2021_2021学年高中数学第三章推理与证明章末优化总结课后巩固提升含解析北师大版选修1_.doc
章末检测(三)推理与证明(时间：90分钟满分：100分)第卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S，可推出扇形面积公式S扇等于()A.B.C. D不可类比解析：由条件知S扇lr.答案：C2给出下列推理：由A，B为两个不同的定点，动点P满足|PA|PB|2a<|AB|，得点P的轨迹为双曲线；由a11，an3n1，求出S1，S2，S3猜想出数列an的前n项和Sn的表达式；由圆x2y2r2的面积为r2，猜想出椭圆1的面积为Sab；科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇其中是归纳推理的命题个数为()A0 B1C2 D3解析：由题意知只有是归纳推理答案：B3设f0(x)cos x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)(nN)，则f2 011(x)()Asin x Bsin xCcos x Dcos x解析：由条件知f0(x)cos x，f1(x)sin x，f2(x)cos x，f3(x)sin x，f4(x)cos x，故函数f(x)以4为周期循环出现，故f2 011(x)sin x.答案：A4已知为等比数列，b52，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b929.若为等差数列，a52，则的类似结论为()Aa1a2a3a929Ba1a2a3a929Ca1a2a3a92×9Da1a2a3a92×9解析：等比数列中积的关系在等差数列中应为加，同理，等比数列中的乘方在等差数列中应为积答案：D5奇数不能被2整除，32 0101是奇数，所以32 0101不能被2整除，上述推理()A正确B推理形式不正确C错误，因为大前提错误D错误，因为小前提错误解析：因为32 0101是偶数，所以小前提错误答案：D6n个连续自然数按规律排成下表根据规律，从2 009到2 011，箭头的方向依次为()ABC D解析：观察特例的规律知位置相同的数字都是以4为公差的等差数列由此知从2 009到2 011为，故选B.答案：B7若0<a<1,0<b<1且ab，则在ab,2，a2b2和2ab中最大的是()Aab B2Ca2b2 D2ab解析：因为0<a<1,0<b<1且ab，所以ab>2，a2b2>2ab，又0<a<1,0<b<1，所以a2<a，b2<b，所以a2b2<ab.答案：A8将正整数排成下表：12345678910111213141516则数表中的数字2 010出现在()A第44行第75列 B第45行第75列C第44行第74列 D第45行第74列解析：第n行有2n1个数字，前n行的数字个数为135(2n1)n2.4421 936,4522 025，且1 936<2 010,2 025>2 010，2 010在第45行又2 0252 01015，且第45行有2×45189个数字，2 010在第891574列，故选D.答案：D9若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系为()AP>Q BPQCP<Q D由a的取值确定解析：要比较P与Q的大小，只需比较P2与Q2的大小，只需比较2a72与2a72的大小，只需比较a27a与a27a12的大小，即比较0与12的大小，而0<12.故P<Q成立答案：C10设f(x)，又记f1(x)f(x)，fk1(x)ffk(x)，k1,2，则f2 017(x)等于()A BxC. D.解析：计算f2(x)f()，f3(x)f()，f4(x)x，f5(x)f1(x)，归纳得f4k1(x)，kN，从而f2 017(x).答案：D第卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11若数列an中，a11，a235，a37911，a413151719，则a10_.解析：前10项共使用了12341055个奇数，a10为由第46个到第55个奇数的和，即a10(2×461)(2×471)(2×551)1 000.答案：1 00012根据前面的推理，在下表的空白处添加相应的结论.三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于底乘高的三棱锥的体积等于底面积乘高的三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的积的解析：设ABC的内切圆的半径为r，圆心为O，三边长分别为a、b、c，连接OA、OB、OC，将ABC分割为三个小三角形OAB、OAC、OBC，其面积和为SABC(abc)r.类似地，设三棱锥SABC的内切球半径为R，球心为O，连接OS、OA、OB、OC，将三棱锥分割为四个小三棱锥OSAB，OSAC，OSBC，OABC，其体积和为三棱锥SABC的体积，则VS1RS2RS3RS4R(S1S2S3S4)RS表R.答案：三棱锥的体积等于三棱锥的表面积与内切球半径的积的13设a0，b0，a21，则a的最大值为_解析：a0，b0，a···×.答案：14观察下列等式：cos 22cos21；cos 48cos4 8cos2 1；cos 632cos6 48cos4 18cos21；cos 8128cos8256cos6160cos432cos21；cos 10mcos101 280cos81 120cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp_.解析：观察各式容易得m29512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m1 2801 120np11，将m512代入得np3500.对于等式，令60°，则有cos 600°512·1 280·1 120·np1，化简整理得n4p2000，联立方程组得mnp962.答案：962三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(10分)已知abc1，求证：abbcca.证明：abc1，a2b2c22ab2bc2ca1.又a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，将以上三个不等式相加，得：2(a2b2c2)2(abbcca)a2b2c2abbcca.1a2b2c22ab2bc2caabbcca2ab2bc2ca3(abbcca)，abbcca.16(10分)设an是集合2t2s|0s<t，且s，tZ中所有的数从小到大排列的数列，即a13，a25，a36，a49，a510，a612，.将数列an各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；(2)求a100.解析：(1)将前三行各数分别写成2t2s的形式：第1行：32120；第2行：52220,62221；第3行：92320,102321,122322；由此归纳猜想：第4行：2420,2421,2422,2423；第5行：2520,2521,2522,2523,2524.经计算可得第4行各数依次是：17,18,20,24；第5行各数依次是：33,34,36,40,48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，故前13行共有1231391个数因此，a100应当是第14行中的第9个数所以a1002142816 640.17(12分)已知在RtABC中，ABAC，ADBC于D，有成立那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由解析：猜想：类比ABAC，ADBC，可以猜想四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD.则.如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正确18(12分)设f(x)，g(x)(其中a>0，a1)(1)请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明解析：(1)532，且f(3)g(2)g(3)f(2)··.又g(5)，因此，g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)(2)g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)即g(32)f(3)g(2)g(3)f(2)于是猜测g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)证明：因为f(x)，g(x).g(xy).g(y)，f(y)，所以f(x)g(y)g(x)f(y)··g(xy)即g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)
