2021_2021学年高中数学第一章推理与证明章末检测课后作业含解析北师大版选修2_.doc
第一章章末检测时间：90分钟满分：100分第卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1数列an中前四项分别为2，则an与an1之间的关系为()Aan1an6B.3Can1 Dan1解析：可一一验证选项判断答案：B2下列推理正确的是()A将a(bc)与loga(xy)类比有loga(xy)logaxlogayB将a(bc)与sin(xy)类比有sin(xy)sin xsin yC把(ab)n与(ab)n类比有(xy)nxnynD把(ab)c与(xy)z类比有(xy)zx(yz)解析：D中类比为结合律答案：D3为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为a0a1a2，ai0,1(i0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0a0a1，h1h0a2，运算规则为：000,011,101,110.例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A11010 B01100C10111 D00011解析：C选项传输信息011，h0011，h1h0a2110，应该接收信息10110.答案：C4否定“自然数a、b、c恰有一个偶数”时正确假设为()Aa、b、c都是奇数Ba、b、c都是偶数Ca、b、c中至少有两个偶数Da、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a、b、c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数答案：D5已知c1，a，b，则正确的结论是()Aab BabCab Da、b大小不定解析：a，b，而，ab.答案：B6在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，中，第25项为()A25 B6C7 D8解析：将数列分组得(1)，(2,2)，(3,3,3)，(4,4,4,4)，这样每一组的个数为1,2,3,4，；其和为，令n6，则有21，所以第25项在第7组，因此第25项是7.答案：C7k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱有对角面的个数为()A2f(k) Bk1f(k)Cf(k)k Df(k)2解析：新增加的第k1条棱与其不相邻的k2条棱构成k2个对角面，与其相邻的两条棱构成一个对角面，这样共增加k1个对角面答案：B8已知f(x)是奇函数，那么实数a的值等于()A1 B1C0 D±1解析：法一：函数的定义域为R，函数为奇函数，则x0时f(0)0，即0，a1.法二：根据奇函数的定义，f(x)f(x)恒成立，即恒成立，即恒成立，即2aa·2x12x12，a1.答案：A9设f(x)，又记f1(x)f(x)，fk1(x)ffk(x)，k1,2，则f2 017(x)等于()A BxC. D.解析：计算f2(x)f()，f3(x)f()，f4(x)x，f5(x)f1(x)，归纳得f4k1(x)，kN，从而f2 017(x).答案：D10观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_个小正方形，第n个图中有_个小正方形()A28， B14，C28， D12，解析：根据规律知第6个图形中有123456728.第n个图形中有12(n1).答案：A第卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11若数列an中，a11，a235，a37911，a413151719，则a10_.解析：前10项共使用了12341055个奇数，a10为由第46个到第55个奇数的和，即a10(2×461)(2×471)(2×551)1 000.答案：1 00012根据前面的推理，在下表的空白处添加相应的结论.三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于底乘高的三棱锥的体积等于底面积乘高的三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的积的解析：设ABC的内切圆的半径为r，圆心为O，三边长分别为a、b、c，连接OA、OB、OC，将ABC分割为三个小三角形OAB、OAC、OBC，其面积和为SABC(abc)r.类似地，设三棱锥SABC的内切球半径为R，球心为O，连接OS、OA、OB、OC，将三棱锥分割为四个小三棱锥OSAB，OSAC，OSBC，OABC，其体积和为三棱锥SABC的体积，则VS1RS2RS3RS4R(S1S2S3S4)RS表R.答案：三棱锥的体积等于三棱锥的表面积与内切球半径的积的13设a0，b0，a21，则a的最大值为_解析：a0，b0，a···×.答案：14研究问题：“已知关于x的不等式ax2bxc>0的解集为(1,2)，解关于x的不等式cx2bxa>0”，有如下解法：解：由ax2bxc>0ab()c()2>0，令y，则y(，1)，所以不等式cx2bxa>0的解集为(，1)参考上述解法，已知关于x的不等式<0的解集为(2，1)(2,3)，则关于x的不等式<0的解集为_解析：<0<0，令y，则y(2，1)(2,3)，所以x(，)(，1)答案：(，)(，1)三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(10分)已知f(x)x2pxq.求证：(1)f(1)2f(2)f(3)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|至少有一个不小于.证明：(1)f(1)2f(2)f(3)1pq2(42pq)93pq2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有|f(1)|<且|f(2)|<，|f(3)|<，<f(1)<，<f(2)<，<f(3)<.1<2f(2)<1.2<f(1)2f(2)f(3)<2，这与f(1)2f(2)f(3)2矛盾假设不成立，从而原命题成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.16(10分)已知xyuv且x2y2u2v2，求证：xnynunvn.证明：xyuv且x2y2u2v2，(xy)2(x2y2)(uv)2(u2v2)，即xyuv.由xyuv且xyuv可知，x，y是一元二次方程z2(uv)zuv0的两个根，或xnynunvn.17(12分)画出f(x)的图像，借助图像确定f()与的大小，其中a，b(0，)，且ab，并给出证明解析：图像如图猜想f()>.要证明 >，只需证2 >，只需证明2(ab)>ab2，只需证ab>2，a>0，b>0，ab，ab>2成立f()>成立18(12分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第 n个图的蜂巢总数(nN)(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：<.解析：(1)f(4)37，f(5)61.由于f(2)f(1)716，f(3)f(2)1972×6，所以f(4)f(3)37193×6，f(5)f(4)61374×6，因此，当n2时，有f(n)f(n1)6(n1)，所以f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)6(n1)(n2)2113n23n1.又因为f(1)13×123×11，所以f(n)3n23n1(nN)(2)证明：设kN，当k2时，<()所以<1(1)()()1(1)<1.
