人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合测试试卷(含答案详解).docx

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图1所示，DEF中，DEF90°，D30°，B是斜边DF上一动点，过B作ABDF于B，交边DE（或边EF）于点A，设BDx，ABD的面积为y，图2是y与x之间函数的图象，则ABD面积的最大值为（ ）A8B16C24D482、的相反数是（ ）ABCD3、如图，为测量小明家所住楼房的楼高，小明从楼底A出发先沿水平方向向左行走到达点C，再沿坡度的斜坡行走104米到达点D，在D处小明测得楼底点A处的俯角为，楼顶最高处B的仰角为，所在的直线垂直于地面，点A、B、C、D在同一平面内，则的高度约为（ ）米（参考数据：，）A104B106C108D1104、如图，中，它的周长为22若与，三边分别切于E，F，D点，则劣弧的长为（ ）ABCD5、在正方形网格中，ABC在网格中的位置如图，则sinB的值为（）ABCD6、如图，E是正方形ABCD边AB的中点，连接CE，过点B作BHCE于F，交AC于G，交AD于H，下列说法：； 点F是GB的中点；SAHG=SABC其中正确的结论的序号是（ ）ABCD7、在RtABC中，C90°，BC3，AC4，那么cosB的值等于（）ABCD8、的值为（ ）A1B2CD9、如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得米，则拉线AC的长为（ ）A米B6sin52°米C米D米10、如图，在中，点D为AB边的中点，连接CD，若，则的值为（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、ABC中，B为锐角，cosB，AB，AC2，则ACB的度数为_2、如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论：AGD110.5；2tanAED2；SAGDSOGD；四边形AEFG是菱形；BFOF；SOGF1，则正方形ABCD的面积是128，其中正确的是_（只填写序号）3、如图，在RtABC中，C90°，BC2，AC2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置，BD交AB于点F若ABF为直角三角形，则AE的长为_或_4、计算的结果为_5、如图，等腰直角三角形ABC，C=90°，AC=BC=4，M为AB的中点，PMQ=45°，PMQ的两边分别交BC于点P，交AC于点Q，若BP=3，则AQ=_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：2sin30°3tan45°sin245°+cos60°2、平面直角坐标系中，过点M的O交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点，交OM的反向延长线于点N（1）求经过A、N、B三点的抛物线的解析式（2）如图，点E为（1）中抛物线的顶点，连接EN，判断直线EN与O的位置关系，并说明理由（3）如图，连接MD、BD，过点D的直线交抛物线于点P，且，直接写出直线DP的解析式3、计算：4、某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥如图，河旁有一座小山，山高，点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，若在此处建桥，求河宽的长（结果精确到）参考数据：，5、如图，抛物线的图像与x轴的交分别为点A、点B，与y轴交于点C，且（1）求抛物线解析式（2）点D是对称轴左侧抛物线上一点，过点D作于点E，交AC于点P，求点D的坐标（3）在（2）的条件下，连接AD并延长交y轴于点F，点G在AC的延长线上，点C关于x轴的对称点为点H，连接AH，GF、GH，点K在AH上，过点C作，垂足为点R，延长RC交抛物线于点Q，求点Q坐标-参考答案-一、单选题1、C【分析】由图得点A到达点E时，面积最大，此时，由三角函数算出AB，由三角形面积公式即可求解【详解】由图可得：点A到达点E时，面积最大，此时，故选：C【点睛】本题考查二次函数图像问题以及解直角三角形，由题判断点A运动到哪里能使面积最大是解题的关键2、C【分析】先计算=，再求的相反数即可【详解】=，的相反数是，故选C【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，相反数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键3、A【分析】根据题意作交于E，延长AC，作交于F，由坡度的定义求出DF的长，得AE的长，再解直角三角形求出DE、BE的长，即可解决问题【详解】解：如图，作交于E，延长AC，作交于F，斜坡CD的坡度为i=1：2.4，CD=104米，DF=AE=40（米），CF=96（米），,，（米），,，（米），（米）.故选：A.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解答此题的关键4、B【分析】连接OD、OF，过点O作OGDF于点G，则，DOG=FOG，根据与，三边分别切于E，F，D点，可得AD=AF，BD=BE，CE=CF，ADO=AFO=90°，从而得到AD=AF=3，再由，可得 ，DOF=120°，从而求出OD，即可求解【详解】解：如图，连接OD、OF，过点O作OGDF于点G，则，DOG=FOG， 与，三边分别切于E，F，D点，AD=AF，BD=BE，CE=CF，ADO=AFO=90°，BC=8，BD+CF=BE+CE=BC=8，的周长为22AD+AF+BD+BE+CE+CF=22，AD+AF=6，AD=AF=3，ADF为等边三角形，DOF=120°，DF=AD=3， ，DOG=60°， ，劣弧的长为 