2021_2022学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程习题课椭圆的综合问题及应用课后篇巩固提升含解析新人教A版选择性必修第一册.docx
1习题课习题课椭圆的综合问题及应用椭圆的综合问题及应用课后篇巩固提升巩固提升必备知识基础练1.已知直线 l 过点(3,-1),椭圆 C:?225?236=1,则直线 l 与椭圆 C 的公共点的个数为()A.1B.1 或 2C.2D.0答案 C2.点 A(a,1)在椭圆?24?22=1 的内部,则 a 的取值范围是()A.(- 2, 2)B.(-,- 2)( 2,+)C.(-2,2)D.(-1,1)答案 A3.已知椭圆?24+y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,当F1PF2的面积为 1 时,?1?2?等于()A.0B.1C.2D.12解析设 P(x0,y0),则依题意有?1?2?12|F1F2|y0|=1,而|F1F2|=2 3,所以 y0=33.故得 x0=2 63.取 P2 63,33,可得?1?2?=0.答案 A4.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆?22+y2=1 交于 P1,P2两点,线段 P1P2的中点为 P,设直线 m 的斜率为 k1,直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2的值为()A.2B.-22C.12D.-12解析设直线 m 与 x2+2y2=2 的交点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则中点 P(x0,y0),且 x0=?1?22,y0=?1?22,将 P1(x1,y1),P2(x2,y2)代入 x2+2y2=2,可得?12+2?12=2,?22+2?22=2,以上两式相减,可得?12? ?22+2(?12?22)=0,则由于 k1=?1-?2?1-?2,k2=?0?0?1?2?1?2,所以 1+2?1-?2?1-?2?1?2?1?2=0,即 1+2k1k2=0,所以 k1k2=-12.答案 D5.若点 O 和点 F 分别为椭圆?29?28=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任一点,则? ? ?的最小值为()A.214B.6C.8D.12解析点 P 为椭圆?29?28=1 上的任意一点,设 P(x,y)(-3x3,-2 2y2 2),依题意得左焦点 F(-1,0),? ?=(x,y),? ?=(x+1,y),? ? ?=x(x+1)+y2=x2+x+72-8?29?19? ?922?234.-3x3,32x+92152,94 ? ?9222254,1419? ?92222536.619? ?922?23412,即 6? ? ?12.答案 B6.椭圆 mx2+ny2=1 与直线 y=1-x 交于 M,N 两点,原点 O 与线段 MN 的中点 P 连线的斜率为22,则?的值是.解析由? ? 1-?,?2? ?2? 1消去 y,得(m+n)x2-2nx+n-1=0.则 MN 的中点 P 的坐标为?,?.3所以 kOP=?22.答案227.已知斜率为 2 的直线 l 被椭圆?23?22=1 截得的弦长为307,则直线 l 的方程为.解析设直线 l 的方程为 y=2x+m,与椭圆交于 A,B 两点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),由?23?22? 1,? ? 2? ? ?,消去 y并整理得 14x2+12mx+3(m2-2)=0,所以 x1+x2=-67m,x1x2=314(m2-2).由弦长公式得|AB|= 1 ? ?2 (?1? ?2)2-4?1?2= 53649?2-67(?2-2) ?307,解得 m= 13,所以直线 l 的方程为 y=2x 13.答案 y=2x 138.已知椭圆 E 的两个焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),点 C 1,32在椭圆 E 上.(1)求椭圆 E 的方程;(2)若点 P 在椭圆 E 上,且 t=?1?2?,求实数 t 的取值范围.解(1)依题意,设椭圆 E 的方程为?2?2?2?2=1(ab0),由已知 c=1,所以 a2-b2=1.因为点 C 1,32在椭圆 E上,所以1?2?94?2=1.由得,a2=4,b2=3.故椭圆 E 的方程为?24?23=1.(2)设 P(x0,y0),由?1?2?=t,得(-1-x0,-y0)(1-x0,-y0)=t,即?02? ?02=t+1.因为点 P 在椭圆 E上,所以?024?023=1.由得?02=t+1-?02,代入,并整理得?02=4(t-2).由知,0?024,4结合,解得 2t3.故实数 t 的取值范围为2,3.9.已知椭圆 C:?2?2?2?2=1(ab0)的离心率为22,P 是 C 上一点,F1,F2是 C 的两个焦点,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设直线 y= 2x+n 交椭圆 C 于 A,B 两点,O为坐标原点,求OAB 面积的最大值.解(1)|PF1|+|PF2|=4,2a=4,即 a=2.e=?22,c= 2,b2=a2-c2=2,即椭圆方程为?24?22=1.(2)设点 A 的坐标为(x1,y1),点 B 的坐标为(x2,y2),将 y= 2x+n 代入椭圆 C 的方程,整理得 5x2+4 2nx+2n2-4=0,=32n2-20(2n2-4)0,n2b0)的短轴长为 2,上顶点为 A,左顶点为 B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且F1AB 的面积为2- 32,点 P 为椭圆上的任意一点,则1|?1|?1|?2|的取值范围为()A.1,2B. 2, 3C. 2,4D.1,4解析由椭圆?2?2?2?2=1(ab0)的短轴长为 2b=2,得 b=1,又?1?t?12(a-c)b=2- 32,解得 a-c=2- 3,a=2,c= 3,|PF1|+|PF2|=2a=4,设|PF1|=x,则|PF2|=4-x,xa-c,a+c,5即 x2- 3,2+ 3,1|?1|?1|?2|?1?14-?44-(?-2)21,4.答案 D11.