2021_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课时素养评价含解析新人教A版选修2_.doc
课时素养评价六函数的极值与导数(15分钟30分)1.函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是 ()A.a>0B.a0C.a<0D.a0【解析】选C.因为f(x)=3ax2+1,所以f(x)=3ax2+1=03a=-<0,即a<0,反之a<0,f(x)=3ax2+1=0一定有根.2.设函数f(x)的定义域为R,x0是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.xR,f(x)fB.-x0是f的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f的极小值点【解析】选D.对于A选项,函数的极大值不一定是函数的最大值,所以错;对于B中的f(-x)是将f(x)的图象关于y轴对称,所以-x0是其极大值点,错误;对于C中的-f(x)是将f(x)的图象关于x轴对称,所以x0才是其极小值点,错误;而对于D中的-f(-x)是将f(x)的图象关于原点对称,故-x0是其极小值点,正确.3.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象,给出下列说法:-3是函数y=f(x)的极值点;-1是函数y=f(x)的最小值点;y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.则正确说法的序号是_. 【解析】根据导函数图象可知当x(-,-3)时,f(x)<0,在x(-3,1)时,f(x)0,所以函数y=f(x)在(-,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,故正确;则-3是函数y=f(x)的极小值点,故正确;因为在(-3,1)上单调递增,所以-1不是函数y=f(x)的最小值点,故不正确;因为函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,所以切线的斜率大于零,故不正确.答案:4.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为_. 【解析】因为x=2是f(x)的极大值点,又f(x)=x(x2-2cx+c2),所以f(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.所以f(2)=c2-8c+12=0.得c=2或c=6.当c=2时,不能取极大值,故c=6.答案:65.设函数f(x)=x2-2x-4ln x,求f(x)的极值.【解析】由已知,f(x)的定义域为,f(x)=2x-2-=,令f(x)=0,得2x2-2x-4=0.又x>0,所以x=2,当0<x<2时,f(x)<0;当x>2时,f(x)>0.因此,当x=2时,f(x)有极小值,极小值为f=-4ln 2,f(x)无极大值.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为()A.1,-3B.1,3C.-1,3D.-1,-3【解析】选A.f(x)=3ax2+b,由题意可知解得2.如图是定义在上的函数f(x)的导函数的图象,则函数f(x)的极值点的个数为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.设导函数的零点分别为x1,x2,x3,x4.则函数f(x)在(a,x1)上单调递增,(x1,x2)上单调递减,(x2,x3)上单调递增,(x3,x4)上单调递增,(x4,b)上单调递减,故函数f(x)在x1取极大值,在x2取极小值,在x4取极大值.3.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则+等于()A.B.C.D.【解析】选C.函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点(0,0),(1,0),(2,0),得d=0,b+c+1=0,4b+2c+8=0,则b=-3,c=2,f(x)=3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且x1,x2是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的两个极值点,即x1,x2是方程3x2-6x+2=0的实根,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=4-=.4.函数f(x)=aex-sin x在x=0处有极值,则a的值为()A.-1B.0C.1D.e【解析】选C.由题意得:f(x)=aex-cos x,因为f(x)在x=0处有极值,所以f(0)=a-cos 0=a-1=0,解得:a=1,经检验满足题意.5.若x=-2是函数f(x)=x3-ax2-2x+1的一个极值点,则函数f(x)的极小值为()A.-B.-C.D.【解析】选B.因为f(x)=x3-ax2-2x+1,所以f(x)=x2-2ax-2,由题意得f=2+4a=0,解得a=-,所以f(x)=x3+x2-2x+1,所以f(x)=x2+x-2=.当x<-2或x>1时,f(x)>0;当-2<x<1时,f(x)<0.