人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专题测评试题(含答案及详细解析).docx

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专题测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在科学小实验中，一个边长为30cm正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示初始状态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P重合，点P的高度PF40cm，离斜坡底端的水平距离EF80cm正方形下滑后，点B的对应点与初始状态的顶点A的高度相同，则正方形下滑的距离（即的长度）是（）cmA40 B60 C30 D402、已知锐角满足tan（+10°）=1， 则锐角用的度数为（ ）A20°B35°C45°D50°3、cos60°的值为（）ABCD14、如图，ACB60，半径为1的O切BC于点C，若将O在直线CB上沿某一方向滚动，当滚动到O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ）ABC 或D或5、如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得米，则拉线AC的长为（ ）A米B6sin52°米C米D米6、计算的值等于（ ）AB1C3D7、如图所示，点C是O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C所走过的路程为x，BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是（）A150°，B150°，2C120°，D120°，28、将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若，则的值为（ ）ABCD9、小金将一块正方形纸板按图1方式裁剪，去掉4号小正方形，拼成图2所示的矩形，若已知AB9，BC16，则3号图形周长为（）A B C D10、如图所示，某村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为（m），那么这两棵树在坡面上的距离AB为（ ）Amcos（m）B（m）Cmsin（m）D（m）第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图所示，草坪边上有互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得123，EQ16米，QK24米；从E点沿着小路m往上走，测得EP15米，BPm，则该圆的半径长为_米2、如图，将ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处如果，那么的值是_3、如图，已知扇形OAB的半径为6，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CMOA，垂足为M，CNOB，垂足为N，连接MN，若AOB45°，则MN_4、如图，在正方形中，对角线，相交于点O，点E在边上，且，连接交于点G，过点D作，连接并延长，交于点P，过点O作分别交、于点N、H，交的延长线于点Q，现给出下列结论：；其中正确的结论有_（填入正确的序号）5、已知正方形ABCD中，AB2，A是以A为圆心，1为半径的圆，若A绕点B顺时针旋转，旋转角为（0°180°），则当旋转后的圆与正方形ABCD的边相切时，_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明点A处测得热气球底部点C，中部点D的仰角分别为和，已知点O为热气球中心，点C在上，且点在同一平面内，根据以上提供的倍息，求热气球的直径约为多少米？（参考数据：）（结果精确到）2、计算下列各式：（1）sin60°4cos230°+sin45°tan60°；（2）3、在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h，并在离该公路100m处设置一个检测点A在如图所示的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高速公路在y轴上，AO为其中的一段（1）一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15s，通过计算，判断该汽车在这段限速公路上是否超速（参考数据：1.7）；（2）若一辆大货车在限速公路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高速公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离4、如图1所示的是一辆混凝土布料机的实物图，图2是其工作时部分示意图，AC是可以伸缩的布料臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