2021届中考数学总复习 二十二 圆精练精析1 华东师大版.doc

图形的性质圆1一选择题（共8小题）1如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）AB1C1D12已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，AB=8cm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（）AcmBcmCcm或cmDcm或cm3如图，O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A2B4C6D84如图，在平面直角坐标系中，P的圆心坐标是（3，a）（a3），半径为3，函数y=x的图象被P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A4BCD5已知O的面积为2，则其内接正三角形的面积为（）A3B3CD6如图，半径为3的O内有一点A，OA=，点P在O上，当OPA最大时，PA的长等于（）ABC3D27在ABC中，AB=AC=5，sinB=，O过点B、C两点，且O半径r=，则OA的长为（）A3或5B5C4或5D48如图，B，C，D是半径为6的O上的三点，已知的长为2，且ODBC，则BD的长为（）A3B6C6D12二填空题（共7小题）9如图，O的半径是5，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P，若CD=8，则ACD的面积是_10正六边形的中心角等于_度11如图，以ABC的边BC为直径的O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若A=65°，则DOE=_12如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_13如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，BCD=22°30，则O的半径为_cm14如图，O的半径是2，直线l与O相交于A、B两点，M、N是O上的两个动点，且在直线l的异侧，若AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是_15O的半径为2，弦BC=2，点A是O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为_三解答题（共8小题）16一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，OCAB，AB=24m，sinCOB=，DE是水位线，DEAB（1）当水位线DE=4m时，求此时的水深；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时ACD的余切值17如图，已知在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DFAC于F（1）求证：DF为O的切线；（2）若DE=，AB=，求AE的长18如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点M在O上，MD恰好经过圆心O，连接MB（1）若CD=16，BE=4，求O的直径；（2）若M=D，求D的度数19如图，O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围20如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，PB与CD交于点F，PBC=C（1）求证：CBPD；（2）若PBC=22.5°，O的半径R=2，求劣弧AC的长度21如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若B=70°，求CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长22如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，ODBC交O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cosABC=，求tanDBC的值23如图，PA，PB分别与O相切于点A，B，APB=60°，连接AO，BO（1）所对的圆心角AOB=_；（2）求证：PA=PB；（3）若OA=3，求阴影部分的面积图形的性质圆1参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）AB1C1D1考点：扇形面积的计算分析：图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即1=解答：解：如图：正方形的面积=S1+S2+S3+S4；两个扇形的面积=2S3+S1+S2；，得：S3S4=S扇形S正方形=1=故选：A点评：本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键2已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，AB=8cm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（）AcmBcmCcm或cmDcm或cm考点：垂径定理；勾股定理专题：分类讨论分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论解答：解：连接AC，AO，O的直径CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM=3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC=4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在RtAMC中，AC=2cm故选：C点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键3如图，O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A2B4C6D8考点：垂径定理；勾股定理专题：计算题分析：根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长解答：解：CE=2，DE=8，OB=5，OE=3，ABCD，在OBE中，得BE=4，AB=2BE=8故选：D点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握4如图，在平面直角坐标系中，P的圆心坐标是（3，a）（a3），半径为3，函数y=x的图象被P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