已知椭圆?2?2?2?2=1(ab0),点 F 为左焦点,点 P 为下顶点,平行于 FP 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,且 AB 的中点为 M 1,12,则椭圆的离心率为()A.22B.12C.14D.32解析设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2,y1+y2=1,又因为 A,B 在椭圆上,所以?12?2?12?2=1,?22?2?22?2=1,两式相减,得?1-?2?1-?2?1?2?1?2=-?2?2,kAB=?1-?2?1-?2=kFP=-?,kOM=?1?2?1?2?12,?2?2?2,a2=2bc,平方可得a4=4(a2-c2)c2,?2?2?12,?22.答案 A12.点 A 为椭圆 C:?2?2?2?2=1(ab0)的右顶点,点 P 为椭圆 C上一点(不与 A 重合),若? ? ?=0(O 是坐标原点),则?(c 为半焦距)的取值范围是()A.12,1B.22,1C.32,1D.以上说法都不对解析设 P(x0,y0)(x0a),? ? ?=0(O 是坐标原点),则点 P 在以 OA 为直径的圆上,(?0-?2)2? ?02?24,?2?02? ?2?02? ?2?2,即 c2?02-a3x0+a2b2=0,6即(c2x0-ab2)(x0-a)=0,x0=a,或 x0=?2?2,x0a,故 x0=?2?2,0?2?2a.b2c2,即 a2-c2b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,以 F2为圆心的圆过椭圆 C 的中心,且与 C 在第一象限交于点 P.若直线 PF1恰好与圆 F2相切于点 P,则 C 的离心率为()A. 3-1B.3-12C.22D.5-12解析如图所示,依题意得F1PF2=90,|PF2|=c,|PF1|=2a-c.又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,(2a-c)2+c2=4c2,即 c2+2ac-2a2=0,e2+2e-2=0,解得 e= 3-1 或 e=- 3-1(舍).故选 A.答案 A14.(多选题)设 A,B 是椭圆 C:?24?2?=1 长轴的两个顶点,若 C 上存在点 P 满足APB=120,则 k 的取值可以是()A.43B.2C.6D.12解析若 C 上存在点 P 满足APB=120,则只需当点 P 在短轴顶点时APB120.故分析长半轴与短半轴的关系即可.7当焦点在 x轴时,若APB120,则2 3 ?,0 ? ? ? 40b0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,F1PF2=120,且|PF1|=3|PF2|,则椭圆的离心率为.解析设|PF2|=m(m0),则|PF1|=3m,由F1PF2=120得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos120,即 4c2=9m2+m2+3mm,因此,c=132m.又 2a=|PF1|+|PF2|=4m,a=2m,e=?132?2?134.答案13417.(2020 广东惠州高二上期末)椭圆?29?225=1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m,则 m 的最大值为,此时点 P 的坐标为.解析设 F1,F2为椭圆的两焦点,m=|PF1|PF2|?1|?|?2|22=2?22=a2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5 时,等号成立.此时 m取最大值 25,即点 P 在短轴端点时,m 取最大值,所以此时点 P 的坐标为(3,0).答案 25(3,0)18.已知椭圆 C:?2?2?2?2=1(ab0)过点 P3,12,离心率是32.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M12,12,求直线 l 与坐标轴围成三角形的面积.解(1)由已知可得?32,3?2?14?2=1,c2=a2-b2,解得 a=2,b=1.椭圆的方程为?24+y2=1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得?124? ?12=1,?224? ?22=1,两式相减得(?1-?2)(?1?2)4+(y1-y2)(y1+y2)=0,由中点坐标公式得 x1+x2=1,y1+y2=1.9直线 AB 的斜率 kAB=?1-?2?1-?2=-14,可得直线 AB 的方程为 y-12=-14?-12,令 x=0,可得 y=58,令 y=0,可得 x=52,则直线 l 与坐标轴围成的三角形面积为S=125852?2532.学科素养创新练19.已知椭圆 C:?2?2?2?2=1(ab0)的离心率为12,短轴长为 2 3.(1)求椭圆 C 的标准方程.(2)若椭圆 C 的左焦点为 F1,过点 F1的直线 l与椭圆 C 交于 D,E 两点,则在 x 轴上是否存在一个定点M 使得直线 MD,ME 的斜率互为相反数?若存在,求出定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)据题意,得2? ? 2 3,?12,?2? ?2-?2,解得 a2=4,b2=3,所以椭圆 C的标准方程为?24?23=1.(2)存在.据题设知点 F1(-1,0),当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1).由? ? ?(? ? 1),?24?23? 1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设 E(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=-8?24?2?3,x1x2=4?2-124?2?3.设 M(m,0),则直线 MD,ME 的斜率分别满足 kMD=?2?2-?,kME=?1?1-?.又因为直线 MD,ME 的斜率互为相反数,所以 kME+kMD=?1?1-?2?2-?2?1?1?2-?(?1?2)(?1-?)(?2-?)=0,所以 x2y1+x1y2-m(y1+y2)=0,所以x2k(x1+1)+x1k(x2+1)-mk(x1+1)+k(x2+1)=0,所以 2kx1x2+k(x1+x2)-mk(x1+x2)+2k=0,所以 2k4?2-124?2?3+k-8?24?2?3-m k-8?24?2?3+2k =0,所以 k(m+4)=0.若 k(m+4)=0 对任意 kR 恒成立,则 m=-4,当直线 l 的斜率 k 不存在时,若 m=-4,则点 M(-4,0)满足直线 MD,ME 的斜率互为相反数.综上,在 x 轴上存在一个定点 M(-4,0),使得直线 MD,ME 的斜率互为相反数.
