2021_2022版新教材高中数学第七章三角函数7.3.1正弦函数的性质与图象课时素养评价含解析新人教B版必修第三册.doc
正弦函数的性质与图象(20分钟35分)1.(2020·济南高一检测)函数y=-sin x在0,2上的图象是()【解析】选D.根据五点法找出五个特殊点,分别为(0,0),(,0),(2,0),然后描点并用光滑的曲线连接.【补偿训练】 函数y=-sin |x|的图象是()【解析】选D.因为函数y=-sin |x|是定义域R上的偶函数,图象关于y轴对称,所以排除A;因为函数y=-sin |x|的值有正有负,所以排除C;当x0时,y=-sin x,所以排除B.2.函数y=cos2x-sin x+1的值域是()A.0,2 B. C.1,3 D.【解析】选D.根据同角三角函数关系式,化简可得y=cos2x-sin x+1=1-sin2x-sin x+1,令t=sin x,t,则y=-t2-t+2=-+,由二次函数性质可知,当t=-时,取得最大值,当t=1时,取得最小值为0,所以值域为.3.下列函数是奇函数的是()A.y=sin B.y=xsinC.y=-sin D.y=sin(-)【解析】选B.对于A选项,函数的定义域为R,设f(x)=sin|x|,f(-x)=sin|x|=f(x),故函数为偶函数,不符合题意.对于B选项,函数的定义域为R,设f(x)=xsin|x|,f(-x)=-xsin|x|=-f(x),故函数为奇函数,符合题意.对于C选项,函数的定义域为R,设f(x)=-sin|x|,f(-x)=-sin|x|=f(x),故函数为偶函数,不符合题意.对于D选项,函数的定义域为R,设f(x)=sin(-|x|),f(-x)=sin(-|x|)=f(x),故函数为偶函数,不符合题意.4.(2020·济南高一检测)函数f(x)=sin(x+)满足f=1,则f的值是()A.0B. C. D.1【解析】选A.由f(x)=sin(x+)满足f=1,得sin=1,即+=+2k,kZ.则=+2k,kZ.所以f(x)=sin(x+)=sin=sin.所以f=sin =0.5.不等式-sin x-cos2x-m0对任意的xR恒成立,则实数m的最小值为. 【解析】由-sin x-cos2x-m0得m-sin x-cos2x=sin2x-sin x-,由题意可知,不等式msin2x-sin x-对任意的xR恒成立,则m.另一方面y=sin2x-sin x-=-,且-1sin x1.所以函数y=sin2x-sin x-在sin x=-1时取得最大值,即ymax=2-=,所以m.因此,实数m的最小值为.答案:6.用“五点法”作出函数y=-1-sin x,x0,2的图象,并说明它的图象由y=sin x,x0,2的图象经过怎样的变换得到.【解析】列表.x02sin x010-10-1-sin x-1-2-10-1描点作图.要作出y=-1-sin x,x0,2的图象,先由正弦函数y=sin x,x0,2作关于x轴的对称图象,再向下平移1个单位得到.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.方程sin2x-2sin x-a=0在xR上有解,则a的取值范围是()A.-1,+) B.(-1,+)C.-1,3 D.-1,3)【解析】选C.由于sin2x-2sin x-a=0,即a=sin2x-2sin x=(sin x-1)2-1,令t=sin x,t-1,1,所以y=(t-1)2-1-1,3,故a-1,3.2.设f(x)是定义域为R且最小正周期为2的函数,且有f(x)=则f=()A.B.-C.0D.1【解析】选A.因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2的函数,所以f=f=f.又因为0,所以f=f=sin=.3.设函数y=sin x的定义域为m,n,值域为,令t=n-m,则t的最大值与最小值的和为()A.2 B.C.D.【解析】选A.因为函数y=sin x的定义域为m,n,值域为,结合正弦函数y=sin x的图象与性质,不妨取m=-,n=,此时n-m取得最大值为,取m=-,n=,n-m取得最小值为,则t的最大值与最小值的和为2.【补偿训练】已知函数f(x)=2sin x,对任意的xR都有f(x1)f(x)f(x2),则|x1-x2|的最小值为()A.B.C.D.2【解析】选C.由不等式f(x1)f(x)f(x2)对任意xR恒成立,不难发现f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sin x的半个周期.因为f(x)=2sin x的周期为2,所以|x1-x2|的最小值为.4.(2020·长沙高一检测)函数f(x)=的图象大致为()【解析】选A.因为f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除B,C,又因为f=>0,排除D.