故选：B【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，求弧长，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键5、A【分析】利用勾股定理先求出AB的长度，最后利用正弦值的定义得到，进而得到最终答案【详解】解：如图所示在中，由勾股定理可得： 故选：A【点睛】本题主要是考察了勾股定理和锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键6、D【分析】先证明ABHBCE，得AH=BE，则，即，再根据平行线分线段成比例定理得：即可判断；设BF=x，CF=2x，则BC=x，计算FG= 即可判断；根据等腰直角三角形得：AC=AB，根据中得：即可判断；根据，可得同高三角形面积的比，然后判断即可【详解】解：四边形ABCD是正方形，AB=BC，HAB=ABC=90°，CEBH，BFC=BCF+CBF=CBF+ABH=90°，BCF=ABH，ABHBCE，AH=BE，E是正方形ABCD边AB的中点，BE=AB，即AH/BC，故正确；设BF=x，CF=2x，则BC=x，AH=x，故不正确；四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=90°，AC=AB，故正确；，故正确故选D【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键7、D【分析】根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可【详解】解：如图，在RtABC中，C90°，BC3，AC4，cosB故选：D【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键8、A【分析】直接求解即可【详解】解：=1，故选：A【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键9、D【分析】根据余弦定义：即可解答【详解】解：，米，米；故选D【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键，用到的知识点是余弦的定义10、D【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案【详解】解：在ABC中，ACB90°，点D为AB边的中点，ADBDCDAB，,又CD3，AB6，故选：D【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提二、填空题1、60°或120°【解析】【分析】根据题意，由于的长没有确定，故分类讨论，分是锐角和钝角两种情况画出图形，解直角三角形即可【详解】解：如图，当是锐角时，过点作于点， cosB，AB，AC2，如图，当是钝角时，过点作的延长线于点， cosB，AB，AC2，故答案为：或【点睛】本题考查了解斜三角形，构造直角三角形并分类讨论是解题的关键2、【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，可得GADADO45°，又由折叠的性质，可求得ADG的度数，从而求得AGD；利用GAD与ADG度数求得AED度数可得；证AEGFEG得AGFG，由FGOG即可得；由折叠的性质与平行线的性质，易得AEG是等腰三角形，由AEFE、AGFG即可得证；设OFa，先求得EFG45°，从而知BFEFGFOF；由SOGF1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论【详解】解：四边形ABCD是正方形，GADADO45°，由折叠的性质可得：ADGADO22.5°，AGD180°GADADG112.5°，故错误AED180°EADADE67.5°，tanAED1，则2tanAED2，故错误；由折叠的性质可得：AEEF，EFDEAD90°，在AEG和FEG中，AEGFEG（SAS），AGFG，在RtGOF中，AGFGGO，SAGDSOGD，故错误；AGEGADADG67.5°AED，AEAG，又AEFE、AGFG，AEEFGFAG，四边形AEFG是菱形，故正确；设OFa，四边形AEFG是菱形，且AED67.5°，FEGFGE67.5°，EFG45°，又EFO90°，GFO45°，GFEFa，EFO90°，EBF45°，BFEFGFa，即BFOF，故正确；SOGF1，OG21，即a21，则a22，BFEFa，且BFE90°，BE2a，又AEEFa，ABAEBE2aa（2）a，则正方形ABCD的面积是（2）2a2（64）×2128，故正确；故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用3、 3； 145【解析】【分析】分两种情况讨论：当BDAE时，ABF为直角三角形；当DBAB时，ABF为直角三角形.【详解】解：当BDAE时，ABF为直角三角形，如下图：根据题意，BE=BE，BD=BD=BC=，B=EBF，在RtABC中，C=90°，BC=2，AC=2，AB=BC2+AC2=232+22=4，sinB=24=12，B=EBF =30°，在RtBDF中，B=30°，DF=BD=，BF=BD-DF=-=，在RtBEF中，EBF =30°，EF=BE，BF=B'E2-EF2=2EF2-EF2=EF，即=EF，EF=，则BE=1，AE=AB-BE=4-1=3.当DBAB时，ABF为直角三角形，如下图：连接AD，过A作ANEB，交EB的延长线于N，根据题意，BE=BE，BD=CD=BD=BC=，DBE=EBF，在RtABC中，C=90°，BC=2，AC=2，AB=BC2+AC2=232+22=4，sinDBE=24=12，DBE=EBF =30°，ABF=90°，ABE=ABF+EBF=120°，RtABN中，ABN=60°，BAN=30°，BN=AB，在RtABD和RtACD中AD=ADB'D=CD，RtABDRtACD（HL），AB=AC=2，BN=1，AN=，设AE=x，则BE= BE=4-x，在RtAEN中，AN2+EN2=AE2，（）2+（4-x+1）2=x2x=145综上，AE的长为3或145，故答案为：3或145.