A4BCD考点：垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理专题：计算题；压轴题分析：PCx轴于C，交AB于D，作PEAB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则OCD为等腰直角三角形，PED也为等腰直角三角形由PEAB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在RtPBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+解答：解：作PCx轴于C，交AB于D，作PEAB于E，连结PB，如图，P的圆心坐标是（3，a），OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，D点坐标为（3，3），CD=3，OCD为等腰直角三角形，PED也为等腰直角三角形，PEAB，AE=BE=AB=×4=2，在RtPBE中，PB=3，PE=，PD=PE=，a=3+故选：B点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质5已知O的面积为2，则其内接正三角形的面积为（）A3B3CD考点：垂径定理；等边三角形的性质专题：几何图形问题分析：先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可解答：解：如图所示，连接OB、OC，过O作ODBC于D，O的面积为2O的半径为ABC为正三角形，BOC=120°，BOD=BOC=60°，OB=，BD=OBsinBOD=，BC=2BD=，OD=OBcosBOD=cos60°=，BOC的面积=BCOD=××=，ABC的面积=3SBOC=3×=故选：C点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键6如图，半径为3的O内有一点A，OA=，点P在O上，当OPA最大时，PA的长等于（）ABC3D2考点：垂径定理；圆周角定理分析：当PAOA时，PA取最小值，OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可解答：解：OA、OP是定值，在OPA中，当OPA取最大值时，PA取最小值，PAOA时，PA取最小值；在直角三角形OPA中，OA=，OP=3，PA=故选B点评：本题考查了解直角三角形解答此题的关键是找出“当PAOA时，PA取最小值”即“PAOA时，OPA取最大值”这一隐含条件7在ABC中，AB=AC=5，sinB=，O过点B、C两点，且O半径r=，则OA的长为（）A3或5B5C4或5D4考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形专题：分类讨论分析：作ADBC于D，由于AB=AC=5，根据等腰三角形的性质得AD垂直平分BC，根据垂径定理的推论得到点O在直线AD上，连结OB，在RtABD中，根据正弦的定义计算出AD=4，根据勾股定理计算出BD=3，再在RtOBD中，根据勾股定理计算出OD=1，然后分类讨论：当点A与点O在BC的两侧，有OA=AD+OD；当点A与点O在BC的同侧，有OA=ADOD，即求得OA的长解答：解：如图，作ADBC于D，AB=AC=5，AD垂直平分BC，点O在直线AD上，连结OB，在RtABD中，sinB=，AB=5，AD=4，BD=3，在RtOBD中，OB=，BD=3，OD=1，当点A与点O在BC的两侧时，OA=AD+OD=4+1=5；当点A与点O在BC的同侧时，OA=ADOD=41=3，故OA的长为3或5故选：A点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧也考查了等腰三角形的性质和勾股定理8如图，B，C，D是半径为6的O上的三点，已知的长为2，且ODBC，则BD的长为（）A3B6C6D12考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形专题：计算题分析：连结OC交BD于E，设BOC=n°，根据弧长公式可计算出n=60，即BOC=60°，易得OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质得C=60°，OBC=60°，BC=OB=6，由于BCOD，则2=C=60°，再根据圆周角定理得1=2=30°，即BD平分OBC，根据等边三角形的性质得到BDOC，接着根据垂径定理得BE=DE，在RtCBE中，利用含30度的直角三角形三边的关系得CE=BC=3，CE=CE=3，所以BD=2BE=6解答：解：连结OC交BD于E，如图，设BOC=n°，根据题意得2=，得n=60，即BOC=60°，而OB=OC，OBC为等边三角形，C=60°，OBC=60°，BC=OB=6，BCOD，2=C=60°，1=2（圆周角定理），1=30°，BD平分OBC，BDOC，BE=DE，在RtCBE中，CE=BC=3，BE=CE=3，BD=2BE=6故选：C点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了弧长公式、等边三角形的判定与性质和圆周角定理二填空题（共7小题）9如图，O的半径是5，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P，若CD=8，则ACD的面积是32考点：垂径定理；勾股定理分析：连接OD，先根据垂径定理得出PD=CD=4，再根据勾股定理求出OP的长，根据三角形的面积公式即可得出结论解答：解：连接OD，O的半径是5，AB是O的直径，弦CDAB，CD=8，PD=CD=4，OP=3，AP=OA+OP=5+3=8，SACD=CDAP=×8×8=32故答案为：32点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键10正六边形的中心角等于60度考点：正多边形和圆分析：根据正六边形的六条边都相等即可得出结论解答：解：正六边形的六条边都相等，正六边形的中心角=60°故答案为：60点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键11（2014扬州）如图，以ABC的边BC为直径的O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若A=65°，则DOE=50°考点：圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理专题：几何图形问题分析：如图，连接BE由圆周角定理和三角形内角和定理求得ABE=25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题解答：解：如图，连接BEBC为O的直径，CEB=AEB=90°，A=65°，ABE=25°，DOE=2ABE=50°，（圆周角定理）故答案为：50°点评：本