2021_2022学年高中数学第一章数列4数列在日常经济生活中的应用课时素养评价含解析北师大版必修5202103131265.doc

数列在日常经济生活中的应用 (20分钟35分)1.一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形,最上面一层铺了21块瓦片,往下每一层多铺一块瓦片,斜面上铺了20层瓦片,共铺了瓦片()A.420块B.630块C.610块D.620块【解析】选C.由题意每层所铺瓦片数构成一个以1为公差、以21为首项的等差数列,求前20项的和,所以共铺了S20=20×21+×1=610块瓦片.2.某地为了保持水土资源实行退耕还林,如果2018年退耕a万亩,以后每年比上一年增加10%,那么到2025年一共退耕()A.10a万亩B.a万亩C.10a万亩D.a万亩【解题指南】建立等比数列模型后,利用等比数列的前n项和的公式即可得到结果.【解析】选A.记2018年为第一年,第n年退耕an万亩,则为等比数列,且a1=a,公比q=1+10%,则问题转化为求数列的前8项和,所以数列的前8项和为=10a(1.18-1).所以到2025年一共退耕10a万亩.3.某房屋开发商出售一套50万元的住宅,可以首付5万元,以后每过一年付5万元,9年后共10次付清,也可以一次付清(此后一年定期存款税后利率设为2%,按复利计算)并优惠x%,为鼓励购房者一次付款,问优惠率应不低于多少?(x取整数,计算过程中参考以下数据:1.0291.19,1.02101.2,1.02111.24)()A.15%B.16%C.17%D.18%【解析】选B.由题意,知50(1-x%)(1+2%)95(1.029+1.028+1.02+1).整理,得1-x%0.840 3,所以x%15.97%,所以一次付款的优惠率应不低于16%.4.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付车费元. 【解析】根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列an来计算车费.令a1=11.2,表示4 km处的车费,公差d=1.2,那么当出租车行至14 km处时,n=11,此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).答案:23.25.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN+)等于. 【解析】设每天植树的棵数组成的数列为an,由题意可知它是等比数列,且首项为2,公比为2,所以由题意可得100,即2n51,而25=32,26=64,nN+,所以n6.答案:66.某地本年度旅游业收入估计为400万元,由于该地出台了一系列措施,进一步发展旅游业,预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.(1)求n年内旅游业的总收入;(2)试估计大约几年后,旅游业的总收入超过8 000万元.【解析】(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元,则a1=400,an+1=an=an,所以=,所以数列an是公比为的等比数列,所以Sn=1 600,即n年内旅游业总收入为1 600万元.(2)由(1)知Sn=1 600,令Sn>8 000,即1 600>8 000,所以>6,所以lg>lg 6,所以n>8.029 6.所以大约第9年后,旅游业总收入超过8 000万元. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.某运输卡车从材料工地运送电线杆到500 m以外的公路,沿公路一侧每隔50 m埋一根电线杆,又知每次最多只能运3根,要完成运载20根电线杆的任务,最佳方案是使运输卡车运行()A.11 700 mB.14 600 mC.14 500 mD.14 000 m【解析】选D.由近往远运送,第一次运两根,以后每次运三根,这种运法最佳,由近往远运送,每次来回行走的米数构成一个等差数列,记为an,则a1=1 100,d=300,n=7,所以S7=7×1 100+×300=14 000.2.某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择,调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的学生,下星期一会有20%改选B种菜;而选B种菜的学生,下星期一会有30%改选A种菜.用an,bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数,则an+1与an的关系可以表示为()A.=an+150B.an+1=an+200C.=an+300D.an+1=an+180【解析】选A.依题意得消去bn,得=an+150.3.(2020·成都高一检测)我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何”,翻译过来就是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大、小鼠第一天都进一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,则几天后两鼠相遇,这个问题体现了古代对数列问题的研究,现将墙的厚度改为1 200尺,则需要几天时间才能打穿(结果取整数)()A.12B.11C.10D.9【解题指南】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸都构成一个等比数列,只是公比不同,然后由等比数列前n项和公式计算可得.【解析】选B.大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成等比数列an,bn,a1=b1=1,数列的公比为q1=2,数列bn的公比为q2=,设需要n天能打穿墙,则(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)=+=2n+1-,n=10时,2n+1-=1 025-1 025<1 200,n=11时,2n+1-=2 049-2 049>1 200,因此需要11天才能打穿.4.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为(lg 20.301 0)()A.5B.10C.14D.15【解析】选C.设原杂质数为1,由题意,得每次过滤杂质数成等比数列,且a1=1,公比q=1-20%,故an+1=(1-20%)n.由题意可知(1-20%)n<5%,即0.8n<0.05.两边取对数,得nlg 0.8<lg 0.05,因为lg 0.8<0,所以n>,即n>=13.41,故取n=14.5.已知甲、乙两车间的月产值在2018年1月份相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值,乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2018年7月份发现两车间的月产值又相同,比较甲、乙两个车间2018年4月份月产值的大小,则()A.