.2米当布料臂AC长度为8米，张角为时，求布料口C离地面的高度（结果保留一位小数；参考数据：，）5、如图，的弦AB与直径CD交于点G，点C是优弧ACB的中点（1）（2）当AB也为直径时，连接BC，点K是内AB上方一点，过点K作于点R，交OC于点M，连接KA，KC，求证：（3）在（2）的条件下，过点B作交KR于点N，连接BK并延长交于点E，求的半径-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据题意可得：A与高度相同，连接，可得，利用平行线的性质可得：，根据正切函数的性质计算即可得【详解】解：根据题意可得：A与高度相同，如图所示，连接，故选：B【点睛】题目主要考查平行线的性质及锐角三角函数解三角形，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键2、B【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可；【详解】tan（+10°）=1，且，；故选B【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键3、C【分析】根据特殊角的余弦值即可得【详解】解：，故选：C【点睛】本题考查了特殊角的余弦，熟记特殊角（如）的余弦值是解题关键4、D【分析】当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，然后根据锐角三角函数的知识求解；同理求出另一种情况的值【详解】解：如图1，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，OW=CF，WF=1，ACB60，WCF=ACB=30°，所以点O移动的距离为OW=CF=如图2，当圆O滚动到圆O位置与CA，CB相切，切点分别为F，E，连接OO，OE，OC，OF，OC，则四边形OCEO是矩形，OO=CE，ACB60，ACE120，OCE=60°，点O移动的距离为OO=CE=，·故选：D【点睛】此题考查了切线的性质与切线长定理，矩形的判定与性质，以及三角函数等知识解此题的关键是根据题意作出图形，注意数形结合思想的应用5、D【分析】根据余弦定义：即可解答【详解】解：，米，米；故选D【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键，用到的知识点是余弦的定义6、C【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案【详解】解：故选C【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键7、D【分析】观察图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，当x0时，y2，即AB2，如图，点C是的中点，连接OC交AB于点D，则OCAB，ADBD，AOB2BOC，利用三角函数定义可得BOC60°，即可求得答案【详解】解：由函数图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，O的直径为4，OAOB2，观察图象，可得当x0时，y2，AB2，如图，点C是的中点，连接OC交AB于点D，OCAB，ADBD，AOB2BOC，sinBOC，BOC60°，AOB120°，OBOC，BOC60°，BOC是等边三角形，BCOB2，即点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值为2故选：D【点睛】本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键8、D【分析】由AFECFD90°得，根据折叠的定义可以得到CBCF，则，即可求出的值，继而可得出答案【详解】AFECFD90°，由折叠可知，CBCF，矩形ABCD中，ABCD，故选：D【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CBCF9、B【分析】设 而AB9，BC16，如图，由（图1）是正方形，（图2）是矩形，4号图形为小正方形，得到 再证明再建立方程求解，延长交于 则 再利用勾股定理求解 从而可得答案.【详解】解：如图，由题意得：（图1）是正方形，（图2）是矩形，4号图形为小正方形， 设 而AB9，BC16， 结合（图1），（图2）的关联信息可得： 整理得： 解得： 经检验：不符合题意，取 延长交于 则 四边形是矩形， 所以3号图形的周长为： 