所以,函数y=f(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为,当x=1时,函数y=f(x)取得极小值f=+-2+1=-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:函数y=f(x)在区间内单调递增;函数y=f(x)在区间内单调递减;函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;当x=2时,函数y=f(x)有极小值;当x=-时,函数y=f(x)有极大值.则上述判断正确的是_.(填序号) 【解析】函数的单调性由导数的符号确定,当x(-,-2)时,f(x)<0,所以f(x)在(-,-2)上为减函数,同理f(x)在(2,4)上为减函数,在(-2,2)上是增函数,在(4,+)上为增函数,所以可排除和,正确.由于函数在x=2的左侧递增,右侧递减,所以x=2时,函数有极大值;而在x=-的左右两侧,函数的导数都是正数,故函数在x=-的左右两侧均为增函数,所以x=-不是函数的极值点.排除和.答案:7.若函数f(x)=x2+(a-1)x-aln x没有极值,则a=_. 【解析】f(x)=(x-1),x>0,当a0时,+1>0.令f(x)<0,得0<x<1;令f(x)>0,得x>1.f(x)在x=1处取极小值.当a<0时,方程+1=0必有一个正数解x=-a,(1)若a=-1,此正数解为x=1,此时f(x)=0,f(x)在(0,+)上单调递增,无极值.(2)若a-1,此正数解为x1,f(x)=0必有2个不同的正数解,f(x)存在2个极值.综上,a=-1.答案:-18.已知函数f(x)=ln x-的极小值大于0,则实数m的取值范围为_. 【解析】由f(x)=ln x-,得f(x)=(x>0),令f(x)=0,则x=-m,因为f(x)=ln x-的极小值大于0,必有极小值点-m>0,故m<0,所以当x>-m时,f(x)>0,当0<x<-m时,f(x)<0,所以f(x)在(0,-m)上单调递减,在(-m,+)上单调递增,所以f(x)的极小值=f(-m)=ln(-m)+1>0,所以m<-.综上m的取值范围为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=ax2+bln x在x=1处有极值.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.【解析】(1)因为f(x)=2ax+.又f(x)在x=1处有极值,所以即解得a=,b=-1.(2)由(1)可知f(x)=x2-ln x,其定义域是,f(x)=x-=.由f(x)<0,得0<x<1;由f(x)>0,得x>1.所以函数y=f(x)的单调减区间是,单调增区间是.10.设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.【解析】(1)由f(x)=ln x-2ax+2a,可得g(x)=ln x-2ax+2a,x(0,+),则g(x)=-2a=,当a0时,x(0,+)时,g(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0时,x时,g(x)>0,函数g(x)单调递增,x时,g(x)<0,函数g(x)单调递减.所以当a0时,g(x)的单调递增区间为(0,+);当a>0时,g(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由(1)知,f(1)=0.当a0时,f(x)单调递增.所以当x(0,1)时,f(x)<0,f(x)单调递减.当x(1,+)时,f(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0<a<时,>1,由(1)知f(x)在内单调递增,可得当x(0,1)时,f(x)<0,x时,f(x)>0,所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=时,=1,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以当x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a>时,0<<1,当x时,f(x)>0,f(x)单调递增,当x(1,+)时,f(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.综上可知,实数a的取值范围为.1.函数f(x)=ex(其中e=2.718是自然对数的底数)的极值点是_;极大值=_. 【解析】由已知得f(x)=ex=ex=(x+2)(x-1)ex,因为ex>0,令f(x)=0,可得x=-2或x=1,当x<-2时f(x)>0,即函数f(x)在(-,-2)上单调递增;当-2<x<1时,f(x)<0,即函数f(x)在区间(-2,1)上单调递减;当x>1时,f(x)>0,即函数f(x)在区间(1,+)上单调递增.故f(x)的极值点为-2,1,且极大值为f(-2)=.答案:1,-22.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=1时有极值2,则m+n=_. 【解析】由题意知f(x)=3x2+6mx+n,又在x=1时有极值2,所以或当m=-1,n=3时f(x)=x3-3x2+3x+1,f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2,f(x)0恒成立,与题意在x=1时有极值矛盾,舍去,故m+n=-23.答案:-23
