斯台沃特定理.doc

分享到斯台沃特定理1内容斯图尔特定理(或译作史都华定理、斯特瓦尔特定理、斯氏定理、斯坦沃特定理）,又称为阿波罗尼奥斯定理： 任意三角形ABC中，D是边BC上一点,连接AD，则设BC=a，AC=b,AB=c，BD=u，CD=v，AD=w，则另一种表达形式:即2证明过点A作AEBC于E， 设DE = x(假设底边四点从左到右顺序为B、D、E、C）则 AE2 = b2 - （v-x)2 = c2 - （u+x）2 = AD2 - x2若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v所以有 AD2 = b2 - v2 + 2vxAD2 = c2 u2 - 2ux1*u式+2*v式得AD2（u+v） = b2u + c2v uv(u + v)故 AD2 = （b2u + c2v)/a uv1)当AD是ABC中线时， u = v = 1/2a AD2 = (b2+c2(a2)/2)/22）当AD是ABC内角平分线时， 由三角形内角平分线的性质, 得u = ac/(b+c）, v =ab/（b+c)设s = （a+b+c)/2得 AD2 = 4/（b+c）2 *（bcs（sa)3）当AD是ABC高时， AD2 = b2 - u2 = c2 v2再由 u+v = a得AD2 = 1/4a2（2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 - a4 - b4 c4）证明方法2：不妨设 角ADB=.AD=t由余弦定理可得:c2=t2+u2-2tu·cos b2=t2+v2+2tv·cos ×v+×u得:b2u+c2v=at2+auv整理即可得：t2=(b2×u+c2×v)/auv证毕3推广角平分线长定理已知AD为三角形ABC的角分线,则AD2=AB·ACDB·DC中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理,是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。定理内容:三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。即,对任意三角形ABC,设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系:AB2+AC2=2BI2+2AI2或作AB2+AC2=1/2BC2+2AI2中线定理即为斯台沃特定理在中点时的结论，可由斯台沃特定理直接得出。除如上给出的方法外，在此给出另外的两种常规证明方法:第一种是以中点为原点,在水平和竖直方向建立坐标系，设：A(m,n），B(a,0）,C（a，0),则：(AD)2+（CD)2=m2+n2+a2（AB）2+（AC）2=（m+a)2+n2+(m-a）2+n2=2（m2+a2+n2)（AB）2+（AC）2=2(AD）2+（CD）2)第二种是在不同三角形中，对同一个角用两次余弦定理，比如对图示中的B（或者C）在ABD和ABC(或者ACD和ABC）使用余弦定理,从而直接得到三角形边长的关系，进而得证。