2021_2021学年高中数学第1章导数及其应用1.1.1平均变化率课时素养评价含解析苏教版选修2_.doc
课时素养评价一平均变化率 (25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,治污效果较好的是 ()A.甲B.乙C.相同D.不确定【解析】选B.由图象知乙的斜率比甲的斜率小,但乙的斜率绝对值大,即变化快.【误区警示】甲的斜率大,误认为甲的治污效果好;这里应该强调图象越陡,治污效果越明显.2.质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间1,1+t内相应的平均速度等于()A.tB.-6tC.-3t-6D.3t+6【解析】选C.因为s=5-3(1+t)2-(5-3×12)=-3(t)2-6t,所以=-3t-6.【补偿训练】函数y=f(x)=ln x+1从e到e2的平均变化率为_. 【解析】因为y=f(e2)-f(e)=(ln e2+1)-(ln e+1)=1,x=e2-e,所以=.答案:3.已知函数y=f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+x,f(1+x),则等于()A.4B.4+2xC.4+2(x)2D.4x【解析】选B.因为y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)2-1-2×12+1=4x+2(x)2,所以=4+2x.4.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于()A.1B.-1C.D.3【解析】选B.因为=-1.所以函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于-1.【补偿训练】某物体的运动方程为s=5-2t2,则该物体在时间1,1+d上的平均速度为_. 【解析】平均速度为=-4-2d.答案:-4-2d5.函数f(x)=x2在x0到x0+x之间的平均变化率为k1,在x0-x到x0之间的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系为()A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.不确定【解析】选D.因为k1=2x0+x,k2=2x0-x,又x可正可负且不为零,所以k1,k2的大小关系不确定.【误区警示】本题易因对平均变化率的定义式理解不透而导致错误.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,函数y=f(x)在x1,x2,x2,x3,x3,x4这几个区间内,平均变化率最小的一个区间是_,平均变化率最大的一个区间是_. 【解析】由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间x1,x2,x2,x3,x3,x4上的平均变化率分别为:,结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最小的一个区间是x2,x3,平均变化率最大的一个区间是x3,x4.答案:x2,x3x3,x47.已知函数y=与函数y=-x+2在区间1,t上的平均变化率相等,则实数t=_. 【解析】由=-=,得:t=2.答案:28.已知A,B两车在十字路口相遇后,又沿不同方向继续前进,已知A车向北行驶,速度为30 km/h,B车向东行驶,速度为40 km/h,那么A,B两车间直线距离增加的速度为_. 【解析】设经过t h两车间的距离为s km,则s=50t(km),增加的速度为=50(km/h).答案:50 km/h三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=x2-2x,分别计算函数f(x)在区间-3,-1,2,4上的平均变化率.【解析】函数f(x)在-3,-1上的平均变化率为=-6.函数f(x)在2,4上的平均变化率为=4.【补偿训练】 已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系式为s=f(t)=gt2,计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.000 1秒各段时间内的平均速度(g=9.8 m/s2).【解题指南】先求出s,再求出=,即为各段时间内的平均速度.【解析】设t=(t+d)-t指时间改变量,s=f(t+d)-f(t)指位移改变量.则s=f(t+d)-f(t)=g(t+d)2-gt2=gtd+gd2,=gt+gd,所以t从3秒到3.1秒的平均速度=29.89(m/s);t从3秒到3.001秒的平均速度=29.404 9(m/s);t从3秒到3.000 1秒的平均速度=29.400 49(m/s).10.已知函数f(x)=x2+3x在0,m上的平均变化率是函数g(x)=2x+1在1,4上的平均变化率的3倍,求实数m的值.【解析】函数g(x)在1,4上的平均变化率为=2.函数f(x)在0,m上的平均变化率为=m+3.令m+3=2×3,得m=3. (20分钟·40分)1.(5分)在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量x与0的大小关系为()A.x=0B.x>0C.x<0D.x0【解析】选D.x可以大于零,也可以小于零,但不等于零.2.(5分)(多选)如图所示为物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况,下列说法错误的是()A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t0范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度【解析】选ABD.在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为,故A和B错误;在t0到t1范围内,甲的平均速度为,乙的平均速度为.因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,所以>,故C正确,D错误.3.(5分)观察函数f(x)的图象(如图),平均变化率表示_ _. 【解析】直线AB的斜率为,表示从x1到x2的函数f(x)的平均变化率.答案:割线AB的斜率4.(5分)将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m时球的体积膨胀率为,则m的值为_. 【解析】V=m3-=(m3-1),所以=,所以m2+m+1=7,所以m=2或m=-3(舍).答案:25.(10分)若函数y=f(x)=-x2+x在2,2+x(x>0)上的平均变化率不大于-1,求x的范围.【解析】因为函数f(x)在2,2+x上的平均变化率为:=-3-x,所以由-3-x-1,得x-2.又因为x>0,所以x的取值范围是(0,+).6.(10分)巍巍泰山为我国五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看,为什么?你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗?【解析】山路从A到B高度的平均变化率为hAB=,山路从B到C高度的平均变化率为hBC=,因为hBC>hAB,所以山路从B到C比从A到B要陡峭得多.
