2021_2021学年高中数学单元素养评价第二章变化率与导数含解析北师大版选修2_.doc

单元素养评价(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.函数y=x2+x在x=1到x=1+x之间的平均变化率为()A.x+2B.2x+(x)2C.x+3D.3x+(x)2【解析】选C.y=(1+x)2+1+x-1-1=(x)2+3x，所以=x+3.2.下列式子不正确的是()A.(3x2+cos x)=6x-sin xB.(ln x-2x)=-2xln 2C.(2sin 2x)=2cos 2xD.=【解析】选C.对于选项A，(3x2+cos x)=6x-sin x成立，故A正确；对于选项B，(ln x-2x)=-2xln 2成立，故B正确；对于选项C，(2sin 2x)=4cos 2x2cos 2x，故C不正确；对于选项D，=成立，故D正确.3.(2019·全国卷)已知曲线y=aex+xln x在点(1，ae)处的切线方程为y=2x+b，则()A.a=e，b=-1 B.a=e，b=1C.a=e-1，b=1 D.a=e-1，b=-1【解析】选D.令f(x)=aex+xln x，则f(x)=aex+ln x+1，f(1)=ae+1=2，得a=e-1.f(1)=ae=2+b，可得b=-1.【加练·固】已知曲线y=2ax2+1过点(，3)，则该曲线在该点处的切线方程为()A.y=-4x-1B.y=4x-1C.y=4x-11D.y=-4x+7【解析】选B.因为曲线过点(，3)，所以3=2a2+1，所以a=1，所以切点为(1，3).由导数定义可得y=4ax=4x，所以该点处切线斜率k=4，所以切线方程为y-3=4(x-1)，即y=4x-1.4.若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为()A.(1，3)B.(1，-3)C.(1，0)D.(-1，0)【解析】选C.设P点坐标为(x0，y0)，则k=f(x0)=4-1=3，解得x0=1，此时y0=0.5.曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.-9B.-3C.9D.5【解析】选C.因为f(x)=3x2，切点P(1，12)，所以切线的斜率k=3×12=3.故切线方程为y-12=3(x-1)，即3x-y+9=0，令x=0，得y=9.6.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.y=(x+1)2(x-1)+(x+1)2(x-1)=2(x+1)·(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1，所以当x=1时，y=4.7.已知函数y=f(x)，y=g(x)的导函数的图像如图所示，那么y=f(x)，y=g(x)的图像可能是()【解析】选D.由导函数y=f(x)的图像可知y=f(x)在(0，+)上单调递减，说明函数y=f(x)的图像上任意一点切线的斜率为单调递减，故可排除A，C.又由图像知y=f(x)与y=g(x)在点x=x0处相交，说明y=f(x)与y=g(x)的图像在x=x0处的切线斜率相同，故可排除B.8.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图像如图所示，则导函数y=f(x)的图像可能为()【解析】选A.由f(x)的图像判断可得，从左到右函数在y轴左侧先增，再减，在y轴的右侧，函数单调递减，所以导函数y=f(x)的图像可能在区间(-，0)内，先有f(x)>0，再有f(x)<0，在(0，+)有f(x)<0.9.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x1，x2(x1x2)，|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|恒成立”的只有()A.f(x)=B.f(x)=|x|C.f(x)=2xD.f(x)=x2【解析】选A.由已知得<1，则|<1(k指斜率)，即曲线在(1，2)上任意两点连线的斜率在区间(-1，1)内.A中f(x)=-，当x(1，2)时，f(x)，满足题意；B中在(1，2)上k=1，不满足题意；C中(2x)=2x·ln 2，不满足题意；D中(x2)=2x，不满足题意.10.已知曲线f(x)=ln x在点(2，f(2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则实数a的值为()A.B.-2C.2D.-【解析】选C.f(x)=ln x的导数为f(x)=，可得曲线f(x)=ln x在点(2，f(2)处的切线斜率为，切线与直线ax+y+1=0垂直，可得-a·=-1，解得a=2.11.如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图像，则函数g(x)=ex+f(x)的零点所在的区间是()A.(-1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)【解析】选B.由图像可知，0<f(0)=a<1，f(1)=0，即1-b+a=0，由可得1<b<2，g(x)=ex+2x-b，且g(0)=1-b<0，g(1)=e+2-b>0，又g(x)的图像连续不断且g(x)为增函数，所以g(x)在(0，1)上必存在零点.12.若函数f(x)=-eax(a>0，b>0)的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是()A.4B.2C.2D.【解析】选D.f(x)=-eax，因此切线的斜率k=f(0)=-，切点为，切线方程为y+=-(x-0)，即ax+by+1=0，由于与圆相切，所以=1，则a2+b2=1，由，得a+b，当仅且当a=b时取等号.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)13.曲线C：f(x)=sin x+ex+2在x=0处的切线方程为_. 【解析】因为f(x)=cos x+ex，所以k=f(0)=cos 0+e0=2，且f(0)=sin 0+e0+2=3，所以所求切线方程为y-3=2(x-0)，即2x-y+3=0.答案：2x-y+3=014.已知f(x)=x2+2xf(1)，则f(0)=_. 【解析】f(x)=x2+2xf(1)=2x+2f(1)，则f(1)=2×1+2f(1)，所以f(1)=-2，所以f(0)=2×0+2f(1)=-4.答案：-4【加练·固】已知函数f(x)=x3-f(1)·x2+x+5，则f(1)=_. 