2021_2022学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何2.1从平面向量到空间向量2.2空间向量的运算课后篇巩固提升训练含解析北师大版选择性必修第一册.docx
第三章空间向量与立体几何§2空间向量与向量运算2.1从平面向量到空间向量2.2空间向量的运算课后篇巩固提升合格考达标练1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量是()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b+cD.12a-12b+c答案A解析由题意,BM=BC+CC1+C1M=BC+CC1+12C1A1=BC+CC1-12(AB+BC)=-12AB+12BC+CC1=-12a+12b+c.故选A.2.已知三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,则AE-12(AC+AD)=()A.BDB.DBC.12BDD.12DB答案D解析如图,取CD的中点F,连接AF,EF,三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,AE-12(AC+AD)=AE-AF=FE=12DB.故选D.3.已知e1,e2为单位向量,且e1e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3答案B解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,2k-12=0,k=6.4.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案B解析因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(AB-AC)=AB2-AC2=0,所以|AB|=|AC|,因此ABC是等腰三角形.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则A1B·B1C=.答案a2解析A1B·B1C=A1B·A1D=|A1B|A1D|cos<A1B,A1D>=2a·2a·cos60°=a2.6.已知|a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+b,<a,b>=135°,mn,则=. 答案-32解析由mn得m·n=0.m·n=(a+b)·(a+b)=a2+(+1)a·b+b2=18+(+1)×122×-22+16=6+4=0,=-32.7.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GMGA=13,设AB=a,AC=b,AD=c,试用a,b,c表示BG,BN.解BG=BM+MG=BM-14AM=BM-14(AB+BM)=34BM-14a=34×23×12(BC+BD)-14a=14(b-a+c-a)-14a=-34a+14b+14c;BN=AN-AB=23×12(AC+AD)-AB=13b+13c-a.8.在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45°,OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦值.解因为BC=AC-AB,所以OA·BC=OA·AC-OA·AB=|OA|AC|·cos<OA,AC>-|OA|AB|cos<OA,AB>=8×4×cos135°-8×6×cos120°=-162+24,所以cos<OA,BC>=OA·BC|OA|BC|=24-1628×5=3-225,即OA与BC所成角的余弦值为3-225.等级考提升练9.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,M,N分别是BC,CD的中点,如图所示,则AB+12(BD+BC)等于()A.ANB.CNC.BCD.12BC答案A解析AB+12(BD+BC)=AB+12BD+12BC=AB+MN+BM=AN,故选A.10.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且AO+OB=DO+OC,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.空间四边形C.等腰梯形D.矩形答案A解析由AO+OB=AB=DO+OC=DC,得AB=DC,故四边形ABCD为平行四边形,故选A.11.已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60°,其模都为1,则|a-b+2c|等于()A.5B.5C.6D.6答案A解析|a-b+2c|2=a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c=5.|a-b+2c|=5.12.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=2,且a与2b-a互相垂直,则<a,b>=()A.30°B.45°C.60°D.90°答案B解析a·(2b-a)=2a·b-a2=2|a|b|cos<a,b>-|a|2=42cos<a,b>-4=0.cos<a,b>=22,又<a,b>0°,180°,<a,b>=45°.13.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题,其中正确的有()A.(AA1+AD+AB)2=3AB2B.A1C·(A1B1-A1A)=0C.AD1与A1B的夹角为60°D.正方体的体积为|AB·AA1·AD|答案AB解析如图所示,(AA1+AD+AB)2=(AA1+A1D1+D1C1)2=AC12=3AB2;A1C·(A1B1-A1A)=A1C·AB1=0;AD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角,而D1C与D1A的夹角为60°,故AD1与A1B的夹角为120°正方体的体积为|AB|AA1|AD|.故A,B正确.14.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有OM=xOA+13OB+13OC,则x的值为. 答案13解析点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有OM=xOA+13OB+13OC,x+13+13=1,解得x=13.15.设向量a与b互相垂直,向量c与它们的夹角都是60°,且|a|=5,|b|=3,|c|=8,那么(a+3c)·(3b-2a)=. 答案-62解析(a+3c)·(3b-2a)=3a·b-2|a|2+9b·c-6a·c=-2×25+9×3×8×12-6×5×8×12=-62.16.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=12ND,求MN.解MN=MB+BC+CN=23AB+(AC-AB)+13(AD-AC)=-13AB+13AD+23AC,MN·MN=-13AB+13AD+23AC·-13AB+13AD+23AC=19AB2+19AD2+49AC2-29AB·AD-49AB·AC+49AD·AC=69a2-29a2cos60°-49a2cos60°+49a2cos60°=59a2,故|MN|=MN·MN=53a,即MN=53a.新情境创新练17.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.(1)求证:CEA'D;(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.(1)证明设CA=a,CB=b,CC'=c,根据题意得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.CE=b+12c,A'D=-c+12b-12a.CE·A'D=b+12c·-c+12b-12a=-12c2+12b2=0,CEA'D,即CEA'D.(2)解AC'=-a+c,|AC'|=2|a|,|CE|=52|a|.AC'·CE=(-a+c)·b+12c=12c2=12|a|2,cos<AC',CE>=12|a|22·52|a|2=1010.异面直线CE与AC'所成角的余弦值为1010.- 6 -