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大12如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为考点：垂径定理；轴对称的性质分析：A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值解答：解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，OE=3，OF=4，CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为故答案为：点评：正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键13如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，BCD=22°30，则O的半径为2cm考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理专题：计算题分析：先根据圆周角定理得到BOD=2BCD=45°，再根据垂径定理得到BE=AB=，且BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解解答：解：连结OB，如图，BCD=22°30，BOD=2BCD=45°，ABCD，BE=AE=AB=×2=，BOE为等腰直角三角形，OB=BE=2（cm）故答案为：2点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理14如图，O的半径是2，直线l与O相交于A、B两点，M、N是O上的两个动点，且在直线l的异侧，若AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是4考点：垂径定理；圆周角定理专题：压轴题分析：过点O作OCAB于C，交O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得AOB=2AMB=90°，则OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四边形MANB=SMAB+SNAB，而当M点到AB的距离最大，MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=SDAB+SEAB=ABCD+ABCE=AB（CD+CE）=ABDE=×2×4=4解答：解：过点O作OCAB于C，交O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，AMB=45°，AOB=2AMB=90°，OAB为等腰直角三角形，AB=OA=2，S四边形MANB=SMAB+SNAB，当M点到AB的距离最大，MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=SDAB+SEAB=ABCD+ABCE=AB（CD+CE）=ABDE=×2×4=4故答案为：4点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角定理15O的半径为2，弦BC=2，点A是O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为1或3考点：垂径定理；勾股定理专题：分类讨论分析：根据题意画出图形，连接OB，由垂径定理可知BD=BC，在RtOBD中，根据勾股定理求出OD的长，进而可得出结论解答：解：如图所示：O的半径为2，弦BC=2，点A是O上一点，且AB=AC，ADBC，BD=BC=，在RtOBD中，BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1，当如图1所示时，AD=OAOD=21=1；当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3故答案为：1或3点评：本题考查的是垂径定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解三解答题（共8小题）16一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，OCAB，AB=24m，sinCOB=，DE是水位线，DEAB（1）当水位线DE=4m时，求此时的水深；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时ACD的余切值考点：垂径定理的应用；勾股定理分析：（1）延长CO交DE于点F，连接OD，根据垂径定理求出BC的长，由sinCOB=得出OB的长，根据DEAB可知ACD=CDE，DFO=BCO=90°由OF过圆心可得出DF的长，再根据勾股定理求出OF的长，进而可得出CF的长；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CFOC=3m，连接CD，在RtODF中由勾股定理求出DF的长，由cotACD=cotCDF即可得出结论解答：解：（1）延长CO交DE于点F，连接ODOCAB，OC过圆心，AB=24m，BC=AB=12m在RtBCO中，sinCOB=，OB=13mCO=5mDEAB，ACD=CDE，DFO=BCO=90°又OF过圆心，DF=DE=×4=2m在RtDFO中，OF=7m，CF=CO+OF=12m，即当水位线DE=4m时，此时的水深为12m；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CFOC=3m，连接CD，在RtODF中，DF=4m在RtCDF中，cotCDF=DEAB，ACD=CDE，cotACD=cotCDF=答：若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，此时ACD的余切值为点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键17如图，已知在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DFAC于F（1）求证：DF为O的切线；（2）若DE=，AB=，求AE的长考点：切线的判定；勾股定理专题：计算题；证明题分析：（1）连接AD，OD，则ADB=90°，ADBC；又因为AB=AC，所以BD=DC，OA=OB，ODAC，易证DFOD，故DF为O的切线；（2）连接BE交OD于G，由于AC=AB，ADBCEDBD，故EAD=BAD，=，ED=BD，OE=OB；故OD垂直平分EB，EG=BG，因为AO=BO，所以OG=AE，在RtDGB和RtOGB中，BD2DG2=BO2OG2，代入数值即可求出AE的值解答：（1）证明：连接AD，OD；AB为O的直径，ADB=90°，即ADBC；AB=AC，BD=DCOA=OB，ODACDFAC，DFODODF=DFA=90°，DF为O的切线（2）解：连接BE交OD于G；AC