故选B【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的应用，从（图形1）与（图形2）中的关联信息中得出图形中边的相等是解本题的关键.10、B【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案【详解】由题意可得：，则AB=故选：B【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键二、填空题1、#【解析】【分析】设圆心为，过点作，连接交于点，根据题意可证明四边形是矩形，进而求得,证明，根据求得，设的半径为,在中，勾股定理即可求解【详解】如图，设圆心为，过点作，连接交于点，根据题意在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，且12，23，三点共线四边形是矩形设的半径为,在中，则解得故答案为：【点睛】本题考查了两点确定一条直线，三角函数，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，等边对等角，理清各线段长，并添加辅助线是解题的关键2、#【解析】【分析】利用“一线三垂直”模型，可知，由折叠可知，AE=AD，利用勾股定理表示出BF，即可求出的值【详解】解：由题意得，,，即：，设：AB为3x，则AD为5x，AE=AD=5x，在中，有勾股定理得：，故答案为：【点睛】本题是图形与三角函数的综合运用，利用图形的变换，表示出所求的教角的函数值是本题的关键3、3【解析】【分析】根据题意作辅助线，构建三角形相似，先证明DMCDNO，得DMDC=DNDO，由夹角是公共角得：DMNDCO，得MNCO=DNDO，根据AOB45°及特殊的三角函数值，代入比例式可得结论【详解】解：连接OC，延长OA、NC交于D，则OC6，CMOA，CNOB，DMCDNO90°，DD，DMCDNO，DMDN=DCDO，即DMDC=DNDO，DD，DMNDCO，MNCO=DNDO，CNOB，AOB45°，sinAOBDNOD=22，MNOC=22，OC6，MN6=22，MN.故答案为：【点睛】本题考查的是三角形相似的性质和判定，特殊的三角函数值及三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键4、【解析】【分析】由“ASA”可证ANODFO，可得ON=OF，由等腰三角形的性质可求AFO=45°；由外角的性质可求NAO=AQO由“AAS”可证OKGDFG，可得GO=DG；通过证明AHNOHA，可得，进而可得结论DP2=NHOH【详解】四边形ABCD是正方形，AO=DO=CO=BO，ACBD，AOD=NOF=90°，AON=DOF，OAD+ADO=90°=OAF+DAF+ADO，DFAE，DAF+ADF=90°=DAF+ADO+ODF，OAF=ODF，ANODFO （ASA），ON=OF，AFO=45°，故正确；如图，过点O作OKAE于K，CE=2DE，AD=3DE，tanDAE=DEAD=DFAF=13，AF=3DF，ANODFO，AN=DF，NF=2DF，ON=OF，NOF=90°，OK=KN=KF=FN，DF=OK，又OGK=DGF，OKG=DFG=90°，OKGDFG （AAS），GO=DG，故正确；DAO=ODC=45°，OA=OD，AOH=DOP，AOHODOP （ASA），AH=DP，ANH=FNO=45°=HAO，AHN=AHO，AHNOHA，AHHO=HNAH，AH2=HOHN，DP2=NHOH，故正确；NAO+AON=ANQ=45°，AQO+AON=BAO=45°，NAO=AQO，即Q=OAG故错误综上，正确的是故答案为：【点睛】本题是四边形综合题，查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键5、30°，60°或120°【解析】【分析】根据题意得，可分三种情况讨论：当旋转后的圆A'与正方形ABCD的边AB相切时，与边CD也相切；当旋转后的圆与正方形ABCD的边AD相切时，与边BC也相切；当旋转后的圆 与正方形ABCD的边BC相切时，即可求解【详解】正方形ABCD中AB=2，圆A是以A为圆心，1为半径的圆，当圆A绕点B顺时针旋转（0°180°）过程中，圆A与正方形ABCD的边相切时，可分三种情况讨论：如图1，当旋转后的圆A'与正方形ABCD的边AB相切时，与边CD也相切，设圆 与正方形ABCD的边AB相切于点E，连接E，B，则在RtEB中，E=1，B=2， ，BE=30°，即=30°；如图2，当旋转后的圆与正方形ABCD的边AD相切时，与边BC也相切，设圆与正方形ABCD的边BC相切于点F，连接F，B，则 ，在 中， ，BF=30°，=BA=ABC-BF =60°；如图3，当旋转后的圆 与正方形ABCD的边BC相切时， 设切点为G，连接 ，则 ，在 中， ，BG=30°，=BA=ABC+BG=120°综上，旋转角=30°，60°或120°故答案为：30°，60°或120°【点睛】本题主要考查了切线的性质，图形的旋转，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论的思想解答是解题的关键三、解答题1、热气球的直径约为9米【解析】【分析】过点E作，过点D作，利用三角函数的定义计算即可；【详解】过点E作，过点D作，在中，在中，设热气球的直径为x米，则，解得：；故热气球的直径约为9米【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，准确计算是解题的关键2、（1）（2）【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