2021_2022学年新教材高中数学第一章直线与圆2.4圆与圆的位置关系课后篇巩固提升训练含解析北师大版选择性必修第一册.docx

第一章直线与圆§2圆与圆的方程2.4圆与圆的位置关系课后篇巩固提升合格考达标练1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是()A.相离B.相交C.外切D.内切答案B解析由题意可知圆O1的圆心O1(1,0),半径r1=1,圆O2的圆心O2(0,2),半径r1=2,又r2-r1<O1O2=5<r1+r2,所以圆O1和圆O2的位置关系是相交,故选B.2.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案C解析由题意,得两圆的标准方程分别为(x-2)2+(y+1)2=4和(x+2)2+(y-2)2=9,则两圆的圆心距d=(2+2)2+(-1-2)2=5=2+3,即两圆外切,所以两圆有3条公切线.故选C.3.(2020山西师大附中高二期中)圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.x+y-1=0B.2x-y+1=0C.x-2y+1=0D.x-y+1=0答案A解析圆x2+y2-2x-5=0的圆心为M(1,0),圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心为N(-1,2),两圆的公共弦AB的垂直平分线即为直线MN,其方程为y-02-0=x-1-1-1,即x+y-1=0,故选A.4.若圆C1与圆C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于()A.4B.42C.8D.82答案C解析两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,a+b=10,ab=17.(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,|C1C2|=(a-b)2+(a-b)2=32×2=8.5.已知两圆相交于两点A(a,3),B(-1,1),若两圆圆心都在直线x+y+b=0上,则a+b的值是. 答案-1解析由A(a,3),B(-1,1),设AB的中点为Ma-12,2,根据题意,可得a-12+2+b=0,且kAB=3-1a+1=1,解得a=1,b=-2,故a+b=-1.6.半径长为6的圆与y轴相切,且与圆(x-3)2+y2=1内切,则此圆的方程为. 答案(x-6)2+(y±4)2=36解析设该圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=36,因为该圆与y轴相切,且与圆(x-3)2+y2=1内切,所以|a|=6,(a-3)2+b2=5,解得a=6,b=±4,即该圆的标准方程为(x-6)2+(y±4)2=36.7.已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4,则两圆公共弦所在直线方程为,公共弦的长度为. 答案x=123解析由圆C1:x2+y2-4=0,圆C2:x2+y2-4x=0,两个方程作差,可得x=1.将x=1代入x2+y2=4,可解得y=±3,则公共弦的长度为|y1-y2|=23.8.已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).若圆O2与圆O1交于A,B两点,且AB=22,求圆O2的方程.解设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x+4y+r2-8=0,作O1HAB,H为垂足,则AH=12AB=2,所以O1H=22-AH2=4-2=2.由圆心O1(0,-1)到直线4x+4y+r2-8=0的距离为|r2-12|42=2,得r2=4或r2=20,故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.等级考提升练9.两圆x2+y2=r2(r>0),(x-3)2+(y+1)2=r2(r>0)外切,则正实数r的值是()A.10B.102C.5D.5答案B解析两圆外切,则两圆心距离等于两圆的半径之和,即(3-0)2+(-1-0)2=2r,解得r=102,故选B.10.过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是()A.x2+y2-154x-12=0B.x2+y2-154x+12=0C.x2+y2+154x-12=0D.x2+y2+154x+12=0答案A解析设经过圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是x2+y2-5x+(x2+y2-2)=0,再把点M(2,-2)代入,可得4+4-10+(4+4-2)=0,解得=13,故要求的圆的方程为x2+y2-154x-12=0.11.(2020安徽无为中学高二月考)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得APB=90°,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案B解析由题意知,点P在以原点(0,0)为圆心,以m为半径的圆上,又因为点P在已知圆上,所以只要两圆有交点即可,所以|m-1|5m+1,即4m6,所以m的最大值是6,故选B.12.圆C1:x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0与圆C2:x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0的公共弦长的最大值是()A.12B.1C.32D.2答案D解析由x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0,得(x+a)2+(y+a)2=1,圆心C1(-a,-a),半径r1=1;由x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0,得(x+b)2+(y+b)2=2,圆心C2(-b,-b),半径r2=2,即两圆圆心在直线y=x上,半径分别为1和2,两圆公共弦长的最大值为小圆的直径,即最大值为2.13.(多选题)(2020山东枣庄高二月考)已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b答案ABC解析由题意,由圆C2的方程可化为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax+2by-a2-b2=0,即2ax+2by=a2+b2,分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入可得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减可得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,所以选项AB正确;由圆的性质可得,线段AB与线段C1C2互相平分,所以x1+x2=a,y1+y2=b,所以选项C正确,选项D不正确.故选ABC.14.若点P在圆x2+y2=1上,点Q在圆(x+3)2+(y-4)2=4上,则|PQ|的最小值为. 答案2解析由题意可知,圆x2+y2=1的圆心坐标为A(0,0),半径r=1,圆(x+3)2+(y-4)2=4的圆心坐标为B(-3,4),半径R=2.d=|AB|=32+42=5>1+2=R+r,两圆的位置关系是外离.又点P在圆A上,点Q在圆B上,则|PQ|的最小值为d-(R+r)=5-(1+2)=2.15.(2020浙江温州高二期末)已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)外切,则r的值为,若点A(x0,y0)在圆C1上,则x02+y02-4x0的最大值为. 答案45解析(1)由于两圆外切,所以(4-0)2+(3-0)2=r+1,r=4.(2)点A(x0,y0)在圆C1上,所以x02+y02=1,且-1x01,所以x02+y02-4x0=1-4x0.因为-1x01,所以x02+y02-4x0的最大值为5.此时x0=-1.16.(2020山东泰安一中高二月考)在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=4与圆C:(x-3)2+(y-1)2=8相交于P,Q两点.(1)求线段PQ的长;(2)记圆O与x轴正半轴交于点M,点N在圆C上滑动,求MNC面积最大时的直线NM的方程.解(1)圆C的一般方程为x2+y2-6x-2y+2=0,由圆O与圆C方程相减可知,相交弦PQ的方程为3x+y-3=0.点(0,0)到直线PQ的距离d=310=31010,PQ=24-(31010) 2=3105.(2)MC=2,|NC|=22,SMNC=12|MC|NC|sinMCN=2sinMCN.当MCN=90°时,SMNC取得最大值.此时MCNC,又kCM=1,则直线NC的方程为y=-x+4.由y=-x+4,(x-3)2+(y-1)2=8,得N(1,3)或N(5,-1).当点N为(1,3)时,kMN=-3,此时MN的方程为3x+y-6=0.当点N为(5,-1)时,kMN=-13,此时MN的方程为x+3y-2=0.MN的方程为3x+y-6=0或x+3y-2=0.新情境创新练17.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径;(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程;若没有,说明理由.解(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a),则半径r=|a-2a+1|12+12=|a-1|2,两圆的圆心距为(a-1)2+(2a-2)2=5|a-1|=10r,因为两圆外切,所以10r=r+9,r=10+1.(2)如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2),若斜率不存在,则直线方程为:x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=|a-1|2,由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线,若斜率存在,设公切线方程为y-2=k(x-1),则d=|ka-2a+2-k|1+k2=r=|a-1|2对任意的a都成立,|(k-2)(a-1)|1+k2=|a-1|2,|k-2|1+k2=12,两边平方并化简得k2-8k+7=0,解得k=1或k=7,当k=1时,直线与l1重合,当k=7时,直线方程为7x-y-5=0,故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0.5