=AB，ADBC，ED=BD，EAD=BADED=BD，OE=OBOD垂直平分EBEG=BG又AO=BO，OG=AE在RtDGB和RtOGB中，BD2DG2=BO2OG2（）2（OG）2=BO2OG2解得：OG=AE=2OG=点评：本题比较复杂，涉及到切线的判定定理及勾股定理，等腰三角形的性质，具有很强的综合性18如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点M在O上，MD恰好经过圆心O，连接MB（1）若CD=16，BE=4，求O的直径；（2）若M=D，求D的度数考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理专题：几何综合题分析：（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由M=D，DOB=2D，结合直角三角形可以求得结果；解答：解：（1）ABCD，CD=16，CE=DE=8，设OB=x，又BE=4，x2=（x4）2+82，解得：x=10，O的直径是20（2）M=BOD，M=D，D=BOD，ABCD，D=30°点评：本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；19如图，O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围考点：垂径定理；勾股定理专题：几何图形问题分析：过点O作OEAB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论解答：解：过点O作OEAB于点E，连接OB，AB=8cm，AE=BE=AB=×8=4cm，O的直径为10cm，OB=×10=5cm，OE=3cm，垂线段最短，半径最长，3cmOP5cm点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键20如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，PB与CD交于点F，PBC=C（1）求证：CBPD；（2）若PBC=22.5°，O的半径R=2，求劣弧AC的长度考点：垂径定理；圆周角定理；弧长的计算专题：几何图形问题分析：（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出PBC=D，再由等量代换得出C=D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CBPD；（2）先由垂径定理及圆周角定理得出BOC=2PBC=45°，再根据邻补角定义求出AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度解答：解：（1）PBC=D，PBC=C，C=D，CBPD；（2）连结OC，ODAB是O的直径，弦CDAB于点E，=，PBC=C=22.5°，BOC=BOD=2C=45°，AOC=180°BOC=135°，劣弧AC的长为：=点评：本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中（2）中求出AOC=135°是解题的关键21如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若B=70°，求CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长考点：圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理专题：几何图形问题分析：（1）根据圆周角定理可得ACB=90°，则CAB的度数即可求得，在等腰AOD中，根据等边对等角求得DAO的度数，则CAD即可求得；（2）易证OE是ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得解答：解：（1）AB是半圆O的直径，ACB=90°，又ODBC，AEO=90°，即OEAC，CAB=90°B=90°70°=20°，AOD=B=70°OA=OD，DAO=ADO=55°CAD=DAOCAB=55°20°=35°；（2）在直角ABC中，BC=OEAC，AE=EC，又OA=OB，OE=BC=又OD=AB=2，DE=ODOE=2点评：本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是ABC的中位线是关键22如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，ODBC交O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cosABC=，求tanDBC的值考点：圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形专题：几何综合题分析：（1）由AB为直径，ODBC，易得ODAC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；（2）由AB=10，cosABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tanDAE，然后由圆周角定理，证得DBC=DAE，则可求得答案解答：（1）证明：AB为O的直径，ACB=90°，ODBC，AEO=ACB=90°，ODAC，=，AD=CD；（2）解：AB=10，OA=OD=AB=5，ODBC，AOE=ABC，在RtAEO中，OE=OAcosAOE=OAcosABC=5×=3，DE=ODOE=53=2，AE=4，在RtAED中， tanDAE=，DBC=DAE，tanDBC=点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用23如图，PA，PB分别与O相切于点A，B，APB=60°，连接AO，BO（1）所对的圆心角AOB=120°；（2）求证：PA=PB；（3）若OA=3，求阴影部分的面积考点：切线的性质；扇形面积的计算专题：几何综合题分析：（1）根据切线的性质可以证得OAP=OBP=90°，根据四边形内角和定理求解；（2）证明直角OAP直角OBP，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；（3）首先求得OPA的面积，即求得四边形OAPB的面积，然后求得扇形OAB的面积，即可求得阴影部分的面积解答：（1）解：PA，PB分别与O相切于点A，B，OAP=OBP=90°，AOB=360°90°90°60°=120°；（2）证明：连接OP在RtOAP和RtOBP中，RtOAPRtOBP，PA=PB；（3）解：RtOAPRtOBP，OPA=OPB=APB=30°，在RtOAP中，OA=3，AP=3，SOPA=×3×3=，S阴影=2×=93点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题23