2021_2022版高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理素养评价检测含解析新人教A版必修.doc
正 弦 定 理(20分钟35分)1.(2020·白银高二检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=,B=,a=,则b=()A.2B.C.3D.2【解析】选A.由正弦定理=,得b=2.2.ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=,bcos A=sin B,则A=()A.B.C.D.【解析】选D.因为a=,bcos A=sin B,所以bcos A=asin B,所以由正弦定理可得sin Asin B=sin Bcos A,因为B是三角形的内角,sin B0,所以tan A=,由A是三角形内角可得A=.3.(2020·广州高二检测)在ABC中,AB=1,AC=,B=,则角C=. 【解析】在ABC中,AB=1,AC=,B=,利用正弦定理得:=,解得sin C=.由于AC>AB,0<C<,故C=.答案:4.在ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则sin B=. 【解析】由正弦定理得sin C=.可知C为锐角,所以cos C=.所以sin B=sin(180°-120°-C)=sin(60°-C)=sin 60°·cos C-cos 60°·sin C=.答案:5.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin A=5sin B,ABC的周长为15,则b=. 【解析】因为3sin A=5sin B,所以由正弦定理可得3a=5b,又因为b+c=2a,a+b+c=15,所以3a=15,故5b=15,b=3.答案:36.(2020·天津高一检测)(1)在ABC中,已知a=2,c=,A=120°,求边b和角C.(2)在ABC中,已知cos A=,B=,b=,求边a,c.【解析】(1)因为a=2,c=,A=120°,由正弦定理可得,=,所以=,则sin C=,因为a>c,所以C=30°=B,故b=c=.(2)因为cos A=,所以sin A=,因为B=,b=,由正弦定理可得,=,即=,所以a=,因为sin C=sin(A+B)=×+×=,由正弦定理可得=,即=,所以c=. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,b=2,A=60°,则tan B等于()A.1B.C.D.【解析】选B.由正弦定理,得sin B=·sin A=×=,根据题意得b<a,故B<A=60°,因此B为锐角.于是cos B=,故tan B=.2.已知ABC的三个内角之比为ABC=321,那么对应的三边之比abc等于()A.321B.21C.1D.21【解析】选D.因为ABC=321,A+B+C=180°,所以A=90°,B=60°,C=30°.所以abc=sin Asin Bsin C=1=21.3.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果c=a,B=30°,那么角C等于()A.120°B.105°C.90°D.75°【解析】选A.因为c=a,所以sin C=sin A=sin(180°-30°-C)=sin(30°+C)=,即sin C=-cos C.所以tan C=-.又0°<C<180°,所以C=120°.4.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A=,b=1,ABC的外接圆半径为1,则ABC的面积S=()A.B.C.1D.【解析】选B.由正弦定理=2R,得a=,sin B=,因为a>b,所以A>B,所以B=,C=,所以SABC=××1=.5.ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin=bsin A,则cos B=()A.-B.C.-D.【解析】选B.因为asin=bsin A,所以asin=acos=bsin A,又由=可得asin B=bsin A,所以cos=sin B,两边平方得cos2=sin2B,可得:=1-cos2B,即2cos2B+cos B-1=0,解得cos B=或-1,又因为B(0,),所以cos B=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则c=. 【解析】由cos A=,cos B=,得sin A=,sin B=.得sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.又因为sin(-C)=sin C=sin(A+B),所以sin C=,由正弦定理=,得c=.答案:7.ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足acos B-bcos A=c,则ABC的形状为. 【解析】根据正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,(其中R是ABC外接圆的半径)代入acos B-bcos A=c得2Rsin Acos B-2Rsin Bcos A=2Rsin C,所以sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B),所以sin Acos B-sin Bcos A=sin Acos B+sin Bcos A,所以2sin Bcos A=0,又因为sin B0,所以cos A=0,又A(0,),所以A=,所以该三角形为直角三角形.答案:直角三角形【补偿训练】在ABC中,若3b=2asin B,cos A=cos C,则ABC的形状为. 【解析】由正弦定理知b=2R·sin B,a=2R·sin A,则3b=2a·sin B可化为:3sin B=2sin A·sin B.因为0°<B<180°,所以sin B0,所以sin A=,所以A=60°或120°,又cos A=cos C,所以A=C,所以A=60°,所以ABC为等边三角形.答案:等边三角形8.(2020·烟台高一检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60°,c=,则=. 【解析】由C=60°,c=,得=,所以a=2sin A,=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.ABC的三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,且满足csin A+acos C=0.(1)求C的值;(2)若cos A=,c=5,求sin B和b的值.【解析】(1)将csin A+acos C=0利用正弦定理化简得:2Rsin Csin A+2Rsin Acos C=0,即2sin Csin A+2sin Acos C=0.因为sin A0,所以sin C+cos C=0,即tan C=-.因为C(0,),所以C=.(2)因为cos A=,A,所以sin A=,则sin B=sin(-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.因为sin B=,c=5,sin C=sin=.则由正弦定理=,得b=3-4.10.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求sin C.【解析】(1)因为mn,所以asin B-bcos A=0.由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=.由于0<A<,所以A=.(2)由正弦定理,得=,从而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos +cos Bsin =.1.在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,则的取值范围是. 【解析】在锐角三角形ABC中,A,B,C<90°,即所以30°<B<45°.由正弦定理知:=2cos B(,),故的取值范围是(,).答案:(,)2.如图,边长为2的等边三角形ABC中,O是BC的中点,D,E分别是边AB,AC上的动点(不含端点),DOE=120°,记BOD=.试将AD,AE分别用含的关系式表示出来,并证明AD+AE为定值.【解析】由DOE=120°,BOD=,B=60°,得BDO=120°-,COE=60°-,CEO=60°+,在BOD和COE中,由正弦定理可得,=,=,故BD=,CE=,所以AD=2-,AE=2-,0°<<60°.从而AD+AE=4-=4-=4-=4-=3,故AD+AE=3为定值.