甲大于乙B.甲等于乙C.甲小于乙D.大小不确定【解析】选A.设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a,乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x,甲、乙两车间的月产值在2018年1月份同为m,则由题意得m+6a=m·(1+x)6,4月份甲的产值为m+3a,4月份乙的产值为m·(1+x)3,由知,(1+x)6=1+,即4月份乙的产值为m=.因为(m+3a)2-(m2+6ma)=9a2>0,所以m+3a>,即4月份甲的产值大于乙的产值.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在超市中购买一个卷筒纸,其内圆直径为4 cm,外圆直径为12 cm,一共卷60层,若把各层都视为一个同心圆,令=3.14,则这个卷筒纸的长度(精确到个位)为m. 【解析】纸的厚度相同,且各层同心圆直径成等差数列,则纸的长度为:l=d1+d2+d3+d60,其中d1+d2+d3+d60=×60=480 cm,即l=d1+d2+d3+d60=480480×3.1415(m).答案:157.2020年广州市某单位拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下的一半多一万元,依名次类推都得剩下的一半多一万元,到第6名恰好将资金分完,则需要拿出资金万元. 【解析】设全部资金和每次发放后资金的剩余额组成一个数列an,则a1为全部资金,第一名领走资金后剩a2,a2=a1-1,依此类推,an+1=an-1,所以an+1+2=(an+2).所以an+2是一个等比数列,公比为,首项为a1+2,所以an+2=·,所以an=·-2.所以第6名领走资金后剩余为a7=·-2=0,所以a1=126,即全部资金为126万元.答案:1268.用分期付款方式购买家用电器一件,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,全部欠款付清后,买这件家电实际付款元. 【解题指南】每月付50元,分20次付完,设每月付款数顺次组成数列an,可得付款数an组成等差数列,公差d=-0.5,再利用等差数列的前n项和公式,求得结论.【解析】购买时付了150元,欠款1 000元.每月付50元,分20次付完,设每月付款数顺次组成数列an,则a1=50+1 000×0.01=60,a2=50+(1 000-50)×0.01=60-0.5,a3=50+(1 000-50×2)×0.01=60-0.5×2,类推,得an=60-0.5(n-1)(1n20).所以付款数an组成等差数列,公差d=-0.5,全部贷款付清后,付款总数为 150+S20=150+20a1+×=150+20×60-=1 255.答案:1 255三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·上海高一检测)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车.每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,设Sn,Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量.(1)求Sn,Tn,并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn;(2)该市计划用7年的时间完成全部更换,求a的最小值.【解析】(1)设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意知,数列是首项为128、公比为1+50%=的等比数列;数列是首项为400、公差为a的等差数列,所以数列的前n项和Sn=256,数列的前n项和Tn=400n+a,所以经过n年,该市更换的公交车总数Fn=Sn+Tn=256+400n+a; (2)因为256,400n+a(a>0)是关于n的单调递增函数,因此Fn是关于n的单调递增函数,所以满足a的最小值应该是F710 000,即256+400×7+a10 000,解得a,又aN*,所以a的最小值为147.10.(2020·如皋高一检测)某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b人,以后学生人数年增长率为4.9.该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年淘汰x套旧设备.(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套?(2)依照(1)的更换速度,共需多少年能更换所有需要更换的旧设备?下列数据提供计算时参考:1.19=2.361.004 99=1.041.110=2.61.004 910=1.051.111=2.851.004 911=1.06【解析】(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为=1.05b,设今年起学校的合格实验设备为数列,则a1=1.1a-x,an+1=1.1an-x,令an+1+=1.1,则an+1=1.1an+0.1,所以0.1=-x,即=-10x,所以数列是首项为1.1a-11x,公比为1.1的等比数列,所以an-10x=·1.1n-1,即an=10x+·1.1n-1,所以a10=10x+·1.192.6a-16x,由题意得=2·,解得x=,所以每年应更换的旧设备为套.(2)全部更换旧设备共需a÷=16年.1.有这样一首诗:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日添增一倍多,问君每日读多少?”(注:孟子全书约34 685字,“一倍多”指一倍),由此诗知该君第二日读了字. 【解析】设第一日读的字数为a,由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项,公比为2的等比数列,可求得三日共读的字数为=7a=34 685,解得a=4 955,则2a=9 910,即该君第二日读的字数为9 910.答案:9 9102.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟第1次相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?【解析】(1)设n分钟后第1次相遇,依题意,有2n+5n=70,整理得n2+13n-140=0.解之得n=7或n=-20(舍去).第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设m分钟后第2次相遇,依题意,有2m+5m=3×70,整理得m2+13m-420=0.解之得m=15或m=-28(舍去).第二次相遇是在开始运动后15分钟.