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020·潍坊高一检测)已知函数y=2sin x的定义域为a,b,值域为-2,1,则b-a的值可能是()A.B.C.D.【解析】选BCD.因为y=2sin x的定义域为a,b,值域为-2,1,所以xa,b时,-1sin x,故sin x能取得最小值-1,最大值只能取到.在内考虑:当a=-,b=或a=-,b=-时,b-a最小,为;a=-,b=时,b-a最大,为,即b-a,故b-a的值可能为,.6.已知函数f(x)=|tan x|·cos x,则下列说法正确的是()A.f(x)的最小正周期为B.f(x)的图象关于中心对称C.f(x)在区间上单调递增D.f(x)的值域为-1,1【解析】选BC.因为函数f(x)=|tan x|·cos x=画出函数f(x)的图象,如图所示:所以f(x+2)=|tan(x+2)|·cos(x+2)=|tan x|·cos x,f(x)的最小正周期是2,根据f(x)的图象,f(x)的图象关于中心对称,f(x)在区间上单调递增,f(x)的值域为(-1,1).三、填空题(每小题5分,共10分)7.函数f(x)=lg(1+2sin x)的值域为. 【解析】因为0<1+2sin x3,故lg(1+2sin x)lg 3.答案:【补偿训练】函数y=2-4sin x-4cos2x的最大值是,函数取最大值时对应的x的值是. 【解析】y=2-4sin x-4cos2x=2-4sin x-4=4-3,当sin x=-1,即x=-+2k,kZ时,函数取得最大值,最大值为4×(-1)2-4×(-1)-2=6.答案:62k-,kZ8.(2020·潍坊高一检测)若函数y=sin x-x有两个零点,则实数m的取值范围为,两个零点之和为. 【解析】由sin x-=0得sin x=.在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x的图象与直线y=,如图所示.由图知,当<1,即m<2时,两图象有两个交点,即原函数有两个零点,此时m.设两个零点分别为x1,x2,由于两交点关于直线x=对称,所以=,所以x1+x2=.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=.(1)化简f(x)并求f的值;(2)设函数g(x)=1-2f(x)且x,求函数g(x)的单调区间和值域.【解析】(1)f(x)=sin x,f=sin=-sin=-sin=.(2)因为f(x)=sin x,所以g(x)=1-2sin x,x,所以g(x)的减区间为,增区间为.因为-x,所以-sin x1,所以-11-2sin x2,所以g(x)的值域为-1,2.10.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是,且当x时,f(x)=sin x.(1)当x-,0时,求f(x)的解析式.(2)画出函数f(x)在-,上的函数简图.(3)当f(x)时,求x的取值范围.【解析】(1)若x,则-x.因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.若x,则+x,因为f(x)是最小正周期为的周期函数,所以f(x)=f(+x)=sin(+x)=-sin x,所以x-,0,f(x)=-sin x.(2)函数f(x)在-,上的函数简图,如图所示:(3)x0,sin x,可得x,函数周期为,因此x的取值范围是k+xk+,kZ.1.函数y=的单调递增区间为. 【解析】设u=sin x,由复合函数的单调性知,求原函数的单调递增区间即求u=sin x的单调递减区间,结合u=sin x的图象知2k+x2k+,kZ.答案:(kZ)2.已知函数f(x)=sin x-2|sin x|,x0,2,(1)作出函数f(x)的图象,并写出f(x)的单调区间;(2)讨论g(x)=sin x-2|sin x|-k,x0,2的零点个数,并求此时k的取值范围.【解析】(1)f(x)=图象如图,由图象可知f(x)的递增区间为,;f(x)的递减区间为,.(2)由图象可知:当k>0或k<-3时,直线y=k与函数f(x)有0个交点;当k=-3时,直线y=k与函数f(x)有1个交点;当-3<k<-1时,直线y=k与函数f(x)有2个交点;当k=0或k=-1时,直线y=k与函数f(x)有3个交点;当-1<k<0时,直线y=k与函数f(x)有4个交点.【补偿训练】设函数f=函数g=则方程f=g根的个数是()A.6B.7C.8D.9【解析】选B.x0时,f(x)=2x,g(x)=x2,它们的图象有两个交点(2,4),(4,16),x<0时,y=是周期函数,最小正周期是,其最大值是1,而lg-(-10)=1,-<-10<-3,x<0时,作出函数f(x),g(x)的图象,如图,由图象可以看出,它们有5个交点,所以函数f(x),g(x)的图象在R上有7个交点,即方程f=g有7个根.