【解析】因为f(x)=x3-f(1)·x2+x+5，所以f(x)=x2-2f(1)·x+1，令x=1，得f(1)=1-2f(1)+1，得f(1)=.答案：15.已知函数f(x)=aex+e-x的导函数f(x)的图像关于原点对称，则a=_. 【解题指南】先求导，再根据奇函数的性质即可求出a的值.【解析】函数f(x)=aex+e-x的导函数f(x)=aex-e-x的图像关于原点对称，所以f(-x)=-f(x)，所以ae-x-ex=-aex+e-x，所以a=1.答案：116.已知函数g(x)=a-x2xe，e为自然对数的底数与h(x)=2ln x的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是_. 【解析】因为函数g(x)=a-x2xe，e为自然对数的底数与h(x)=2ln x的图像上存在关于x轴对称的点，所以方程a-x2=-2ln x，即-a=2ln x-x2在上有解.令f(x)=2ln x-x2，则f(x)=-2x=，因为xe，所以f(x)在x=1处有唯一的极大值点.因为f=-2-，f(e)=2-e2，f(x)的极大值为f(1)=-1，且f(e)<f，故方程-a=2ln x-x2在上有解等价于2-e2-a-1，即1ae2-2，故实数a的取值范围是1，e2-2.答案：1，e2-2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标.(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程.【解析】(1)由y=x3+x-2，得y=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解得x=±1.当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(-1，-4).(2)因为直线ll1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为-.因为l过切点P0，点P0的坐标为(-1，-4)，所以直线l的方程为y+4=-(x+1)，即x+4y+17=0.18.(12分)已知f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d，又f(2x+1)=4g(x)，且f(x)=g(x)，f(5)=30，求g(2)的值.【解析】因为f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d，因为由f(2x+1)=4g(x)得，(4+2a-4c)x+1+a+b-4d=0，即a-2c+2=0，a+b-4d+1=0；又因为f(x)=g(x)，所以a=c，又由f(5)=30，得5a+b=5，四个方程联立求得：a=c=2，b=-5，d=-，则g(x)=x2+2x-，所以g(2)=4+4-=.19.(12分)设t0，点P(t，0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点，两函数的图像在点P处有相同的切线.试用t表示a，b，c.【解析】因为函数f(x)，g(x)的图像都过点(t，0)，所以f(t)=0，即t3+at=0.因为t0，所以a=-t2.g(t)=0，即bt2+c=0，所以c=ab.又因为f(x)，g(x)在点(t，0)处有相同的切线，所以f(t)=g(t).而f(x)=3x2+a，g(x)=2bx，所以3t2+a=2bt.将a=-t2代入上式得b=t.因此c=ab=-t3.故a=-t2，b=t，c=-t3.【拓展延伸】利用导数研究曲线的切线问题的三个注意点(1)导数与斜率：函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标.(2)切点坐标满足切线与曲线方程：切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其他的公共点.(3)“在”与“过”的区别：曲线y=f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率k=f(x0)，是唯一的一条切线；曲线y=f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.20.(12分)(2020·全国卷)已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)x3+1，求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时，f=ex+x2-x，f=ex+2x-1，由于f=ex+2>0，故f单调递增，注意到f=0，故当x时，f<0，f单调递减，当x时，f>0，f单调递增.(2)由fx3+1得，ex+ax2-xx3+1，其中x0，当x=0时，不等式为：11，显然成立，符合题意；当x>0时，分离参数a得，a-，记g=-，g=-，令h=ex-x2-x-1，则h=ex-x-1，h=ex-10，故h单调递增，hh=0，故函数h单调递增，hh=0，由h0可得：ex-x2-x-10恒成立，故当x时，g>0，g单调递增；当x时，g<0，g单调递减，因此，=g=，综上可得，实数a的取值范围是.21.(12分)设函数f(x)=aexln x+，(1)求导函数f(x).(2)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2，求a，b.【解析】(1)由f(x)=aexln x+，得f(x)=(aexln x)+=aexln x+.(2)由于切点既在函数曲线上，又在切线上，将x=1代入切线方程得：y=2.将x=1代入函数f(x)得：f(1)=b，所以b=2.将x=1代入导函数，则f(1)=ae=e.所以a=1.22.(12分)求满足下列条件的函数f(x).(1)f(x)是三次函数，且f(0)=3，f(0)=0，f(1)=-3，f(2)=0.(2)f(x)是二次函数，且x2f(x)-(2x-1)f(x)=1.【解析】(1)由题意设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)，则f(x)=3ax2+2bx+c.由已知解得a=1，b=-3，c=0，d=3，故f(x)=x3-3x2+3.(2)由题意设f(x)=ax2+bx+c(a0)，则f(x)=2ax+b.所以x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1，化简得(a-b)x2+(b-2c)x+c=1，此式对任意x都成立，所以解得a=2，b=2，c=1，即f(x)=2x2+2x+1.