导数练习题及答案.doc
章末检测一、选择题1已知曲线yx22x2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是（ )A(1，3）B（1，3）C（2，3) D（2,3)答案B解析f（x)2x20,x1。f(1)（1)22×(1）23.M（1,3）2函数yx42x25的单调减区间为(）A(，1)及（0，1)B（1,0）及（1，)C（1,1）D(，1）及(1，)答案A解析y4x34x4x（x21），令y0得x的范围为（，1）（0，1)，故选A.3函数f(x)x3ax23x9，在x3时取得极值，则a等于(）A2 B3C4 D5答案D解析f(x）3x22ax3。由f(x)在x3时取得极值，即f(3)0，即276a30,a5.4函数yln的大致图象为()答案D解析函数的图象关于x1对称，排除A、C，当x1时，yln(x1)为减函数，故选D.5二次函数yf(x)的图象过原点，且它的导函数yf（x）的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数yf(x)的图象的顶点所在象限是（)A第一 B第二C第三 D第四答案C 解析yf（x)的图象过第一、二、三象限,故二次函数yf（x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限6已知函数f（x)x3ax2x1在(,）上是单调函数，则实数a的取值范围是（)A(，) B,C(，） D（，)答案B解析f(x）3x22ax10在（，)恒成立,4a2120a.7设f（x）xln x，若f(x0）2，则x0等于()Ae2 Bln 2C. De答案D解析f（x）x·(ln x）(x）·ln x1ln x.f(x0)1ln x02，ln x01,x0e。8设函数f(x)xln x(x0），则yf（x）（)A在区间（，1)(1，e）内均有零点 B在区间(，1），(1,e)内均无零点C在区间（，1）内无零点,在区间(1，e)内有零点D在区间(，1)内有零点，在区间（1，e）内无零点答案C解析由题意得f(x）,令f(x）0得x3；令f（x）0得0x3；f(x)0得x3,故知函数f（x）在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，)为增函数，在点x3处有极小值1ln 30;又f（1)0，f(e)10，f（）10.9设函数f(x）x3x2tan ，其中0，则导数f（1）的取值范围是()A2,2 B，C，2 D，2答案D解析f(x）x2sin x·cos ，f（1）sin cos 2（sin cos )2sin（)0，sin（)1.2sin(）2。10方程2x36x270在(0，2）内根的个数有（)A0 B1C2 D3答案B解析令f(x）2x36x27，f(x）6x212x6x（x2），由f(x)0得x2或x0；由f（x）0得0x2；又f（0)70,f（2）10，方程在（0,2）内只有一实根二、填空题11若曲线ykxln x在点（1，k)处的切线平行于x轴，则k_.答案1解析求导得yk，依题意k10，所以k1。12已知函数f(x）x3ax在区间（1,1)上是增函数,则实数a的取值范围是_答案a3解析由题意应有f（x)3x2a0，在区间(1,1）上恒成立，则a3x2，x（1，1)恒成立，故a3.13在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_答案(2,15）解析y3x2102x±2，又点P在第二象限内，x2，得点P的坐标为(2，15)14函数f（x）x3ax2bxa2，在x1时有极值10，那么a，b的值分别为_答案4，11解析f(x）3x22axb，f（1）2ab30，f（1)a2ab110,，或,当a3时，x1不是极值点,a,b的值分别为4,11.三、解答题15设a1,函数f（x)x3ax2b（1x1）的最大值为1，最小值为，求常数a，b.解令f（x)3x23ax0，得x10，x2a.f(0）b,f(a)b，f（1）1ab，f(1）1ab因为a<1,所以1a0，故最大值为f(0）b1，所以f（x)的最小值为f（1)1aba，所以a，所以a。故a，b1。16若函数f(x)4x3ax3在,上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？解f(x）12x2a，若f(x）在，上为单调增函数，则f(x）0在 ，上恒成立，即12x2a0在，上恒成立，a12x2在，上恒成立，a（12x2）min0.当a0时，f(x）12x20恒成立(只有x0时f（x)0）a0符合题意若f（x)在，上为单调减函数,则f（x)0,在，上恒成立，即12x2a0在,上恒成立，a12x2在，上恒成立，a（12x2）max3。当a3时，f(x）12x233(4x21）0恒成立(且只有x±时f（x)0）因此，a的取值范围为a0或a3。17某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1）将V表示成r的函数V(r），并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解（1）因为蓄水池侧面的总成本为100·2rh200rh（元),底面的总成本为160r2元,所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h（3004r2），从而V(r)r2h（300r4r3)因为r>0，又由h>0可得r5，故函数V（r）的定义域为(0，5）(2)因为V（r)(300r4r3），故V（r)(30012r2）令V（r）0，解得r15，r25（因为r25不在定义域内,舍去）当r（0,5)时,V(r)0，故V(r）在（0，5)上为增函数；当r(5,5)时，V（r)0,故V（r）在(5，5）上为减函数由此可知，V（r）在r5处取得最大值,此时h8.即当r5，h8时,该蓄水池的体积最大17统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为:yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米（1）当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升？解(1）当x40时,汽车从甲地到乙地行驶了2。5小时，要耗油(×403×408)×2.517.5(升)（2）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升,依题意得h(x)(x3x8）。x2（0x120),h(x）（0x120)令h（x)0，得x80。当x（0,80)时，h（x)0，h（x)是减函数；当x(80，120）时，h（x)0，h（x)是增函数当x80时,h（x)取到极小值h（80)11。25。因为h(x）在（0,120上只有一个极值,所以它是最小值答当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升18已知函数f(x）x3aln x(aR，a0)（1)当a3时，求曲线yf(x）在点（1,f(1）)处的切线方程；（2）求函数f(x)的单调区间;（3)若对任意的x1，)，都有f（x）0成立，求a的取值范围解(1)当a3时,f(x）x33ln x,f（1)0，f（x)x2，f(1）2，曲线yf(x)在点(1，f(1)）处的切线方程2xy20。（2)f(x)x2（x0)当a0时，f(x)0恒成立，函数f（x）的递增区间为(0，）当a0时，令f（x)0，解得x或x（舍)。x(0，）(，)f（x）0f(x）减极小值增函数f（x）的递增区间为(，)，递减区间为（0，）（3）对任意的x1，)，使f(x）0成立，只需对任意的x1，),f（x)min0。当a0时，f(x)在1,)上是增函数，只需f（1）0,而f(1)aln 10，a0满足题意，当0a1时,01，f(x)在1,)上是增函数，只需f（1)0而f（1)aln 10，0a1满足题意；当a1时，1,f(x）在1，上是减函数，）上是增函数，只需f（）0即可，而f（）f(1）0，a1不满足题意；综上，a(，0)(0,1
