，有理数的乘方，二次根式以及特殊角三角函数值化简各项后，再进行加减运算即可得到答案【详解】解：=5【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则及特殊角三角函数值是解答本题的关键三、解答题1、（1）见详解；（2）图见详解，.【解析】【分析】（1）由题意根据点在小正方形的顶点上，的面积为即可得到点的位置；（2）由题意根据以为斜边的，点在小正方形顶点上，即可得到点的位置，进而依据勾股定理即可得出的长【详解】解：（1）如图，等腰即为所画，由勾股定理可得,的面积为，当AB为底边可得高为5，以为直角作即可，因为所以又因为,所以；（2）如图，即为所画，由勾股定理可得,并且, 所以，所以.【点睛】本题主要考查应用与设计作图，熟练掌握勾股定理及其逆用以及三角函数的定义和等腰三角形定义和全等三角形判定性质是解题的关键，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图2、（1）抛物线的解析式为：；（2）；（3）点N的纵坐标为5【解析】【分析】（1）根据题意可得一次函数图象经过A、D两点，所以当及当时，可确定A、D两点坐标，然后代入抛物线解析式求解即可确定；（2）根据题意当时，代入抛物线解析式确定点P的坐标，求得，然后求出直线与y轴的交点T，利用勾股定理确定，由平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质即可得出结果；（3）过点P作轴，且，即，利用相似三角形的性质可确定，求出直线GF的函数解析式，过点M作轴，设且，可求得MF的长度，设直线MP的函数解析式为：，将点，代入即可确定点的坐标，求出，根据题意即可确定点，设点R、点N在如图所示位置：过点N作轴，过点M作，过点R作，利用相似三角形及勾股定理即可得出结果【详解】解：（1）经过A、D两点，当时，解得，当时，将A、D两点代入抛物线解析式可得：，解得：，抛物线的解析式为：；（2）当时，解得：，直线解析式，当时，在中，轴，轴，即；（3）如图所示：过点P作轴，且，即，设直线GF的函数解析式为：，可得：，解得：，直线GF的函数解析式为：，过点M作轴，设且，即，设直线MP的函数解析式为：，将点，代入可得：可得：，解得：，点，解得：，点，设点R、点N在如图所示位置：过点N作轴，过点M作，过点R作，设，则，代入化简可得：，联立求解可得：，点N的纵坐标为5【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键3、（1）；（2）直线EN与O相切，理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）结合题意，根据圆和勾股定理的性质，计算得圆的半径，从而得，；根据抛物线轴对称的性质，得经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为：；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）根据抛物线的性质，计算得；根据勾股定理的性质，得，；根据圆的性质，得；根据勾股定理的逆定理，通过，推导得，结合圆的切线的定义，即可得到答案；（3）结合（2）的结论，根据特殊角度三角函数的性质，得，分当点P纵坐标大于0和小于0两种情况，根据圆周角、圆心角的性质，推导得；根据含角直角三角形和勾股定理的性质，计算得点坐标，再通过待定系数法求解一次函数解析式，即可得到答案【详解】（1）O过点M O交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， ， 经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为： O交OM的反向延长线于点N 设经过A、N、B三点的抛物线为： 经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为： 经过A、N、B三点的抛物线为：；（2）经过A、N、B三点的抛物线为：，且对称轴为：当时，抛物线取最小值，即 ， 直线EN与O相切；（3） 如图，当点P纵坐标大于0时，直线交O于点Q，连接，过点Q作，交OB于点K ， 设直线DP的解析式为： ；如图，当点P纵坐标小于0时，直线交O于点Q，连接，过点Q作，交OB于点K， 设直线DP的解析式为： ；直线DP的解析式为：或【点睛】本题考查了圆、二次函数、一次函数、勾股定理、直角三角形、轴对称、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、圆周角、圆心角、二次函数图像、勾股定理及其逆定理、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解4、红蓝双方最初相距（）米【解析】【分析】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则E=F=90°，红蓝双方相距AB=DF+CE在RtBCE中，根据锐角三角函数的定义求出CE的长，同理，求出DF的长，进而可得出结论【详解】解：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则E=F=90°，红蓝双方相距AB=DF+CE在RtBCE中，BC=1000米，EBC=60°，CE=BCsin60°=1000×=500米在RtCDF中，F=90°，CD=1000米，DCF=45°，DF=CDsin45°=1000×=500米，AB=DF+CE=（500+500）米答：红蓝双方最初相距（）米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键5、（1）0；（2）【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，再进行化简求值即可（2）先化简为一般式，再根据因式分解法解一元二次方程即可【详解】解：（1）原式=(32-1)2-1+3×33×12=1-32-1+32（2）x2-7x+10+2=0x-3x-4=0【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，因式分解法解一元二次方程，牢记特殊角的三角函数和掌握解一元二次方程的方法是解题的关键