2021_2021学年高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则课时素养评价含解析北师大版选修2_.doc

课时素养评价十二简单复合函数的求导法则(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是()A.y=un，u=x2-1B.y=(u-1)n，u=x2C.y=tn，t=(x2-1)nD.y=(t-1)n，t=x2-1【解析】选A.将x2-1看作整体，记u=x2-1，则y=(x2-1)n由y=un和u=x2-1 复合而成.2.函数y=cos(-x)的导数是()A.cos xB.-cos xC.-sin xD.sin x【解析】选C.y=-sin(-x)(-x)=-sin x.3.设函数f(x)=(1-2x3)10，则f(1)=()A.0B.-1C.-60D.60 【解析】选D.因为f(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)=10(1-2x3)9·(-6x2)=-60x2(1-2x3)9，所以f(1)=60.4.曲线f(x)=在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ()A.e2B.4e2C.2e2D.e2【解析】选D.由导数的几何意义得切线的斜率k=f(4)=e2，所以切线方程为f(x)-e2=e2(x-4)，令x=0，得f(0)=-e2；令f(x)=0，得x=2.所以切线与坐标轴所围三角形的面积为×2e2=e2.二、填空题(每小题5分，共10分)5.函数y=x的导数为_. 【解析】y=(x)=x+x()=+=.答案：6.已知f(x)=且f(1)=2，则a的值为_. 【解析】因为f(x)=(ax2-1，所以f(x)=(ax2-1·(ax2-1)=，又因为f(1)=2，所以=2，所以a=2.答案：2【加练·固】1.f(x)=，且f(1)=1，则a的值为_. 【解析】因为f(x)=·(ax-1)=，所以f(1)=1，解得a=2.答案：22.设y=f(x)是可导函数，则y=f()的导数为_. 【解析】设y=f(u)，u=，则y=f(u)，u=，所以y=·f().答案：y=·f()三、解答题(每小题10分，共20分)7.已知函数f(x)=ex·sin 2x，求f(x)及f.【解析】f(x)=ex·sin 2x+2ex·cos 2x=ex(sin 2x+2cos 2x)，则f=(sin +2cos )=-2.8.设曲线y=e-x(x0)在点M(t，e-t)处的切线L与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的解析式.【思维·引】要求S(t)的解析式，必须知道三角形的底边长和高，我们可以通过求切线与x轴、y轴的交点来得到底边长与高.【解析】对y=e-x求导可得y=(e-x)=-e-x，故切线L的斜率为-e-t，故切线L的方程为y-e-t=-e-t(x-t).即e-tx+y-e-t(t+1)=0，令y=0，可得x=t+1，令x=0，可得y=e-t(t+1)，所以S(t)=(t+1)·e-t(t+1)=(t+1)2e-t(t0).(15分钟·30分)1.(5分)某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=，则在时刻t=40 min的降雨强度为()A.20 mmB.400 mmC. mm/minD. mm/min【解析】选D.f(t)=·10=，所以f(40)=.2.(5分)函数y=(2+x3)2的导数为()A.6x5+12x2B.4+2x3C.2(2+x3)2D.2(2+x3)·3x【解析】选A.因为y=(2+x3)2=4+4x3+x6，所以y=6x5+12x2.3.(5分)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为_. 【解析】设切点为(x0，y0)，则y0=x0+1，且y0=ln(x0+a)，所以x0+1=ln(x0+a).对y=ln(x+a)求导得y=，则=1，即x0+a=1.代入可得x0=-1，所以a=2.答案：24.(5分)设aR，函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为_. 【解析】对f(x)=ex+a·e-x求导得f(x)=ex-ae-x.又因为f(x)是奇函数，故f(0)=1-a=0，解得a=1，故有f(x)=ex-e-x.设切点为(x0，y0)，则f(x0)=-=，得=2或=-(舍去)，得x0=ln 2.答案：ln 25.(10分)一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：)随时间t(单位：h)的变化满足关系式：x=4+16e-2t.(1)求汽水温度x在t=1处的导数.(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x=y-32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数.【解析】x=-32e-2t.(1)当t=1时，x=-.(2)y=(x+32)=(16e-2t+36)，y=e-2t×(-2)=-e-2t.1.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()A.-B.0C.D.5【解析】选B.由题设可知f(x+5)=f(x)，所以f(x+5)=f(x)，所以f(5)=f(0)，又f(-x)=f(x)，所以f(-x)(-1)=f(x)，即f(-x)=-f(x)，所以f(0)=0，故f(5)=f(0)=0.2.求曲线y=e-2x+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积.【解析】由已知，y=e-2x×(-2)=-2e-2x，y|x=0=-2e-2×0=-2，所以曲线y=e-2x+1在点(0，2)处的切线方程是y-2=-2x，即y=-2x+2.在坐标系中画出直线y=-2x+2，y=0与y=x(图略)，注意到直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是，直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1，0).结合图形知，这三条直线所围成的三角形的面积为×1×=.