【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理4、【解析】【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则进行求解即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键5、【解析】【分析】连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，由勾股定理得，根据三线合一得，解直角三角形即可求解【详解】如图，连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，在中，M为AB的中点，在中，在中，在中， ，在中，在中，故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质以及解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键三、解答题1、0【解析】【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可【详解】解： 【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键2、（1）；（2）直线EN与O相切，理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）结合题意，根据圆和勾股定理的性质，计算得圆的半径，从而得，；根据抛物线轴对称的性质，得经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为：；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）根据抛物线的性质，计算得；根据勾股定理的性质，得，；根据圆的性质，得；根据勾股定理的逆定理，通过，推导得，结合圆的切线的定义，即可得到答案；（3）结合（2）的结论，根据特殊角度三角函数的性质，得，分当点P纵坐标大于0和小于0两种情况，根据圆周角、圆心角的性质，推导得；根据含角直角三角形和勾股定理的性质，计算得点坐标，再通过待定系数法求解一次函数解析式，即可得到答案【详解】（1）O过点M O交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， ， 经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为： O交OM的反向延长线于点N 设经过A、N、B三点的抛物线为： 经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为： 经过A、N、B三点的抛物线为：；（2）经过A、N、B三点的抛物线为：，且对称轴为：当时，抛物线取最小值，即 ， 直线EN与O相切；（3） 如图，当点P纵坐标大于0时，直线交O于点Q，连接，过点Q作，交OB于点K ， 设直线DP的解析式为： ；如图，当点P纵坐标小于0时，直线交O于点Q，连接，过点Q作，交OB于点K， 设直线DP的解析式为： ；直线DP的解析式为：或【点睛】本题考查了圆、二次函数、一次函数、勾股定理、直角三角形、轴对称、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、圆周角、圆心角、二次函数图像、勾股定理及其逆定理、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解3、【解析】【分析】对式子的中各项分别化简，然后利用实数的加减运算法则，即可得到正确答案【详解】解：=【点睛】本题主要是考查了实数的运算，包括了去绝对值、0次幂、负整数幂、锐角三角函数值、二次根式以及乘方运算，熟练掌握以上每项的运算法则，是求解该题的关键4、河宽的长约为【解析】【分析】根据等腰三角形的判定可得，在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度【详解】解：在中，.在中，.答：河宽的长约为【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键5、（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据求出点C的坐标，把点C的坐标代入即可求出a，即可得出抛物线解析式；（2）先求直线AC解析式，设，则可表示点P坐标，y值相减即可得出答案；（3）作的角平分线为AM，作交于点N，过点K作轴交于点T，由（2）得点D坐标，求出直线AD解析式，令，求出F点坐标，由对称得出点H坐标，求出直线AH的解析式，求出AK、AH的值，可得GF、FG，FH满足勾股定理，即，求出点G坐标，得出直线FG解析式，即可得出直线CR解析式，与抛物线解析式联立，即可求出点Q的坐标【详解】（1）由题得：，即，把代入得：，抛物线解析式为：；（2）设直线AC的解析式为，把，代入得：，解得：，直线AC的解析式为，设，则，解得：或，的对称轴为直线，点D是对称轴左侧抛物线上一点，；（3）如图，作的角平分线为AM，作交于点N，过点K作轴交于点T，由，得直线AD解析式为，H是点C的对称点，由，得直线AH解析式为，设，则，解得：，即，解得：，由题知：，即，解得：，是直角三角形，设，解得：，由，得直线FG的解析式为，直线CR解析式为，把代入得：，解得：或，【点睛】本题考查二次函数综合问题，还涉及了解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，属于中考压轴题，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键