值化简，故可求解；（2）根据特殊角的三角函数值化简，故可求解【详解】（1）sin60°4cos230°+sin45°tan60°=×4×+=（2）=【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值、二次根式的运算即完全平方公式的运算3、（1）汽车在这段限速路上超速（2）20米【解析】【分析】（1）根据解直角三角形的方法求BC的长，然后比较；（2）求两车在匀速行驶过程中的最近距离可以转化为求函数的最值问题，故可求解【详解】解：（1）在RtAOB中，OA100，BAO60°，OBOAtanBAO100米RtAOC中，CAO45°，OCOA100米BCBOOC100100米，18m/s60km/h16.7 m/s汽车在这段限速路上超速了（2）设大货车行驶了x米，两车的距离为y当x60米时，y有最小值20米答：两车在匀速行驶过程中的最近距离为20米【点睛】此题主要考查解直角三角形的实际应用于二次函数的最值，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线4、高度为7.0米【解析】【分析】过点C作于点E，过点A作于点F，根据矩形的判定定理可得四边形AHEF为矩形，由图中角的关系可得，在中，利用正弦三角函数可得，根据图形中即可得【详解】解：如图，过点C作于点E，过点A作于点F，四边形AHEF为矩形，.在中，答：布料口C离地面的高度为7.0米【点睛】题目主要考查矩形的判定和性质，锐角三角函数解三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键5、（1）见详解；（2）见详解；（3）OA=【解析】【分析】（1）连结OA、OB，根据点C是优弧ACB的中点得出，得出圆心角相等，得出AOD=180°-AOC=180°-BOC=BOD，根据等腰三角形性质即可得出AG=BG；（2）作KCB的平分线交AB于H，连结AC，CK与AB交于L，根据AB，CH为直径，ABCD，可得，ACB=90°，得出ABC=BAC=45°，根据CH平分KCB，得出KCH=HCB=，可得AKL=180°-KAL-KLA=180°-ACH-HLC=LHC，利用LHC为HCB的外角得LHC=ABC+HCB=KAB+BAC=AKC即可；（3）连结AE，RK与AB交于P，延长BN交AC与Q，根据CH平分KCB，得出KCS=BCS=KAB，根据BNAK，可得EKA=EBN，KAB=ABN，可证BKR=SCB，再证KBA=NBC，求出EKA=45°，根据等腰三角形性质与勾股定理AE=KE=2，AK=，再证四边形AQNK为平行四边形，可得AK=QN=，AQ=KN,设BR=10m，KN=13m，BN=x，先证PNBBNK，即，再根据勾股定理RtBNR中，根据勾股定理，求出，然后证明AQBBNK，即，解得，利用证明BNRBQC，可得即可【详解】（1）证明：连结OA，OB点C是优弧ACB的中点，AOC=BOC，AOD=180°-AOC=180°-BOC=BOD，OA=OB，OG平分AB，AG=BG；（2）作KCB的平分线交AB于H，连结AC，CK与AB交于L，AB，CH为直径，ABCD，ACB=90°，ABC=BAC=45°，CH平分KCB，KCH=HCB，KCH=HCB=，KLA=HLC，AKL=180°-KAL-KLA=180°-ACH-HLC=LHC，LHC为HCB的外角，LHC=ABC+HCB=KAB+BAC=AKC，AKC-KAB =BAC即（3）连结AE，RK与AB交于P，延长BN交AC与Q，CH平分KCB，KCS=BCS=KAB，BNAK，EKA=EBN，KAB=ABN，AKL=LHC=HBC+HCB=KAB+BAC=KAC，AC=KC=BC，CH平分KCB，CSBK，BS=KS，SCB+SBC=90°，KRBC，RKB+RBK=90°，CBS=KBR，BKR=SCB，AC=BC，ACB=90°，ABC=BAC=45°，BPR=45°=RKB+ABP=ABN+NBC，RKB=ABN，KBA=NBC，EBN=45°，EKA=45°，AEK=90°，EAK=90°-EKA=45°AE=KE=2，AK=，KRBC，ACB=90°，ACKR，AKBQ，四边形AQNK为平行四边形，AK=QN=，AQ=KN,设BR=10m，KN=13m，BN=x，AQ=KN=13m，PBN=BKN，PNB=BNK，PNBBNK，即，PRBC，PBR=45°PR=BR=10m，NR=PR-PN=10m-,在RtBNR中，根据勾股定理即整理得，解得舍去，PNAQ，BNP=BQA，BPN=BAQ，PNBAQB，AQBBNK，即解得NRQC，BNR=BQC，BRN=BCQ，BNRBQC，即，AB=BC÷cos45°=，OA=【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线定义，三角形外角性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形相似判定与性质，直径所对圆周角性质，勾股定理，一元高次方程，锐角三角函数，本题难度大，综合性强，图形复杂，利用辅助线构造准确图形，是中考压轴题，掌握多方面知识是解题关键