2021_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义跟踪训练含解析新人教A版选修2_.doc

导数的几何意义 A组学业达标1如果曲线yf(x)上一点(1,3)处的切线过点(0,2)，则有()Af(1)0 Bf(1)0Cf(1)0 Df(1)不存在解析：由题意知切线过点(1,3)，(0,2)，所以kf(1)10.答案：A2抛物线yx2在点M处的切线的倾斜角是()A30° B45° C60° D90°解析：点M满足抛物线yx2，则点M为切点，y2x，x时，y1，即切线的斜率为1，故倾斜角为45°.答案：B3已知曲线yf(x)x22x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为()A2 B1 C1 D2解析：yf(xx)f(x)(xx)22(xx)x22xx·x(x)22x，所以xx2，所以f(x) x2.设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0)x02.由已知x024，所以x02.答案：D4函数y在处的切线方程是()Ay4x By4x4Cy4x4 Dy2x4解析：因为y ，所以切线的斜率ky|x4，所以切线方程是y24，即y4x4，故选B.答案：B5已知曲线f(x)ax31在点(1，f(1)处的切线方程为3xy10，则a等于()A1 B2 C3 D4解析：因为切点在切线上，所以3×1f(1)10，即f(1)2，又因为切点(1，f(1)也在曲线yf(x)上，所以2a×131，即a1，故选A.答案：A6已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图所示，记k1f(1)，k2f(2)，k3f(2)f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为_(请用连接)解析：由导数的几何意义可知k1，k2分别为曲线在A，B处切线的斜率，而k3f(2)f(1)为直线AB的斜率，由图象易知k1k3k2.答案：k1k3k27已知函数f(x)ax的图象在点(1，f(1)处的切线斜率是1，则此切线方程是_解析：因为f(1) (a2)1，得a3，所以f(x)3x，所以f(1)5，则所求切线的方程为y5x1，即xy40.答案：xy408已知曲线y，用切线斜率的定义求曲线过点P(1,2)的切线方程为_解析：因为y2，所以，所以k 1.故曲线经过P(1,2)的切线方程是y2x1，即xy10.答案：xy109如果曲线yx2x3的某一条切线与直线y3x4平行，求切点坐标与切线方程解析：因为切线与直线y3x4平行，所以斜率为3，设切点坐标为(x0，y0)，则y|xx03.又y|xx0 (x2x01)2x01，所以2x013.从而x01，代入yx2x3得y01，所以切点坐标为(1，1)切线的方程为y13(x1)，即3xy40.10求过点(1，1)且与曲线yx32x相切的直线方程解析：显然点(1，1)在曲线yx32x上若切点为(1，1)，则由f(1) (x)23x11，所以切线方程为y(1)1×(x1)，即xy20.若切点不是(1，1)，设切点为(x0，y0)，则kxx01.又由导数的几何意义知kf(x0) 3x2，所以xx013x2，所以2xx010.因为x01，所以x0.所以kxx01，所以切线方程为y(1)(x1)，即5x4y10.B组能力提升11已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设a，则下列不等式正确的是()Aaf(2)f(4) Bf(2)af(4)Cf(4)f(2)a Df(2)f(4)a解析：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数的斜率越来越大，所以(2，f(2)，(4，f(4)两点连线的斜率的大小在点(2，f(2)处的切线斜率f(2)与点(4，f(4)处的切线斜率f(4)之间，所以f(2)af(4)答案：B12已知直线axby20与曲线yx3在点P(1,1)处的切线互相平行，则为()A3 B3 C. D解析：y 3x2，因为点P(1,1)为曲线yx3上一点，所以曲线yx3在点P(1,1)处的切线斜率ky|x13.由条件知，3.答案：B13曲线yx3在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为_解析：y 3x2，所以切线的斜率ky|x13×123，所以曲线yx3在点(1,1)处的切线方程为y3x2，切线与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，2)，所以S×2×.答案：14若点P是抛物线yx2上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_解析：由题意可得，当点P到直线yx2的距离最小时，点P为抛物线yx2的一条切线的切点，且该切线平行于直线yx2，由导数的几何意义知y2x1，解得x，所以P，故点P到直线yx2的最小距离d.答案：15已知曲线C：yf(x)经过点P(2，1)，求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；(2)曲线在点P处的切线的方程；(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程解析：(1)将P(2，1)代入y中得t1，所以y，所以.所以 ，所以曲线在点P(2，1)处切线的斜率为k1.(2)曲线在点P处的切线方程为y1x2，即xy30.(3)因为点O(0,0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，则切线斜率k，由于y0，所以x0，所以切点M，切线斜率k4，切线方程为y24，即y4x.16已知直线l：y4xa和曲线C：yx32x23相切，求实数a的值及切点的坐标解析：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，因为(x)2(3x02)x3x4x0.所以当x0时，3x4x0，即f(x0)3x4x0，由导数的几何意义，得3x4x04，解得x0或x02.所以切点的坐标为或(2,3)当切点为时，有4×a，所以a，当切点为(2,3)时，有34×2a，所以a5.综上，当a时，切点为；a5时，切点为(2,3).