2021_2021学年高中数学第四章导数应用2.2最大值最小值问题课时作业含解析北师大版选修1_.doc
2.2 最大值、最小值问题 A组基础巩固1函数yx44x3在区间2,3上的最小值为()A72B36C12 D0解析：y4x34，令y0得x1.当x<1时y<0，当x>1时y>0，yminy极小值0.答案：D2从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A24 cm3 B72 cm3C144 cm3 D288 cm3解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y(102x)(162x)x(0<x<5)4x352x2160x，y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)，ymax6×12×2144(cm3)答案：C3函数y的最大值为()Ae1 BeCe2 D.解析：令y0，得xe，当x>e时，y<0，当0<x<e时y>0，所以ymaxy极大值f(e).答案：A4已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于()A B.C D.或解析：当a1时，最大值为4，不符合题意，当1<a<2时，f(x)在a,2上是减函数，f(a)最大，a22a3，解得a或a(舍去)答案：C5若函数f(x)在2,2上的最大值为2，则实数a的取值范围是()A. B.C(，0 D.解析：当x0时，f(x)6x26x，易知函数f(x)在(，0上的最大值点是x1，且f(1)2，故只要在(0,2上，eax2恒成立即可，即axln 2在(0,2上恒成立，即a在(0,2上恒成立，故aln 2.答案：D6函数yxex的最小值为_解析：令y(x1)ex0，得x1，当x<1时，y<0；当x>1时，y>0.yminf(1).答案：7设f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是_解析：由题意，当x>0时，f(x)的极小值为f(1)2，当x0时，f(x)极小值为f(0)a，f(0)是f(x)的最小值，则a2.答案：(，28用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，如图，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边沿虚线折起，再焊接，则该容器的高为_ cm时，容器的容积最大，最大容积是_ cm3.解析：该容器的高为x cm，容器的容积为V cm3，则V(x)(902x)(482x)x4x3276x24 320x(0<x<24)由V(x)12x2552x4 3200，得x10或36(舍去)当x(0,10)时，V(x)>0；当x(10,24)时，V(x)<0.当x10时，V(x)有极大值V(10)19 600，这个极大值就是函数V(x)的最大值，当x10时，V(x)有最大值19 600.答案：1019 6009已知a为实数，f(x)(x24)(xa)(1)求导数f(x)；(2)若f(1)0，求f(x)在2,2上的最大值和最小值解析：(1)由原式，得f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4.(2)由f(1)0，得a，此时有f(x)(x24)(x)，f(x)3x2x4.由f(x)0，得x或x1.又f()，f(1)，f(2)0，f(2)0.f(x)在2,2上的最大值为，最小值为.10已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解析：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)>0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a>0，则当x时，f(x)>0；当x时，f(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a>0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为f ln a ln aa1.因此f >2a2等价于ln aa1<0. 令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1)B组能力提升1已知(a1)x1ln x0对任意x恒成立，则实数a的最大值为()A0 B1C12ln 2 D.解析：原问题等价于a1对任意x恒成立，令h(x)，则h(x)，令h(x)0，得x1，当x时，h(x)>0，当x(1,2时，h(x)<0，所以函数h(x)在上单调递增，在(1,2上单调递减，所以最小值为minh22ln 2，所以a22ln 2112ln 2，故选C.答案：C2某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,0.048)，则x为多少时，银行可获得最大收益()A0.016 B0.032C0.024 D0.048解析：依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x(0,0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0<x<0.048)，由于y0.096kx3kx2，令y0，得x0.032或x0(舍去)，又当0<x<0.032时，y>0，当0.032<x<0.048时，y<0，所以当x0.032时，y取得最大值，即当存款利率为0.032时，银行可获得最大收益答案：B3若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，xa0，ax2.答案：2，)4设函数f(x)kx33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数k的值为_解析：若x0，则不论k取何值，f(x)0都成立；当x>0，即x(0,1时，f(x)kx33x10可化为k.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间(0，上单调递增，在区间，1上单调递减，因此g(x)maxg()4，从而k4；当x<0即x1,0)时，f(x)kx33x10可化为k，g(x)在区间1,0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而k4，综上，k4.答案：45如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r(r>0)，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，设CD2x，梯形面积为S.(1)求面积S关于x的函数关系式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值解析：(1)依题意，设AB的中点为O，以O为原点建立平面直角坐标系xOy，如图所示，设C的坐标为(x，y)，则x，y满足方程1(y>0)，解得y2(0<x<r)，所以S(2x2r)·22(xr)，其定义域为(0，r)(2)由(1)可得S.记f(x)4(xr)2(r2x2)，0<x<r，则f(x)8(xr)2(r2x)令f(x)0，得x.当0<x<时，f(x)>0；当<x<r时，f(x)<0.所以f是f(x)的最大值因此，当x时，S也取得最大值，最大值为 r2.即等腰梯形的面积S的最大值为r2.6已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在x1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在x1，a上的最大值和最小值解析：(1)令f(x)3x22ax30，amin3(当x1时取最小值)x1，a3，又a3时亦符合题意，a3.(2)f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去)当1<x<3时，f(x)<0，当3<x<5时，f(x)>0，即当x3时，f(x)的极小值f(3)9.又f(1)1，f(5)15，f(x)在1,5上的最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.
